家庭保险、消费和储蓄的最优控制研究

家庭保险、消费和储蓄的最优控制研究

一、变分法的保险需求20世纪60年代以来，许多科学家开始致力于研究不确定下人们的保险行为。这一著名的早期研究结论大多基于单项表达，如arrow（1973）、mossin（1968）、rothschild和stiglitz（1976）。这些研究表明，保险费经济中纯粹保险的结论是明确的。然而家庭处理风险暴露的典型方法除了保险外还有储蓄,因此后期的大量文献侧重研究个人在其生命周期中消费-储蓄-保险的安排,并且强调保险在个人最大化其终生效应的过程中所起到的作用。Yarri(1965)在这方面的工作可以视为是现代保险需求研究的先驱1,在连续时间情形下,他用变分法解决了个人生命周期中的保险、消费和储蓄决策问题。Campbell,Lewis,Ellickson,Bryan和Penalva-Zuasti,Iwaki和Komoribayashi,Pliska和Ye均采用了不同的视角和方法研究了这一问题。Campbell(1980)采用了一种局部分析方法,考虑极短时间内的保险决策,通过泰勒展开大大简化了问题本身。Lewis(1989)从受益人的角度考察了保险决策问题。Briys(1986,1988)研究了当保险标的服从跳跃性扩散过程(由波松过程表示)时,个人的保险决策问题。Ellickson,Bryan和Penalva-Zuasti(1997)在一般均衡框架下研究了保单定价问题,但对于个人消费、保险和储蓄的最优路径并没有相关结论。Iwaki和Komoribayashi(2004)首次将现代金融学中的鞅表示方法(martingalemethod)引入了保险决策问题。Pliska和Ye(2006)运用随机控制理论研究了包含保险购买的消费-投资问题,并在常系数风险厌恶类(CRRA)效用函数下获得了显示解。二、未来劳动收入时的保险适用这一部分中,首先考虑在一个特定经济体中,具有有限生命的家庭在面对不确定的未来劳动收入时,怎样选择保险来规避这种风险,又怎样在整个生命周期中分配消费以获得一生中的最大效用。首先,描述这个经济体中家庭所具有的经济特征。1.新的人进入体并退出体人口是不断新老交替的,在任意一个时刻都有新的人进入经济体,同时又有一批人退出经济体。本文假定,每个个体都具有有限且相等的生命T,人口的净增长率为常数n。2.致个人不能劳动的原因家庭的成员自出生到死亡整个过程中的任意时刻都具有劳动的可能,即忽略了自然或法定的退休年龄对其劳动能力的影响,唯一导致个人不能劳动的原因是残疾或其他方面引起的失业。这样,家庭在其一生中为厂商提供劳动和资本,并由此获得劳动收入w(t)和资本收入r(t),同时在其生命周期中分配资源W(t),获得一生效用的最大化。家庭在一生中可获得的资源仅来自于劳动收入和资本收入,并在生命结束时将其资源耗用完毕,即在出生时没有获得任何遗产,在死亡时也不赋予后代遗产。3.家庭的劳动收入本文假定市场上存在两种金融产品:保险和储蓄,同时本文分析的经济体中仅存在一个不确定性来源:个人由于残疾或失业而永久性地丧失劳动收入。换句话说,家庭的劳动收入在未来有可能向下跳跃为0,并且这种劳动收入的跳跃性变化仅可能有一次,这意味着家庭一旦在某时丧失劳动能力就不可能在未来再次获得劳动能力。一个理性的人面对的问题是如何选择保险及储蓄来为这种风险作好财务准备。三、个人追求后的第2种是t在面临收入的不确定性时,家庭将最大化一生的期望效用,即使下式最大:E[∫Τ0T0e-ρtU(c(t))dt](1)上式中c(t)表示t时期个人的消费,U(c(t))为即期效用函数,给出了个人在特定时期消费c(t)带来的效用,ρ为贴现率,代表了家庭对不同时间消费的评价,ρ越低则对未来消费评价越低。