生命周期与宏观消费函数

生命周期与宏观消费函数

莫迪格兰尼在20世纪50年代初提出的消费生命周期理论是现代最有影响力的关于消费和储蓄行为的理论。该假说强调消费者从一生的收入来安排一生的消费,强调对未来收入的预期在消费—储蓄决策中的重要性。该假说为理解微观经济和宏观经济中的消费—储蓄问题提供了坚实的基础。如何根据消费的生命周期假说建立宏观消费函数,学者们曾经有过不少探讨,得出了一些形式大体相近的宏观消费函数。其中有代表性的消费函数是本文认为,这个问题尚有进一步探讨的余地。本文首先根据生命周期假设建立个人消费储蓄的数学模型,然后导出稳定状态下全社会储蓄率与几个重要的宏观经济变量(经济增长率、资产收益率、资产收入份额、收入—资产比率)之间的关系,最后导出宏观消费函数。本文发现:式(1)只有在资产收益份额或资产收益率不受经济增长率影响的条件下,才是与生命周期假说大体上相一致的消费函数。如果改变这一前提条件,则消费函数将是别种形式。本文根据两种不同的前提条件,提出了与生命周期假说相一致的两种不同的宏观消费函数。本文在基本假设和方法上还有以下几点新意:①主观贴现率随主观预期寿命而变化;②每一年龄上的主观预期寿命都不小于按人口统计学计算的该年龄上的平均预期寿命;③利率和典型消费者的初始资产是由整个经济体系决定的内生变量;④模拟计算中,人口的年龄结构和每一年龄上的平均预期寿命,以中国1989年死亡率表(分年龄的死亡率)为依据。一、资产和收入状况本文遵循莫狄格兰尼的假说,认为消费者在任何时刻作消费—储蓄决策时,都以目前和今后一生的资产和收入状况为约束条件,以今后一生消费效用最大为目标。这一决策涉及以下因素:①消费效用函数和主观贴现率,②对自身寿命的预期,③对未来利率和收入的预期,④现有资产,⑤预期寿终时留多少遗产。本文对于这些因素的考虑,有些与前人的考虑相同,有些则不同。现逐个论述如下。1.在年龄x时预期自己死亡的年龄关于这一点,前人通常假定消费者有一个适用于任何时刻的瞬时消费效用函数和一个不变的主观贴现率。消费决策的目标就是使各时期消费效用的主观贴现值之和为最大。设u(Ct)是适用于任意时刻t的消费效用函数,θ为不变的主观贴现率,Tx为消费者在年龄x时预期自己死亡的年龄。则消费者在年龄x作消费决策时的目标函数是至于瞬时消费效用函数u(ct)取何种具体形式,通常不作假定。但学者们为便于计算,常常提出该函数具有边际效用关于消费的弹性不变之假定,即假定本文同样采纳(2)这种形式的目标函数和(3)所表达的假定。本文区别于前人的一点是:主观贴现率不是常数。主观贴现率反映了人们对未来不确定性和对生命有限的态度。一般地说,人们预期未来社会越安定,预期自身寿命越长,主观贴现率越低。由于人们对自身寿命的预期值通常随年龄而变,人们的主观贴现率也将随年龄而变。因此,我们假定一个典型消费者在年龄x时的主观贴现率由下式给出:式中θx为消费者在年龄x的主观贴现率,e*x为消费者在年龄x预期自己还能活在世上的时间长度,简称为主观预期余年。a和b为正参数。2.人口统计学上的平均预期寿命与社会确定的关系尽管每个人对自身寿命的预期可能相差不小,但对于一个典型的消费者来说,他对于自身寿命的预期将以人口死亡率表(不同年龄的死亡率)为依据。人口统计学家根据人口死亡率表计算出来的每个年龄的平均预期余年(计算公式见附录Ⅰ),是不同年龄的消费者预期自身寿命的最好的参考资料。鉴于人们普遍存在长寿的愿望,我们猜想,人们的主观预期寿命不低于客观预期寿命(人口统计学上的平均预期寿命),但一般不超过最大可能年龄。令ex表示人口统计学上年龄为x者的平均预期余年;e*x表示年龄为x者的主观预期余年;T表示最大可能年龄。则一般有根据(5)所述的一般情况,并考虑到活到最大可能年龄人的主观预期余年仍不为0(很可能是一个较小的正数),可将e*x具体规定为式中:ε表示活到最大可能年龄的人的主观预期余年。因为eT=0,故e*T=ε。我们根据中国1989年人口死亡率表计算出ex(计算方法详见附录Ⅰ),并令a=0.8,ε=0.4,得到ex与e*x的对比情况如图1。