大学普通物理课后习题

./1－13由于风向变化,一帆船不断改变航向。它先沿北偏东行驶,然后北偏西行驶,最后又沿北偏东行驶。上述航程经历了hmin。求：<1>此期间帆船的总位移；

<2>此期间帆船的平均速度；<3>如果在整个航程中速率不变,求速率。指导：解此题应先建立平面直角坐标系,将每一段位移用坐标分量、表示,然后叠加

总位移为；再由定义式求平均速度和速率,式中。

1－14根据例1－1算出的运动学方程,计算小船在该坐标系中的速度和加速度。指导：此题由例1－1算出的运动学方程对时间求一阶导数

二阶导数

可得速度和加速度。

1－15

一质点的初始位置为,它的初速度。此质点以恒加速度运动。<1>什么时刻质点的坐标为最大值？<2>求该时刻质点的位置矢量。[提示：此质点在和坐标轴上的投影点都是匀变速直线运动。]指导：<1>这是求极值的问题,要求坐标的最大值,则,即,由匀变速直线运动的公式解出坐标为最大值时的时间。

<2>将代入式,中,求出时刻和质点的位置。1－16某质点的运动学方程为

<1>写出此质点的速度矢量式；<2>求它的速率表达式；<3>求此质点在前走过的路程；<4>求它的加速度矢量式；

<5>求该质点的法向加速度和切向加速度。指导：从运动方程可知,质点作圆周运动。可直接由定义式,

,,,,求出各量。1－17

<1>设题1－14的质量为,求船所受的合力的大小；

<2>设题1－15中质点的质量为,求该质点所受的合力的矢量式；

<3>设题1－16中质点的质量为,求该质点所受的法向力和切向力。指导：由于各物体的加速度均已知,所以可直接由,,

求解。1－18有一定滑轮,半径为,沿轮周绕着一根绳子,设悬在绳子一端的物体按的规律运动,绳子和滑轮之间没有滑动。求轮周上任一点在时刻的速度、切向加速度、法向加速度和总加速度。指导：由于轮周上任一点速度大小和物体的速率相同,所以可由定义式速度,切向加速度,法向加速度,总加速度求解。1－19将质量为小球系在倾角为的光滑斜面上,如图所示。当斜面以加速度沿水平向左运动时,求：

<1>绳的力；

<2>斜面对球的支持力；

<3>当加速度至少多大时,斜面对球的支持力为零；

<4>当加速度至少多大时,绳的力为零。指导：显然,此题应以地面为参照系由牛顿第二定律求解。应先受力分析,在平行于斜面和垂直于斜面两个方向列出动力学方程

式中重力,可<1>求解出绳的力,<2>解出斜面给小球的正压力,<3>将代入可得斜面运动的加速度,<4>将代入可得绳的力为零时斜面运动的最小加速度。

1－20质量为的物体系于长度为的绳的一端,在竖直平面绕绳子的另一端作圆周运动。设时刻物体速度的大小为,绳子与竖直方向成角,如图所示。求时刻绳中的力和物体的切向加速度。指导：此题应以小球为研究对象,小球作圆周运动,用切向坐标和法向坐标讨论较为方便。在切向和法向上列出动力学方程和,解出与,绳对小球的拉力与绳中的力是一对作用力和反作用力,大小相等方向相反。1－21

有一飞机在俯冲后沿一竖直圆周轨道飞行,设飞机的速率恒定为。为使飞机的加速度不超过重力加速度的倍,此圆周轨道的最小半径应为多少？设驾驶员的质量为,在最小圆周轨道的最低点,他对座椅的压力为多大？指导：<1>飞机在竖直平面作匀速圆周运动,其加速度沿法向,由可知,

当飞机的加速度取最大值时,圆周轨道半径最小,为；

<2>在轨道最低点驾驶员受的正压力<支撑力>和重力都沿法向,由求出正压力,它与驾驶员对座椅的压力大小相等,是一对作用力与反作用力。*1－22一质量为的质点沿直线运动。开始时刻速度为。设它所受阻力与速度的大小成正比,即为正的常量。求速度随时间变化的函数关系。

[提示：由牛顿第二定律,得,再将上式变换为,然后等式两边分别积分。]指导：此题质点受变力运动,其加速度是变量,不可用匀变速直线运动的公式求解。应由牛顿第二定律,得,再将上式变换为,因时速度为,上式两边分别积分,,得,。2－15用蒸汽锤对金属加工,锤的质量为,打击时的速度为,打击时间为。求汽锤对金属的打击力。指导：在打击中,锤因受到工件的反冲击,速度发生了变化,打击结束时速度为零,由质点的动量定理,可求得锤受到的冲击力