由于收入是随机的,那么家庭的消费也会因不同的收入状况而遵循不同的路径。在本文分析的风险世界中,任意时刻以概率1-F(t)和F(t)存在两种不同的状态:不失业或失业,相应地就有两种状态下的消费c1(t)和c2(t),同时令τ为失业或残疾发生的时刻,那么:这样以c1(t),c2(t)代替c(t)进入(1)式,并由积分运算将(1)变换为(2)。E[∫Τ0T0e-ρtU(c(t))dt]=∫Τ0T0(1-F(t))e-ρtU(c1(t))dt+∫Τ0F(t)e-ρtU(c2(t))dt(3)由(3)式看出,这种简单的变换可以将随机的最优化目标转化为确定形式,并且这种转化可以为我们提供非常直观的解释:个人一生中从消费上获得的总效用现值是未来所有时点上即期效用现值的黎曼和,而未来任何时刻的即期效用又等于这一时刻两种状态下的即期效用经概率加权后的和。以失业出现的时刻τ为标准将家庭未来寿命划分为两种状态:有收入状态和无收入状态,这里称为状态1和状态2。当家庭生存于状态1(即t≤τ)时,在任意时刻t将获得劳动收入分别用于消费和保险购买,其余用作储蓄积累到下一时刻。因此家庭在状态1下的预算约束为:W(t)=W(0)+∫t0w(s)ds+∫t0rW(s)ds-∫t0c1(s)ds-∫t0p(s)b(s)dst∈[0,τ](4)上式中p(t)是购买1单位失业保险的保单费率,b(t)是家庭所购买的单位保险份数,W(0)为初始禀赋,根据假定此值为0,其余变量在前文均有说明。当家庭生存于状态2(即t>τ)时,由于失业而失去了任何劳动收入,而作为补偿可以获得保险金的给付,同时储蓄仍然是可得的,因此仍可作为资本供给者而获得利息收入。此时,家庭的预算约束为:W(t)=W(τ)+∫tτb(s)ds+∫tτrW(s)ds-∫tτc2(s)ds(5)为了便于运用最优的分析工具,将上述两个约束方程两边对t求导,写成如下微分形式。⋅W1(t)=rW1(t)+w(t)-c1(t)-p(t)b(t)t∈[0,T](8)⋅W2(t)=rW2(t)+w(t)-c2(t)t∈[0,T](9)c2(t)=c1(t)+p(t)b(t)+b(t)-w(t)t∈[0,T](10)任意时刻t,W(t)在未来瞬间t+dt中可能出现两种状态:W1(t+dt)和W2(t+dt),根据假定:在未来任何时刻W(t)都是确定性函数,故W1(t+dt)=W2(t+dt),而在t时刻,必有W1(t)=W2(t),因t的任意性,必有W1(t)=W2(t),故⋅W1(t)=⋅W2(t)成立,从而(10)式成立。需要强调的是,严格来讲基于这个假定下的推导并不能保证家庭的选择是最优的,因为它缩小了可行选择集的范围,是原有可行集的子集。所以本文中获得的最优目标函数值一定小于或等于理论上的最优值。四、家庭的消费与保险购买的关联模型对目标函数和预算约束进行了上述处理后,可以采用动态最优化原理获得家庭的最优行为。根据(3)、(8)、(9)建立现值Hamilton函数:H=[(1-F(t))U(c1(t))+F(t)U(c2(t))+λ(t)[rW1(t)+w(t)-c1(t)-p(t)b(t)]+μ(t)[rW2(t)+b(t)-c2(t)]]e-et(11)这个最优控制问题包含三个控制变量:c1(t),c2(t)和b(t);两个状态变量:W1(t)和W2(t),这是一个含约束((10)式子)的最优控制问题,所以构造含约束的Lagrange函数(增广的Hamilton函数)。