12无穷级数的概念与性质课件

第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质12无穷级数的概念与性质定义1

若有一个无穷数列

u1，u2，u3，，un，

此无穷数列构成下列表达式

u1+u2+u3++un

+(1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为其中第n项un叫作级数的一般项或通项.

一、无穷级数的概念12无穷级数的概念与性质级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质

我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.由级数(1)的前n项和，容易写出：12无穷级数的概念与性质定义2

如果级数部分和数列有极限s，即则称无穷级数收敛.s称为此级数的和.且有若无极限，则称无穷级数发散.注意:称为级数的余项，

为代替s所产生的误差

.12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质

二、收敛级数的基本性质性质1

若级数收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛，且其和为ks.12无穷级数的概念与性质性质2

如果级数、分别收敛于即12无穷级数的概念与性质性质3

在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.性质4

如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.12无穷级数的概念与性质注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.12无穷级数的概念与性质性质5(收敛的必要条件)如果收敛，则它的一般项趋于零，即级数12无穷级数的概念与性质结论：由此我们可得12无穷级数的概念与性质注意:

级数收敛的必要条件常用于级数发散的判定.12无穷级数的概念与性质第二节正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法12无穷级数的概念与性质

一、正项级数及其审敛法定义

设级数的每一项都是非负数,则称此级数是

显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加的，即正项级数.12无穷级数的概念与性质定理1

正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界.12无穷级数的概念与性质证明:这是一个正项级数，其部分和为:故{sn}有界，所以原级数收敛.12无穷级数的概念与性质定理2(比较审敛法)设和都是正项级数，且若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数也发散.

二、正项级数收敛的比较判别法12无穷级数的概念与性质则有：若发散，则也发散;且当时，有成立，则有：若收敛，则也收敛.推论设级数和是两个正项级数，且存在自然数N，使当时，有（k>0)成立，12无穷级数的概念与性质例2

判定p-级数的敛散性.常数p>0.12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质由此可得结论，p级数当时发散，p>1时收敛.12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质由比较判别法可知，所给级数也发散.而级数是发散的；12无穷级数的概念与性质定理４(达朗贝尔比值判别法)设为正项级数，如果(1)当时，级数收敛；(3)当时，级数可能收敛，可能发散.(2)当()时，级数发散.

三、正项级数收敛的比值判别法12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质例7

判别级数解:由比值判别法可知所给级数发散.12无穷级数的概念与性质此时，比值判别法失效，用其他方法判定;12无穷级数的概念与性质第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛12无穷级数的概念与性质

一、交错级数及其审敛法定义正负项相间的级数，称为交错级数.12无穷级数的概念与性质定理1(莱布尼兹定理)

则级数收敛，且其和，并且其余项

的绝对值:(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即如果交错级数12无穷级数的概念与性质证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:由(1)式可知{s2n}是单调增加的；由(2)式可知s2n<u1.12无穷级数的概念与性质由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于u1，即再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s，有12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质

二、绝对收敛与条件收敛任意项级数：一般的级数，它的各项为又有正数，又有负数的任意实数.定义(1)如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数绝对收敛；(2)如果级数收敛，而它的各项绝对值所组成的级数发散，则称原级数条件收敛.12无穷级数的概念与性质定理2

如果任意项级数的各项绝对值组成的级数收敛，则原级数必定收敛.12无穷级数的概念与性质解因为而级数收敛，是绝对收敛还是条件收敛．例２判定级数所以也收敛，故绝对收敛．12无穷级数的概念与性质注意：(1)由于任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数，一切判别正项级数敛散性的判别法，都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.12无穷级数的概念与性质

第四节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其敛散性三、幂级数的运算12无穷级数的概念与性质

一、函数项级数的概念定义在区间I上的函数列则由这函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数)无穷级数，简称(函数项)级数.

对于每一个确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数12无穷级数的概念与性质定义

形如的级数，称为(x−x0)的幂级数，均是常数，称为幂级数的系数.称为x的幂级数，它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数.当x0=0时，(1)式变为：

二、幂级数及其敛散性12无穷级数的概念与性质定理2

如果幂级数的系数满足条件：12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质例2

求幂数的收敛半径与收敛区间.对于端点x=1，级数成为交错级数,收敛.12无穷级数的概念与性质对于端点x=1，级数成为：12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质

三、幂级数的运算

如果幂级数的收敛半径分别为R1>0和R2>0，则收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.12无穷级数的概念与性质性质1

如果幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续.性质2如果幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式12无穷级数的概念与性质即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.12无穷级数的概念与性质性质3

幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质12无穷级数的概念与性质第五节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数12无穷级数的概念与性质

一、泰勒级数定义如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.12无穷级数的概念与性质定理1(泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(x−x0)的方幂展开为：其中：12无穷级数的概念与性质公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.12无穷级数的概念与性质定理2

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式余项Rn(x)当时的极限为零，即：12无穷级数的概念与性质

二、函数展开成幂级数

将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：12无穷级数的概念与性