有了e*x,就可得出年龄为x的人的主观预期死亡年龄Tx:3.计算模型的假设关于未来利率(资产收益率)的预期,我们假定消费者是以过去时期的利率为依据。假定过去的利率为不变值i,那么消费者预期未来利率也是不变值i。关于未来收入(指非财产收入),我们假定消费者采取的是以目前的工资水平推论未来长时期的工资水平,并且随着工资水平在时间上的变化,不断地以新的预期代替旧的预期。令Wx为消费者在年龄x得到的工资;R为退休年龄;WR为消费者在临退休时得到的工资。假定制度规定退休后的退休金是临退休时工资的h(通常小于1)倍,则消费者在年龄x对未来时刻t(>x)的工资率的预期值(记为w,)为式中:Tx是消费者在年龄x对自身死亡年龄的预期值。4.初始资产的数额作为消费决策须考虑因素之一的现有资产,是消费者的初始资产(最初资产)、过去收入和过去消费的结果。这里值得探讨的是消费者的初始资产来自何处,其数额又是多少。本文假定:①消费者开始工作时才拥有初始资产;②某时刻开始工作的所有人的初始资产,等于该时刻死亡的所有人留下的遗产。因此,对于一个典型的消费者来说,他的初始资产等于他开始工作那一时刻全社会死亡的人留下的遗产除以全社会与他同时开始工作的人数。5.作为消费决策依据的主观预期寿命本文假定,消费者在作消费决策时,不打算在预期寿终时留遗产,但也不打算在那时欠债,即他预期寿终时的资产为0。这样的假定是否合理,本文不打算讨论它。此假定并不否定遗产的实际发生。因为①作为消费决策依据的主观预期寿命至少在70岁以上,而客观上在每一年龄上都有一些人死亡;②主观预期寿命不低于客观预期寿命。由于这两点,遗产必然发生。二、般模型和模型的求解设一个典型的消费者在时刻0出生,20岁开始工作,在时刻(年龄)R退休。现在我们来考察他在年龄x(≥20)如何决定其消费。令Ax表示他在年龄x时的资产;Ct、At分别表示他在年龄x所作的关于当时和未来的消费计划所产生的时刻t的消费和资产;wt表示他在年龄x预期未来时刻t的工资收入(非财产收入);i表示利率;θx表示他在年龄x的主观贴现率;Tx表示他在年龄x时预期自己的死亡时间(年龄)。根据本文上一部分的有关假设,他在时刻(年龄)x的消费由以下规划确定:Ax=已知值;ATx=0此规划是一个最优控制问题,可用最大值原理求解。此问题的哈密顿函数为由以上各式可推出典型消费者在时刻(年龄)x的(最优)消费值。推导过程从略。其中:是边际效用关于消费的弹性,我们假定它是负常数。为简化计算,我们令W20=1,于是(12)变为将(8)和(12′)代入(10),得所以,典型消费者在时刻(年龄)x的消费Cx,具体地由(9)、(11)和(13)算出。有了Cx,就得到时刻x的收入为若给定资产初值A20,则根据以上各式(8)-(15),可求得典型消费者一生的消费,资产和收入的路径。作为例子,我们令:ex和T按中国1989年人口死亡率表的拟合值计算(详见附录Ⅰ),求解动态方程组(9)-(15),得出典型消费者一生的消费、资产和收入的路径(见图2)。图2表明:①消费在退休以前低于收入,在退休以后高于收入。②资产在退休以前逐渐增加,退休以后逐渐减少,退休时达到最高峰。有些作者认为以上两点都是一般规律,我们通过各种可能情况的考察,发现第②点不是一般规律。请看下例。设有关参数除g和i外仍如前例,只将g改为0.06,i改为0.08,重新求解方程组(9)-(15),得到消费、资产和收入的路径(见图3)。图3中资产的最高峰不再出现在退休时点上,可见前述第②点不是一般规律。以上两例所依据的主观贴现率随年龄的变化幅度较小。现在我们予以改变,使主观贴现率随年龄的变化幅度较大。具体改变为θx=0.03+1/e*x。其它参数仍保持第1例之值。重新求解模型,得到消费、资产和收入的路径(见图4)。图4中出现了高龄时期资产为负的情况。这不符合实际。因此,我们倾向于否定主观贴现率随年龄大幅度变化之设想。本文以后的计算,主观贴现率仍采用θx=0.06+0.1/e*x这一数式。三、在稳定的条件下，全球消费资产和收入1.