L=H+ϕ(t)[c1(t)+p(t)b(t)+b(t)-w(t)-c2(t)]e-ρt(12)最大化(12)式,根据一阶条件∂L∂c1(t)=0和∂L∂c2(t)=0,消费应当满足如下方程:(1-F(t))U′(c1(t))=λ(t)-ϕ(t)(13)F(t)U′(c2(t))=μ(t)-ϕ(t)(14)λ(t),μ(t)称为共态变量,λ(t)-ϕ(t)和λ(t)-μ(t)代表状态变量(在约束下)的影子价格,说明如果家庭要得到最大的预期效用,那么状态1和状态2下的预期效用应当分别等于相应状态下的单位财富的价值。再看另一个控制变量,由一阶条件∂Η∂b(t)=0可知保险的购买应当使得:μ(t)-λ(t)p(t)+ϕ(t)[p(t)+1]=0(15)从(13)～(15)不难看出,家庭的消费行为和保险购买行为存在着某种关联,这两种行为是经由财富的影子价格相联系。具体地,结合(13)～(15)可得:F(t)U′(c2(t))(1-F(t))U′(c1(t))=ΜRS2⌷=p(t)(16)t时刻的即期预期效用为(1-F(t))U(c1(t))+F(t)U(c2(t)),将此式对c1,c2求全微分并令其等于0,容易得到t时刻状态2下消费对状态1下消费的边际替代率为F(t)U′(c2(t))(1-F(t))U′(c1(t)),这恰恰是(16)式中的左边项,那么我们可以得到如下命题:家庭在财富路径非随机的情况下,为了获得最大的终生预期效用,在任意时刻,其消费和保险的选择应使两种状态下的边际替代率等于单位保额费率。(16)式同经典的单期模型结果具有很强的相似性1,对这个命题的直观解释是,较高的保费降低了家庭状态2下的购买力,从而在均衡时对状态2下消费的评价较高。如果存在两种费率p1(t>p2(t)),那么较高的保费(p2(t))下,家庭为了增加状态2下的消费所付出的代价(保险的成本)就较大,预算限制使家庭减少状态2下的消费,这样在价格p1(t)下状态2的消费就低于价格p2(t)下状态2的消费,根据边际替代率递减,必然有价格p1(t)下的边际替代率MRS(p1(t))2⌷高于价格p2(t)下的边际替代率MRS(p2(t))2⌷,而边际替代率有表示家庭对两种状态下消费的评价。五、马克思恩格斯-拉姆齐规则的一般解释命题1描述了未来任意时刻的瞬间的截面信息,即时刻消费和保险间的关系。下面探讨家庭存活一生中各经济变量的动态行为。由(12)～(15)式我们可以获得关于两个状态下消费的路径:⋅c1(t)c1(t)=r-ρ-f(t)/[1-F(t)]R(c1)(17)⋅c2(t)c2(t)=r-ρ+f(t)/F(t)R(c2)(18)两个状态下消费的变化率取决于四个因素:市场利率、消费的时间偏好、相对风险规避系数2和出险的概率分布状况。为了使表达更加简洁,引入危险率函数ξ(t):ξ(t)=Ρr[t<τ≤t+Δt|τ>t]Δt(19)ξ(t)表示家庭正常工作到在时刻t的条件下,在t处瞬时失业的概率密度。根据ξ(t)的定义,有f(t)/[1-F(t)]=ξ(t)以及f(t)/F(t)=ξ(t)[(1-F(t))/F(t)],代替(17)、(18)中的相关项:⋅c1(t)c1(t)=r-ρ-ξ(t)R(c1)(20)⋅c2(t)c2(t)=r-ρ+ξ(t)[(1-F(t))/F(t)]R(c2)(21)可以看出消费的动态过程同确定情形下经典的凯恩斯-拉姆齐规则3获得的结果具有相似的表达,本文中消费的增长率同利率r,瞬时替代弹性1/R(·)呈正向关系,同时间偏好ρ呈负向关系,这与凯恩斯-拉姆齐规则是一致的,唯一不同是,本文是基于随机情形下的分析,所以消费增长率的影响因素中增加了危险率ξ(t)和出险概率的比值(1-F(t))/F(t)。具体地,以下图说明了(20)、(21)的含义。