,汽锤对金属的打击力与锤受到的冲击力是一对作用力与反作用力,。2—16一质量为的人,以的速度跳上一辆迎面开来速度为的小车,小车的质量为。求人跳上小车后,人和车共同运动的速度。指导：显然,此题用动量守恒定律解,但解此题需先选定坐标轴的正方向,确定各物体速度的正负,若以人的动量的指向为坐标轴的正方向,由动量守恒定律,式中,,可解出结果。式中"－"表示方向与人上车前的速度的方向相反,而与小车原来的运动方向相同。

2－17高空走钢丝演员的质量为,为安全起见,演员腰上系一根长的弹性的安全带,弹性缓冲时间为,当演员不慎跌下时,在缓冲时间安全带给演员的平均作用力有多大？若缓冲时间为,平均作用力为多大？指导：该题分两个过程讨论,演员先从高度为处作自由落体运动,由求出安全带刚拉直时演员的速度,再由动量定理求出演员所受的合力,注意,此时演员受向上的拉力和向下的重力作用,以速度的方向为正方向,合力,所以,题中要求的平均作用力仅为安全带给演员的平均拉力为。2－18一静止物体,由于部作用而炸裂成三块,其中两块质量相等,并以相同的速率沿互相垂直的方向分开,第三块的质量倍于其他任一块的质量。求第三块的速度大小和方向。指导：物体炸裂时的力远大于物体所受的外力重力,所以系统动量守恒。三块的动量和为。可用两种方法求解,

一是解析法：以互相垂直的两块的动量方向为坐标轴的、轴方向,则第三块的动量,得第三块的速度大小为,其方向用动量与轴夹角表示。

二是矢量法：用矢量三角形解,如图,第三块速度的方向与其他两块的速度方向均成角,由矢量图可得,可求出第三块的速度大小。2－19一个不遵守虎克定律的实际弹簧,它的弹性力与形变的关系为

式中,。

求弹簧由伸长到时,弹性力所作的功。指导：这是一道典型的变力作功的问题,应用定义

代入数据即可。2－20一人从深的井中提水,起始时,桶中装有的水,桶的质量为,由于水桶漏水,每升高要漏去的水,求水桶匀速地从井中提到井口,人所作的功。指导：水桶匀速上升,由牛顿第二定律,水桶所受合力为0,人的拉力等于水桶的重力,但因水的质量随高度减少,所以这是变力作功问题。选井中水面为坐标原点,向上为轴正向,在处水桶和水的总质量为,由定义积分,可求出人所作的功。2－21质量为的物体沿轴作直线运动,所受合外力,如果在处时速度,试求该物体移动到处时速度的大小。指导：已知物体受力与位置的关系,求运动速度,可用动能定理求解。其中,,故可得。2－22质量为的小球系于绳的一端,另一端固接于点。绳长。将小球拉至水平位置,然后放手。求小球经过圆弧上、、点时的<1>速度；<2>加速度；<3>绳中的力。假定不计空气阻力,并且已知指导：<1>取小球和地球为研究系统,系统所受外力为绳的拉力,但在小球运动过程中,小球的位移与外力垂直,拉力不作功,系统机械能守恒,,即,为时刻绳与水平方向的夹角,由此可求出小球在各位置的速率。<2>由牛顿第二定律,切向力,。法向力,而,<3>绳中的力。代入数据可得小球经过、、各点时的速度、加速度和绳中的力2－23质量为的子弹,在枪筒中前进时受到的合力大小为

子弹在枪口的速度是。计算枪筒的长度。指导：此题是已知物体受力与位置的关系和物体速度变化求物体所走过的距离的问题,可用动能定理解。由功的定义式求出功与距离的关系,再由,,解出距离。2－24一弹簧,原长,劲度系数为,上端固定,下端挂一质量为的物体。先用手托住,使弹簧保持原长。

<1>如将物体托住慢慢放下,达静止<平衡位置>时,弹簧的最大伸长和弹性力是多少？

<2>如突然松手释放物体,物体达到最大位移,弹簧的最大伸长和弹性力是多少？物体经平衡位置时的速度时多少？[提示：<1>平衡位置,合力等于零；<2>最大位移时,瞬时速度等于零,也就是动能等于零。]指导：取弹簧、物体和地球为研究系统,系统所受合外力为0,机械能守恒。此题中势能有两部分,一是物体、地球系统的重力势能,另一是弹簧、物体系统的弹性势能。