要根据文化特性推导全社会的消费、资产和收入为便于探讨全社会的消费、资产和收入,我们提出以下几个使问题得以简化的假设:(1)人口始终按固定速度n增长;(2)人口死亡率表(分年龄的死亡率)不随时间而变;(3)工资率始终按固定速度g增长;(4)不同时刻出生的人的行为方式相同,人口学特征也相同(瞬时效用函数、主观贴现率、开始工作的年龄、工作年限、预期寿命、对未来收入的预期方式等都相同);(5)遗产继承发生在开始工作的时刻;(6)未成年人(20岁以下的人)没有资产和收入。其消费由成年人供给(模型所计算的成年人的消费,已包含未成年人所需的消费在内)。现在,我们根据以上假设,逐步推导全社会的消费、资产和收入。推导中需要使用几个新的符号:C(t,x)表示时刻t、年龄为x的一个人的消费;A(t,x)表示时刻t、年龄为x的一个人的资产;Y(t,x)表示时刻t、年龄为x的一个人的收入;Dx表示人口在年龄x的死亡率;P(t,x)表示时刻t、年龄为x者的人数;Zx表示年龄为x的人数对年龄为0者的人数之比值。Zx的计算详见附录Ⅰ;Lx表示刚出生者活到年龄t的概率,其计算详见附录Ⅰ。2.x与年龄为x者的消费,eg/t-x倍由于经济不断增长,人们的消费、资产和收入会不断提高。在工资率始终按固定的速度g增长的条件下,今年年龄为x者的消费将等于去年年龄为x者的消费的eg倍。由此可推知,时刻t年龄为x者的消费,必等于时刻x、年龄为x者的消费的eg(t-x)倍。即C(t,x)=C(x,x)exp(g(t-x))。这里的C(x,x)就是前面描述的典型消费者在时刻(年龄)x的消费Cx。因此,上式可简写为同理,对于资产和收入,有:对于以上三式,若保持t不变而让x变动,则它们表示同一时刻(t)不同年龄(x)的人的消费、资产和收入与典型消费者在不同年龄(x)的消费、资产和收入的关系。3.消费、资产和收入全社会的消费、资产和收入,分别等于个人消费、资产和收入的总和。由于已假定未成年人无资产和收入,且他们的消费已包含于模型所计算的成年人的消费之中,全社会的消费、资产和收入就分别等于成年人的消费、资产和收入的总和。令C(t)、A(t)、Y(t)分别表示全社会在时刻t的消费、资产和收入,则有在人口始终按固定增长率n增长的条件下有:为简化计算,我们令P(0,0)=1;又根据附录Ⅰ中的(Ⅰ.4),Zx=Lxexp(-nx),将此二者代入(22),则得将(16)、(17)、(18)及(22′)代入(19)-(21)式,得4.at,20开始工作的所有人的初始资产根据前面第(5)点假设可知:某时刻开始工作的所有人的初始资产,等于该时刻死亡的所有人留下的遗产。又根据开始工作的年龄是20岁之假定,时刻t开始工作的一个人的初始资产为A(t,20)。于是有此式左边是时刻t开始工作的所有人的初始资产,右边是时刻t死亡的所有人留下的遗产。由(26)得通过(17)和(22′),(27)可变为对于我们所假设的时刻(年龄)20开始工作的典型消费者,他的初始资产为此式阐明了典型消费者的初始资产(A20)与他一生的资产状况(Ax)、工资增长率(g)、人口的年龄结构(Zx)、死亡率表(Dx)的关系。四、收入对体制具有重要影响这一部分将推出与全社会消费、资产和收入有关的几个重要的宏观经济比率。它们是:储蓄率、收入—资产比率、资产收入份额、遗产—储蓄比率,等。1.储蓄率、收入—储蓄率、收入资产比率和资产收入份额令SR,σ,β分别表示稳定增长状态下全社会的储蓄率,收入—资产比率和资产收入份额。根据(23)-(25),它们的计算式如下:以上三式第二个等号后面的算式都不含时间标号t,这表明,在稳定(增长)状态下,储蓄率、收入—资产比率以及资产收入份额都不随时间而变。值得特别指出的是:储蓄率(SR)、收入—资产比率(σ)与经济增长率(g+n)三者之间有以下关系:其证明见附录Ⅱ。(33)在形式上与哈罗德-多马模型完全相同,但含义不同。在哈罗德-多马模型中,SR是外生变量,g是内生变量;而在(33)中正相反,g是外生变量,R是内生变量。还需注意的是,利率(i)、资产收入份额(β)与收入—资产比率(σ)三者之间有以下关系:这可从(32)直接看出。2.