2023-2024学年苏教版必修第二册 13-1-2　圆柱、圆锥、圆台和球 学案

13.1.2圆柱、圆锥、圆台和球新课程标准解读核心素养利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构数学抽象、直观想象如图，观察下列实物图.问题（1）上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？（2）上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？

知识点一圆柱、圆锥、圆台的概念分类定义图形及表示圆柱将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，上图可表示为圆柱OO'分类定义图形及表示圆锥将直角三角形绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，上图可表示为圆锥SO圆台将直角梯形绕着它垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，上图可表示为圆台OO'以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥吗？提示：不一定是.当以直角三角形的斜边为轴旋转所得的旋转体就不是圆锥，如图所示.下列说法正确的是（）A.圆锥的母线长一定等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.圆台所有母线的延长线交于一点解析：D由圆柱、圆锥、圆台的定义知D正确，故选D.知识点二球的定义及其有关概念1.概念：如图，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球.2.表示：用表示球心的字母表示球.如球O.球与球面有何区别？乒乓球、篮球、铅球都是球吗？提示：球与球面是两个不同的概念，球是几何体，球面是曲面，但两者也有联系，即球面是球的表面.乒乓球和篮球都不是球（因为它们是空心的），铅球是球（它是实心的）.下列说法中正确的是（填序号）.

①半圆以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球；②半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面.解析：由球及球面的定义知②正确.答案：②知识点三旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.提醒（1）空间几何体包括多面体、旋转体和由简单的多面体与旋转体组成的简单组合体，棱柱、棱锥、棱台是三类简单的多面体，圆柱、圆锥、圆台和球是四类简单的旋转体，理解柱、锥、台、球的定义、结构特征和相关概念是进一步研究它们的性质、基本量计算、表面积、侧面积和体积计算的基础；（2）空间几何体的常见问题有折叠与展开问题、割补问题、切接问题、截面问题、拼接与旋转问题，学习时应从最简单几何体开始，由浅入深地逐步总结解题方法.等边三角形绕其一边中线所在的直线旋转半周形成的面所围成的空间图形是什么几何体？提示：圆锥.如图所示的组合体的结构特征是（）A.一个棱柱中截去一个棱柱B.一个棱柱中截去一个圆柱C.一个棱柱中截去一个棱锥D.一个棱柱中截去一个棱台解析：C由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥.题型一旋转体的结构特征【例1】下列说法：①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；②分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确说法的序号是.

解析①错误，若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体.②正确，若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同.③错误，当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到.答案②通性通法简单旋转体结构特征问题的解题策略（1）准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征是解决此类概念问题的关键；（2）解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；其中正确的命题是（）A.①②④B.②③④C.①③D.②④解析：D由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥的母线的定义知②正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误.故选D.题型二简单组合体的结构特征【例2】如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O9O8，一个圆柱O7O8及一个圆台O5O7中挖去圆锥O6O5组成的.通性通法关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决：1.如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形.若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，则下面说法不正确的是（）A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B.该组合体仍然关于轴l对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点解析：A该组合体中有一个球和一个半球，故A错误.2.描述下列几何体的结构特征.解：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.题型三旋转体的相关计算【例3】已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径.解法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm，即A'O'＝xcm，AO＝3xcm（O'，O分别为上、下底面圆心，连接O'O），过点A'作AB的垂线，垂足为D.在Rt△AA'D中，∠AA'D＝45°，AD＝AO－A'O'＝2x（cm），所以A'D＝AD＝2xcm，又S轴截面＝12×（A'B'＋AB）×A'D＝12×（2x＋6x）×2x＝392，所以综上可知，圆台的高OO'＝14cm，母线长AA'＝2OO'＝142（cm），上、下底面的半径分别为7cm和21cm.法二：圆台的轴截面如图，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm，延长AA'，BB'交OO'的延长线于点S（O'，O分别为上、下底面圆心，连接O'O）.在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3xcm，又SO'＝A'O'＝xcm，所以OO'＝2xcm.又S轴截面＝12×（2x＋6x）×2x＝392，所以x综上可知，圆台的高OO'＝14cm，母线长AA'＝2OO'＝142（cm），上、下底面的半径分别为7cm和21cm.通性通法圆柱、圆锥、圆台基本量的计算问题的求解策略（1）解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高（母线）与轴截面矩形之间的关系，注意在轴截面矩形中一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径；（2）解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，往往利用轴截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系l2＝h2＋r2；（3）解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面（等腰梯形）入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解.另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决.轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为3，求该圆锥的底面半径、高和母线长.解：如图所示，作出等边圆锥的轴截面SAB，设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则在轴截面SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝l，且∠SBO＝60°.在Rt△SOB中，h＝3r，l＝2r，所以S△SAB＝12×AB×SO＝rh＝3r2根据题意得3r2＝3，解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝3r＝3.故该圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为2.用模拟法探究两点间的最短路径——空间几何体的展开与拼接爸爸出差前，留给小华一道题：如图是某地区的交通网.其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，请你选择一条从A到B的最短路线.爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开.小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”！小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他信步走进小树林，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一副真正的“交通网”，要求A、B两地的最短路线.只需把网上相当于A、B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上.小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样.爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫作模拟法，它是科学研究的一种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！”1.如图，圆锥的轴截面是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假如点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，求它爬行的最短路程.提示：圆锥的底面半径为2cm，故底面圆的周长为4πcm，圆锥的轴截面是等边三角形，可知圆锥的母线长为4cm，设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为α，根据圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得4π＝4α，解得α＝π，如图，故∠CAB'＝π2，蚂蚁沿表面爬行到P处的最短路程为B'P＝AP2＋AB'2＝2.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，求蚂蚁爬行的最短路程.提示：正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程.因此蚂蚁爬行的最短路程为a2在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱的侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，则PC的长为.

解析：正三棱柱ABC-A1B1C1沿BB1侧面展开，如图所示，设PC＝x，由题意得AM＝2，AP1＝3＋x，MP1＝29，在Rt△MAP1中，AM2＋AP12＝MP12，即22＋（3＋x）2＝（29）2，解得x＝2答案：21.下列空间图形中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球；⑤四面体.A.①和⑤B.①C.③和④D.①和④解析：D①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球是旋转体；⑤四面体是多面体.2.下列命题，正确的个数是（）①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面.A.0B.1C.2D.3解析：C由圆柱与球的结构特征可知①②正确.3.如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