2021-2022学年重庆市缙云教育联盟高一上学期期末数学试题

20212022学年重庆市缙云教育联盟高一上学期期末数学试题一、单选题1．命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，判断即可.【详解】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，命题“”的否定为：.故选：B.2．已知，则（

）A． B． C．5 D．5【答案】C【分析】令，代入直接计算即可.【详解】令，即，则，故选：C.3．某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案．【详解】第1次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；第2次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；第3次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；第4次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；第5次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；前5次累计画线；第6次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线；第7次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；第8次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计5次；第9次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计6次，累计画线，故选项A正确．故选：A．另解：由前三次规律可发现，每画三次，与l产生两个交点，故要产生6个交点，需要画9次；每一次画的圆弧长度是以为首项，为公差的等差数列，所以前9项之和为：﹒故选：A﹒4．幂函数的图象不过原点，则（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根据幂函数的性质求参数.【详解】是幂函数，解得或或幂函数的图象不过原点，即故选：B5．若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用其单调性比较的大小，即可得出答案.【详解】，设，则原式等价于，而显然是单调递增的函数，则．故选：B6．锐角三角形的内角､满足：，则有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角恒等变换及诱导公式化简变形即可.【详解】将，变形为则，又，故，即，，因为内角､都为锐角，则，故，即，，所以.故选：C.7．若函数的定义域为，则为偶函数的一个充要条件是（

）A．对任意，都有成立；B．函数的图像关于原点成中心对称；C．存在某个，使得；D．对任意给定的，都有.【答案】D【分析】利用偶函数的定义进行判断即可【详解】对于A，对任意，都有成立，可得为偶函数且为奇函数，而当为偶函数时，不一定有对任意，，所以A错误，对于B，当函数的图像关于原点成中心对称，可知，函数为奇函数，所以B错误，对于CD，由偶函数的定义可知，对于任意，都有，即，所以当为偶函数时，任意，，反之，当任意，，则为偶函数，所以C错误，D正确，故选：D8．已知函数，下列关于该函数结论错误的是（

）A．的图象关于直线对称 B．的一个周期是C．的最大值为 D．是区间上的增函数【答案】C【解析】利用诱导公式证明可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用复合函数的单调性可判断D.【详解】对于A，，所以的图象关于直线对称，故A正确；对于B，，所以的一个周期是，故B正确；对于C，，所以的最大值为，当时，，取得最大值，所以的最大值为，故C不正确；对于D，在上单调递增，，在上单调递增，在上单调递减，，根据复合函数的单调性易知，在上单调递增，所以是区间上的增函数，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握函数对称性及周期性的判定及三角函数的图象与性质.二、多选题9．下列命题中正确的是（

）A．存在实数，使 B．函数是偶函数C．若是第一象限角，则是第一象限或第三象限角 D．若是第一象限角，且，则【答案】BC【分析】利用二倍角公式判断A，利用诱导公式及余弦函数判断B，根据象限角的概念判断C，利用特殊值判断D；【详解】解：对于A，，故不存在实数，使，故A错误；对于B，函数是偶函数，故B正确：对于C，因为是第一象限角，所以，所以，所以是第一象限或第三象限角，故C正确；对于D，取，，满足、是第一象限的角，且，而．故D错误．故选：BC．10．已知函数，且的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由指数函数图象可确定大小关系，进而得到，由此可得结果.【详解】由指数函数图象可知：，A错误，B错误，D正确；由得：，C正确.故选：CD.11．在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（

）A． B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】AD【分析】先利用正弦定理从条件中求出为锐角三角形求解；选项C先用二倍角公式化简，再结合角的范围求解；选项D先对式子化简，再换元利用对勾函数的性质求范围.【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，把代入整理得，，解得或，即或(舍去).所以.选项A正确.选项B：因为为锐角三角形，，所以.由解得，故选项B错误.选项C：，因为，所以，，即的取值范围.故选项C错误.选项D：.因为，所以，.令，，则.由对勾函数的性质知，函数在上单调递增.又，，所以.即的取值范围为.故选项D正确.故选：AD.12．已知函数，下列说法正确的有（