量遗产的计算式为了解遗产对于资产积累的作用,我们这里提出一衡量指标,称为“净遗产—储蓄比率”。它的含义是:某时刻死亡的所有人留下的遗产,减去他们曾经继承的遗产(即他们的初始资产),其余额对该时刻社会总储蓄之比。我们认为,这是衡量遗产在资产积累中作用的一个最准确的指标。现在我们来推导它的计算式。时刻t、年龄为x的一个典型消费者的现有资产为A(t,x),他曾经继承的遗产(即他的初始资产)为A(t-x+20,20)。因此,时刻t年龄为x的死亡者留下的净遗产为[A(t,x)-A(t-x+20,20)]P(t,x)Dx,从而时刻t死亡的所有人留下的净遗产为于是时刻t净遗产对储蓄的比率为我们通过计算还发现,(36)所确定的净遗产—储蓄比率,恰好等于某时刻活着的所有人曾经得到的遗产(即他们的初始资产)之和,对该时刻社会总资产之比。限于篇幅,这里就不介绍有关的计算了。(36)第二个等号后面的算式已不含时间标号t,这说明,在稳定(增长)状态下,净遗产—储蓄比率不随时间而变。五、搜索模型求解至此,一个包括个人和全社会消费、资产和收入及有关比率的模型已建成了。模型的内生变量和外生变量见表1。该模型是一个含代数式、积分式和微分方程的联立方程模型,其求解有一定难度。对于一套给定的外生变量,我们采取搜索的方法求解模型。具体步骤是:先给出A20和i的初始猜测值,然后首先计算Lx,ex,T,θx,e*x,Tx,其次计算Cx,Yx,Ax,C(t),Y(t),A(t),NL(t),SR,RNLS,β(或σ);最后计算i和A20。将最后算出的i和A20与其初始猜测值比较,若相等,则模型得解;若不相等,则修改i和A20的初始猜测值,重复以上计算;如此反复,到i和A20的最后计算值(大体)等于其上次猜测值为止。六、外生变量对内生变量的响应由于模型的复杂性,我们只能通过数值计算来了解外生变量变动对内生变量的影响。先设定参数和外生变量的一组基础值,求解模型;然后每次改变一个外生变量的值,再求解模型,将后者与前者比较,来了解外生变量变动对内生变量的影响。我们设定的参数和外生变量的基础值如下:a=0.06,b=0.1,α=0.8,ε=0.4,j=Dx=中国1989年死亡率表的拟合曲R=60,h=0.65,W20=1,n=0.01,-1,线,记作Dx(89),g=0.02,β=0.2。我们不考虑a,b,α,ε,j,R,h,W20的变动，只考虑g,σ(或β)，n和Dx的变动。1.变动对我国净遗产—σ(或β)单独变动对内生变量的影响这二者变动对内生变量的影响,反映在下表所记载的模型求解结果中。①β上升(或σ下降)引起初始资产(A20)、利率(i)、储蓄率(SR)上升;②β(或σ)变动对净遗产—储蓄比率(RNLS)没有影响;③β上升引起σ下降;也可反过来说,σ上升引起β下降。2.x-q-nx-l分析这二者变动对内生变量的影响,反映在表3所记载的模型求解结果之中。表中第2列数字是大体上对应于外生变量基础值的解值。第1列和第3列数字是n变动后的解值,第4列数字是Dx变动后的解值。从第1列至第3列数字的变化可看出:人口增长率(n)上升,引起利率(i)、储蓄率(SR)上升,引起初始资产(A20)、净遗产—储蓄比率(RNLS)下降。从第4列数字与第2列数字的差异可知:各年龄组死亡率的普遍上升(因0<Dx<1,故Dx0.9>Dx),引起初始资产(A20)、利率(i)和净遗产—储蓄比率(RNLS)上升,而储蓄率(SR)不受影响。3.外生变量的影响我们先考察σ外生且不变时,g的变动对内生变量的影响,然后考察β外生且不变时,g的变动对内生变量的影响,最后进行比较、分析。(1)σ外生且不变时,g的单独变动对内生变量的影响。这种影响反映在表4中。为明显起见,我们将上表中g与各内生变量的关系用图形表现出来(见图5)。从图5我们看出:①g上升引起i,SR,β上升,其关系或者为严格的直线关系(g与SR的关系),或者为近似的直线关系(g与i,β的关系)。②g上升引起A20,RNLS下降。g与A20与RNLS的关系都为非直线关系。现在,我们将表3的第1-3列数字与表4的第2-4列数字作一比较,以了解n的变动与g的变动对内生变量的影响是否不同。