<1>由平衡位置合力为零,,求出物体在平衡位置时

弹性力和弹簧伸长量；<2>由物体从突然松手时到最大位移时机械能守恒,其中,求出弹簧的最大伸长和弹性力；<3>由物体从初始位置到平衡位置机械能守恒,即,且,即求出物体经平衡位置时的速度。2－25弹簧下面悬挂质量分别为和的两个物体。最初,它们处于静止状态,突然剪断和之间的连线,使脱落。试用动能定理或功能原理计算,的最大速率是多少？已知,,。

指导：先建坐标,若以弹簧的原长端点的位置为原点,向下为轴正向,的初始位置为,剪断后,到达新的平衡位置时速度最大,受力,由动能定理,式中,可得解出最大速率。*2－26如图所示,质量为的小球,系在绳的一端,绳的另一端固定在点,绳长。今将小球以水平初速从点抛出,使小球在竖直平面绕一周<不计空气阻力>。

<1>求证必须满足的条件：。

<2>设,求小球在圆周上点

<>时,绳子对小球的拉力。指导：取小球和地球为系统,系统所受外力为绳的拉力,但在小球运动过程中,小球的位移与拉力垂直,拉力不作功,系统机械能守恒,设绳与成角时,小球的速度为,则,由此求出小球速度与初速度的关系。

<1>小球在最高点处有,而,从而证出,

<2>由机械能守恒代入已知条件时,在

的点,由牛顿第二定律,

在法向,可得绳子对小球的拉力。

3－16细棒长为,质量为,设转轴通过棒上离中心为一点并与棒垂直,则棒对此轴的转动惯量为<用平行轴定理计算>指导：细棒对过质心的垂直轴的转动惯量为,由平行轴定理,,可求出结果。

3－17在半径为的均匀薄圆盘中挖出一直径为的圆形面积,所剩部分质量为,圆形空面积的中心距圆盘的中心为,求所剩部分对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量。指导：此题用补偿法解,先求未挖过的半径为实心大圆盘对轴线的转动惯量,再由平行轴定理求半径为的小圆盘对边缘且垂直于盘的轴的转动惯量〔,即

两者之差即为所要求的剩余部分转动惯量。式中各部分质量可这样求：

小圆盘的面积,实心大圆盘的面积,

,,又所以挖出小圆盘质量,

而实心大圆盘的质量3－18如图所示,两个物体质量分别为和,定滑轮的质量为,半径为,可看成圆盘。已知与桌面的摩擦系数为。设绳与滑轮无相对滑动,且可不计滑轮轴的摩擦力矩。求下落的加速度和两段绳中的力。指导：此题中定滑轮的质量为不可忽略,滑轮为刚体,因此要对滑轮和两个物体分别进行受力分析。如图,由牛顿第二定律、转动定律立出各物体的动力学方程

1

对,由牛顿第二定律

〔2对,由定轴转动定律

〔3而

〔4

〔5

〔6

由此可解得物体的加速度与绳中的力3－19如图所示,一质量为、半径为的圆盘,可绕垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳,一端悬挂质量为的物体。求物体由静止下落高度时,其速度的大小。指导：此题用机械能守恒解。以圆盘、物体和地球为系统,外力和非保守力不作功,所以由即,其中,,可解得物体速度。3－20如图所示,一物体质量为,从一倾角为的斜面滑下,物体与斜面的摩擦系数为。一飞轮装在定轴处,绳的一端绕在飞轮上,另一端与物体相连。若飞轮可看成实心圆盘,质量为,半径为,其所受的摩擦阻力矩忽略不计。求：〔1物体沿斜面下滑的加速度；〔2绳中的力。指导：设物体的质量为,滑轮的质量为,滑轮的半径为。隔离物体分析受力如图,图中,因物体沿斜面方向运动,所以在该方向和与之垂直的方向上列动力学方程：

对物体,,由牛顿第二定律,沿力方向〔平行于斜面

〔1在垂直于斜面的方向

〔2

对滑轮,由转动定律〔3而

〔4〔5

〔6联立这些方程可解得物体的加速度和绳中的力。3－21如图所示,连在一起大小不同的鼓轮,其质量分别为和,半径分别为和。两鼓轮各绕有绳索,两绳索各挂有质量分别为和的物体。求鼓轮的角加速度和绳的力。〔各鼓轮可看成质量均匀分布的圆盘,绳索质量和轴承摩擦不计。指导：隔离物体分析受力如图,显然,,由牛顿第二定律和转动定律列出动力学方程：对质量为的物体,由牛顿第二定律