）A．函数在上单调递减 B．函数是最小正周期为的周期函数C．函数的最大值与最小值之和为1 D．函在区间内，共有4个零点【答案】CD【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据正弦、余弦函数的性质讨论函数在各段的函数解析式，即可画出函数图象，结合函数图象分析即可；【详解】解：选项A，∵，∴为偶函数，当时，，所以，又，由在为先增后减，故A不正确；选项B，当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，当时，由可得，所以函数在且上为增函教，在且上为减函数，画出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故不是周期函数，故B错误；选项C，由B选项的分析可知，函数的最大值为2，最小值为．故最大值与最小值的和为1，C正确；选项D，由函数图象可得在区间有4个零点，故D正确．故选：CD．三、填空题13．设集合，，则______．【答案】【分析】联立方程组，求出交点坐标，即可得到答案．【详解】解方程组，得或.故答案为：．14．在中，，，则面积的最大值为___________.【答案】【分析】利用诱导公式，两角和与差余弦公式、同角间的三角函数关系得，得均为锐角，设边上的高为，由表示出，利用基本不等式求得的最大值，即可得三角形面积最大值．【详解】中，，所以，整理得，即，所以均为锐角，作于，如图，记，则，，所以，，当且仅当即时等号成立．所以，的最大值为．故答案为：．15．已知定义域为R的函数，满足，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，从而把条件不等式转化为简单不等式.【详解】由函数定义域为R，且，可知函数为奇函数.，令则，令则即在定义域R上单调递增，又，由此可知，当时，即，函数即为减函数；当时，即，函数即为增函数，故函数在R上的最小值为，可知函数在定义域为R上为增函数.根据以上两个性质，不等式可化为，不等式等价于即解之得或故答案为四、双空题16．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是__________．【答案】

6【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”时取等号，，当且仅当“”时取等号.故答案为：，6.【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.五、解答题17．已知角终边与单位圆交于点（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）首先根据三角函数的定义，求得三角函数值，再结合二倍角公式化简，求值；（2）利用角的变换，利用两角和的余弦公式，化简求值.【详解】解：由三角函数定义得，（1）（2）∵∴∴当时当时18．已知函数．(1)判断的奇偶性；(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)偶函数(2)【分析】（1）利用奇函数与偶函数的定义判断即可；（2）要使恒成立转化，判断函数的单调性，利用单调性求出的取值范围，即可得到的范围．【详解】(1)函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数；(2)因为在上单调递增，故函数在上单调递减，所以，因为当时，恒成立转化为，即可，所以，则实数的取值范围为．19．已知函数的部分图像如图所示．(1)求函数f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且a、b是方程的两个实数根，试求△ABC的周长及其外接圆的面积．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据图像可得及函数的周期，从而求得，然后利用待定系数法即可求得，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的增区间；（2）根据可求得角，利用韦达定理可得，再利用余弦定理可求得边，再利用正弦定理可得外接圆的半径，即可得出答案.【详解】(1)解：由函数图象知，又由函数图象知，所以，得，∴，因为图象过点（0，1），所以，所以，又因为，所以，所以函数f（x）的解析式为，令，则，所以单调递增区间为：；(2)，结合，则，所以，又由题设，得，所以，所以，∴三角形ABC的周长，∵外接圆的直径，∴，∴外接圆的面积.20．已知函数的图象与的图象关于轴对称，且的图象过点.（1）若成立，求的取值范围；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】利用已知条件得到的值，进而得到的解析式，再利用函数的图象关于轴对称，可得的解析式；（1）先利用对数函数的单调性，列出不等式组求解即可；（2）对于任意恒成立等价于，令，，利用二次函数求解即可.【详解】，，，；由已知得，即.（1）在上单调递减，，解得，的取值范围为.（2），对于任意恒成立等价于，，，令，，则，，当，即，即时，.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．21．已知函数（其中）的图象过点，且其相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求实数的值及的单调递增区间；（2）若，求的值域．【答案】（1）m＝1；单调增区间；（2）[0，3]【详解】试题分析：解：（1）由题意可知，，，所以．所以，解得：，所以的单调递增区间为；（2）因为所以所以，所以，所以的值域为．【解析】正弦函数的单调性，函数的值域点评：解本题的关键是由函数图象上的点和函数的周期确定函数的解析式，利用正弦函数的单调区间求出函数的单调增区间，利用角的范围求出函数的值域．22．已知二次函数.（1）若在的最大值为5，求的值；（2）当时，若对任意实数，总存在，使得.求的取值范围.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）时，；当时，根据单调性可得答案