注意到(20)、(21)中消费增长率取决于瞬时替代弹性1/R(·),为了简化讨论,只考虑所有家庭都具有不变相对风险规避系数效用函数的情形4,即期效用函数为:U(c(t))=c(t)1-σ1-σσ>0(22)此时两个状态下的瞬时替代弹性有如下关系:1/R(c1)=1/R(c2)=σ。在没有风险的世界中,如果利率大于时间偏好,则降低现期消费在未来获得的好处将超出人们对现期消费的偏好程度,那么家庭降低现期消费以在未来获得更高消费更划算,于是消费呈出增长的趋势,并且这个增长率始终保持在r-ρ的常数水平。而在风险的世界中,消费是否增加除了要考虑利率同时间偏好的关系外,还要附加考虑风险因素。如果家体从t到t+Δt时刻处于状态1,这意味着收入降低到0的风险将出现于出于t+Δt时刻之后,出于预防的动机,家庭通过储蓄和保险购买将状态1下的消费转化到状态2下,导致状态1下消费增长率低于无风险世界中的增长率,并且从推导结果看,降低的水平恰好为危险率ξ(t)。如果家庭从t到t+Δt时刻处于状态2,家庭失去劳动收入已成既定事实,无需再为未来进行风险储备——这意味t+Δt时刻之后的世界是无风险的1,相应的增长率可以达到无风险情形的水平(r-ρ),同时t时刻之前的储备:保险金和储蓄可得,这将导致时刻之前家庭在状态1下为防备风险而压缩的消费在此时释放出来,这两方面综合将导致状态2下消费增长率最终将高于无风险世界中的增长率,提高的水平为t时刻的危险率同不出险、出险概率之比的乘积。六、动态分析1.bt-bt的c在均衡状态下,利率将等于资本的边际产出,即r=f′(k(t)),那么(17)、(18)可以改写为:⋅c1(t)c1(t)=f′(k1(t))-ρ-f(t)/[1-F(t)]R(c1)(23)⋅c1(t)c1(t)=f′(k1(t))-ρ+f(t)/F(t)R(c2)(24)当f′(k1(t))=ρ+f(t)/[1-F(t)]时,⋅c1(t)=0,此时k1(t)=⋅k1(t)‚当k1(t)>⋅k*1(t)时,f′(k1(t))<ρ+f(t)/[1-F(t)]‚⋅c1(t)<0‚c1(t)下降;当k1(t)<k*1(t)时,⋅c1(t)>0‚c1(t)上升。对于c2(t)则有类似结论。2.资本存量t的变化规律在讨论资本的动态变化前,先考虑经济中生产函数的性质,本文假定生产函数满足如下条件:■资本和劳动是仅有的两种生产要素,生产函数具有如下形式:Y(t)=F(K(t),L(t))(25)■生产函数对于资本和劳动力规模报酬不变;■要素的边际产品是正的,但随着要素的增加而递减,即:∂Y/∂K>0,∂Y/∂L>0;∂2Y/∂K2<0,∂2Y/∂L2<0令k1(t)、k2(t)分别为状态1和状态2下的人均资本存量,f(k1(t))和f(k2(t))分别为相应状态下的产量,可以得到关于资本存量的增长状况如下:⋅k1(t)=f(k1(t))-c1(t)-nk1(t)(26)⋅k2(t)=f(k2(t))-c2(t)-nk2(t)(27)当⋅k1(t)=0时有:c1(t)=f(k1(t))-nk1(t),两边对k1(t)求导,则资本存量满足f′=(kGR1(t))=n时,消费达到最大,若k1(t)<kGR1,f′(k1(t))>f′(kGR1(t)),c1(t)增加;反之,c1(t)减少。故在k～c平面中,曲线⋅k1(t)=0的形状先上升后下降,类似于开口向下的抛物线。消费c1(t)处于曲线⋅k1(t)=0的上方时,c1(t)>f(k1(t))-nk1(t0‚⋅k1(t)<0‚k1(t)下降;消费c1(t)处于曲线⋅k1(t)=0的下方时,⋅k1(t)>0‚k1(t)上升。对于k2(t)也有类似结论。3.