2023-2024学年高二数学2019选择性试题3.1椭圆

椭圆一、单选题1．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得：．所以成立的充要条件是：．结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，故选：B.2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，即，解得，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：C.3．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】作点关于原点的对称点，连接、、、，则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，所以，，故、、三点共线，由椭圆定义，，有，所以，则，再由椭圆定义，有，因为，所以，在中，即，所以，离心率．故选：A.4．已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可得，∴，即椭圆，∴，直线方程为，∴，又，设，则，，∴，又，∴当时，有最小值为.故选：C.5．如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，所以，即，又，所以，两边同时除以，得，即，解得或，又，所以，所以椭圆离心率的取值范围为，故选：D．6．在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【解析】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，所以，，由正弦定理边角关系知：.故选：A7．已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是，而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有.显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.故选：A.8．已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由题意可得，的内心到xP在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故选：C.二、多选题9．（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（

）A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线【答案】BC【解析】由题意知，定点，，可得，因为，可得，当且仅当，即时等号成立．当时，可得的，此时点的轨迹是线段；当时，可得，此时点的轨迹是椭圆．故选：BC．10．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由椭圆的定义，可得．又，所以，．①当点与，不共线时，在中，，即，所以．②当点与，共线时，分析知，，所以，即，所以．综上，椭圆的离心率的取值范围是，故选：CD．11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则A． B． C．D．【答案】ABD【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得，（*），故A正确；，故B正确；（*）两式相加，可得，故C不正确；由（*）可得，两式相乘可得，，故D正确.故选ABD12．已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（

）A．若，则；B．若，则满足题意的点有个；C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.【答案】ABC【解析】由椭圆可得，则，对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为所以，所以A正确，对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，故选：ABC三、填空题13．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为_________．【答案】##【解析】由题意不妨设﹣，0)，，0)，∵P⊥x轴，∴P(，±)，∵△P的面积＝|P|||＝2＝，故答案为：．14．已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△b的值为___________.【答案】2【解析】由题设，，且，可得，又，则，综上，，又，则.故答案为：215．已知椭圆的一个顶点为，对于x轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，则实数t的取值范围是____________.【答案】【解析】设，则,①，，由可得，即,②由①②消去，整理得,因为，所以,因为，所以,所以实数t的取值范围为.故答案为：.16．已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.【答案】【解析】由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，∴其标准方程是：，联立方程组，消去得，.设、，线段的中点为，则，，∴，即线段中点坐标为.故答案为：四、解答题17．已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．【解析】设且，则，整理得：A的轨迹方程.18．已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上，且过圆x2+y22x+10y24=0与圆x2+y2+2x+2y8=0的交点A，B.（1）求弦AB所在直线的方程；（2）求圆C的方程.【解析】（1）由，得故弦AB所在直线的方程为（2）由，解得或故设圆心，由，解得，即，故圆C的方程为19．已知直线：，⊙的方程为．(1)求证：与⊙相交；(2)若与⊙的交点为、两点，求的面积最大值．（为坐标原点）【解析】(1)由直线：，得，由可得，所以直线过定点，由圆：可得，可得圆心坐标，从而可得直线过圆心，则与⊙相交；(2)因为直线过圆的圆心，所以，因为点在圆上，则到直线距离的最大值为，所以的面积最大值为．20．已知点P是椭圆上一动点，分别为椭圆的左焦点和右焦点，的最大值为，圆．（1）求椭圆的标准方程；（2）过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以为直径的圆过点O．【解析】(1)当点P在短轴端点处时，最大，而的最大值为，则有，，所以所求椭圆的标准方程为；(2)过点Q的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为或，由椭圆及圆的对称性，不妨令切线为，由(1)可得，，于是得，即，过点Q的圆O的切线斜率存在时，设切线方程为，则有，即，由消去y得：，显然圆O在椭圆C内，则圆O的每一条切线都与椭圆C交于两点，设，，，而，，于是得，则有，综上，过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，都有，所以，以为直径的圆过点O.21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.【解析】（1）在△中，，，解得，所以，则椭圆的方程为：.（2）当直线斜率为0时，易知成立，当直线斜率不为0时，设直线方程为，，消去有，，所以，综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.22．已知椭圆，点､分别是其左､右焦点，点A､B分别为其左､，且圆为该四边形