我们发现,除A20有显著不同以外,其它数字几乎完全相同。这说明:n的变动对A20以外的内生变量的影响,等同于g的变动对这些内生变量的影响。基于此结论,前面第四部分中的(33)式就好理解了。在此公式中,不管g和n如何取值,只要二者之和不变,对SR就不发生影响。在这里顺便说明一点:当σ外生且不变时,(33)表明SR与(g+n)的关系是严格的直线关系。这一点意义重大,它为建立宏观储蓄率函数或消费函数提供了一个依据。(2)β外生且不变时,g的变动对内生变量的影响。这种影响反映在表5所记载的模型求解结果之中。表中g与各内生变量之关系的图形见图6。从图中我们看到:g与各内生变量的关系大体上等同于前面图5所反映的关系,在此不重述。所不同的是:在图5中,g与SR的关系是严格的直线关系,而在图6中,g与SR的关系是非直线关系,这一点非常重要。为了与前面的公式(33)比较,我们现在来探求SR与(g+n)的关系。探求分两步:第一步,确定σ与(g+n)的关系;第二步,将σ与(g+n)的关系式代入(33),导出SR与(g+n)的关系。从图6我们看出,σ与(g+n)的关系大体上是直线关系,可写为将(37)代入(33),得到这就是在β为不变值的条件下,SR与(g+n)的关系。这是一个非常重要的关系。它为建立宏观储蓄率函数或消费函数提供了另一种依据。本节考察了主要外生变量变动对内生变量的影响,得出了以下重要结论:①人口增长率(n)的变动对A20以外的内生变量的影响,等同于工资增长率(g)的同量变动对这些内生变量的影响;②无论假定σ外生且不变,还是假定β外生且不变,利率(i)和储蓄率(SR)都随经济增长率(g+n)的上升而上升;初始资产(A20)和净遗产—储蓄比率(RNLS)都随经济增长率的上升而下降;③当假定σ外生且不变时,储蓄率与经济增长率的关系为严格的直线关系:SR=(g+n)/σ,当假定β外生且不变时,储蓄率与经济增长率的关系为非直线关系:SR=(g+n)/[γ+δ(g+n)]。七、宏观储蓄函数和消费函数我们根据上一节的分析,来建立宏观储蓄率函数和消费函数。1.宏观储蓄率函数上节已说明:当σ外生且不变时,稳定的储蓄率(SR)与稳定的经济增长率G(=g+n)成正比:式中:v=1/σ,是全社会的资本系数。根据(39),可设定宏观储蓄率函数为式中:Gt=(Yt-Yt-1)/Yt-1,是经济增长率。与(40)相一致的消费函数为当经济进入稳定(增长)状态时,(40)和(41)对应的稳态储蓄率函数为(42)与(39)形式完全相同。这说明(40)和(41)是与(39)相适应的宏观储蓄率函数和消费函数。2.模型1:cc上节已说明:当β外生且不变时,稳定的储蓄率与稳定的经济增长率的关系为椐此,可设定宏观储蓄率函数为与(44)相一致的宏观消费函数为当经济进入稳定(增长)状态时,(44)和(45)对应的稳态储蓄率函数为(46)与(43)形式完全相同。这说明(44)和(45)是与(43)相一致的宏观储蓄率函数和消费函数。值得指出的是:现有文献把(45)视为生命周期假说消费函数时,没有论及“资产收入份额外生且不变”这一条件。笔者认为它们是不严格的。最后,我们用一份实际资料来检验以上有关公式的效力。资料是美国1959-1992年按不变价计算的可支配收入和个人消费支出。见《美国统计提要》1972年版和1993年版(英文)。根据此资料,计算出历年储蓄率SR和收入增长率G以后,用(40)和(44)作拟合,结果如下:再用以上参数值分别代入(41)和(45),得出消费的估计值如下:消费估计值和都很接近实际的消费值C,而且和彼此相差很小。它们之间的相关系数如下:又根据(47)和(48)的参数值,求出相应的稳态储蓄率方程为二者在G较小时,差距不大;在G较大时,则有显著差异,情况见图7。图中当G=0.08时,=0.2308,=0.1523。从经验上看,较接近于实际。例如,日本、韩国、台湾在经济高速增长时期(增长率在9%以上),其储蓄率都近于或超过30%。因此,(40)和(41)是较符合实际的宏观储蓄率函数和宏观消费函数。此