初始点高于d的路径我们将资本动态和消费动态结合起来反映在相图上,图(2)的A点处在曲线⋅c1(t)=0的右方,和⋅k1(t)=0的上方,此时消费和资本存在均下降,点A将向左下方移动;而C点处于⋅c1(t)=0的左方和⋅k1(t)=0的下方,它将向右上方移动;而对于处在⋅c1(t)=0和⋅k1(t)=0上的点,消费和资本中只有一个在变,如B点。图(3)中给出了给定的初始值时,不同的初始值下,资本存量和消费的运动路径。如果经济在开始时处于高于D的一点,那么最终的资本存量将是负值,而这是不可能的,因此,这些初始点所代表的路径无法描述实际的经济行为,从而可以排除这些路径。接着考察那些初始点低于D的路径,假如经济的初始状态处于类似于E的位置,则资本存量将不断增加,最终将超过黄金律资本存量,即k1>kGR1而kGR1满足f′(kGR1)=n。又因f″(⌷)<0,那么f′(k1)<n,于是有:lims→∞exp(n-f′(k1))k1(s)=∞(28)(28)式表示资本存量的现值发散,而这个现值等于初始禀赋的现值加上未来储蓄的现值总和,从而(28)式发散代表了未来储蓄发散,即就是未来收入的现值将无穷大于未来消费的现值,这意味着个人可以通过增加现期消费来进一步提升效用,因此初始点低于D的路径显然不是均衡路径。因此,得到如下结论:在两种状态下,对于任意的值k,都存在唯一的c的初始值满足最优化条件,这些k和c所组成的点的集合构成鞍点路径,经济将在鞍点路径下收敛于F点。七、不确定性问题一个简单经济的循环过程是:一国的产品以工资、利息和利润的形式分配到家庭成为家庭的收入,而后家庭又以当期收入和财富存量为预算,将其中一部分用于消费而剩余部分储备起来成为未来的消费,从而在一生中平滑消费路径。储备和消费的分配是家庭面临的第一选择;而他们的第二选择是如何在可选择的金融产品中确定分配比例。这样,保险作为一种可行的资产配置引入到家庭选择中,再将获得的最优保险配置和储蓄配置作为资本存量进入到增长分析中。如此,家庭作为一国经济的基本单位,扮演着消费者和投资者的双重身份,年复一年地重复着消费与积累这一永恒主题,成为联接国民收入和产出水平的纽带和解释增长的因素。本文的研究结论同传统保险经济理论的结论相似:(1)连续时间情形下,家庭的保险选择同单期模型具有相似性。在任意时刻,家庭为了获得最大的终生预期效用,其消费和保险的选择应使出险和不出险两种状态下的边际替代率等于单位保额费率。(2)在不确定情况下,两种状态中消费的动态过程同确定情形下的凯恩斯-拉姆齐规则具有一致性;两种状态中资本的动态变化同拉姆齐模型的结果一致;如果市场出清的均衡状态可得,那么经济将沿鞍点路径移动,逐步收敛于平衡状态。本文研究所采用的方法是,对目标函数变换将随机问题转化为确定性问题研究(这是在Yarri(1965)基础上进行的),其次通过一个附加假定,将这个问题纳入到确定情形下的最优控制方法中进行处理。相比于随机控制和鞅表示方法等更为复杂的金融学工具,这些工作除了在简化问题本身所具有的意义外,也使研究结果更加简洁和富有经济学含义。本文研究说明,在不确定性的情况下,保险作为一种资产配置方式具有重要意义。首先,保险在家庭终生的决策过程中有着其他金融工具不可替代的重要作用。风险厌恶的个人通过购买保险将未来财富锁定在了独立于风险的状态,并在一生的时间中平滑其消费,提高了个人福利(一生效用)水平。其次,在完全竞争的市场条件下,理性消费者的最优决策结果,将使消费、储蓄和保险三者能够协调发展,并带来产出的平衡增长。因此,保险对经济增长具有促进和协调的作用。一些更加广泛的理论观点也支持保险在一国经济中具有重要地位。保险作为金融中介角色,对一国经济产业资本的积累具有显著的影响,Pagano