〔1对质量为的物体

〔2对鼓轮,由定轴转动定律

〔3而

〔4

〔5

〔6

联立这些方程可解得鼓轮的角加速度、二物体的加速度和绳中的力。3－22如图所示,一质量为、长为的均匀直棒,以铰链固定于一端点。可绕点作无摩擦的转动。此棒原来静止,今在端作用一与棒垂直的冲量,求此棒获得的角速度。指导：此题由角动量定理解,冲量矩,,,可解出棒的角速度,其转向为逆时针。3－23如图所示,与两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接,轮的转动惯量为。开始时,轮静止,轮以的转速转动。然后使和连接,连接后两轮的转速。

求：〔1轮的转动惯量；〔2在啮合过程中损失的机械能。指导：、两飞轮组成的系统在啮合过程中无外力矩的作用,角动量守恒,由式解出轮的转动惯量；再由啮合过程中转动动能的减少求出最后结果。3－24质量为,长为的均匀细棒,在水平面绕通过棒中心并与棒垂直的固定轴转动。棒上套有两个可沿棒滑动的小物体,它们的质量都是。开始时,两个小物体分别被固定在棒中心的两侧,距棒中心都是。此系统以每分钟15圈的转速转动。

求:<1>当两小物体到达棒端时系统的角速度；<2>两小物体飞离棒端后,系统的角速度。指导：在本题中,小物体从开始位置到离开棒的过程中,棒和小物体组成的系统不受外力矩的作用,角动量守恒。开始时,棒和小物体的角速度相同为,,两小物体在处角动量均为,,由角动量守恒,解出。小物体离开棒的瞬时,棒仍以的角速度转动,而小物体的切向速度为。4-10：一系统从状态沿过程到达状态,吸收了的热量,同时对外作功。<1>如沿过程,做功为,问系统吸收多少热量？<2>系统从状态沿图示曲线所示过程返回状态,外界对系统做功,问系统是吸热还是放热？数值多少？

指导：此题中几个过程的始状态和终状态均为图中点和点,能仅是状态的函数,因此,我们可由过程利用热力学第一定律求出、状态的能的增量,<1>沿过程从状态到状态系统吸收的热量为

,

<2>系统从状态沿图示曲线所示过程返回状态,吸收的热量为。

4－18如图所示,一定量的空气,开始在状态,其压强为,体积为,沿直线变化到状态后,压强变为,体积变为。求此过程中气体所作的功。指导：此题利用气体所作功在量值上等于图上过程曲线下的

面积求解,在此过程中气体作正功,即

4－19

压强为,体积为的氮气,摩尔定体热容为,从加热到。

<1>体积不变时,气体能增量是多少？吸收热量是多少？<2>压强不变时,气体能增量是多少？吸收热量是多少？指导：此题应先由理想气体状态方程求出气体的摩尔数,

<1>体积不变的过程,气体不做功,能的增量等于吸收热量

；<2>是等压升温过程,能仅是温度的函数,,吸收热量,式中,

所以。4－20理想气体盛于气缸中,设气缸活塞与气缸壁间无摩擦。其等压摩尔热容为,开始时压强为,体积为。将此气体在等压下加热,使气体体积增大一倍。然后在等体下加热至压强增大一倍。最后绝热膨胀使温度降为起始温度。请将全过程在图中画出,并求能的增量和对外所做的功。指导：全过程如图,此理想气体系统开始状态为Ⅰ,从Ⅰ到Ⅱ为等压过程,从Ⅱ到Ⅲ是等体过程,从Ⅲ到Ⅳ是绝热膨胀过程。由于初态和末态温度相等,所以,从状态Ⅰ到状态Ⅳ的能增量。由热力学第一定律,,全过程吸收的热量等于对外做的功。绝热过程无热量交换,所以全过程系统对外所做的功为,而,

再利用理想气体状态方程和

将T换为已知的、,即得。

而,,可解出全过程气体外所做的功。4－21有、理想气体。在等温过程体积膨胀为原来的3倍,求气体对外作的功。指导：在等温过程中,理想气体状态方程中的温度是常量

〔,因而压强与体积的函数关系为

,从等温膨胀到,气体对外做功为

,,利用理想气体状态方程解出代入积分即可。4－22的氮气,温度为,压强为。将气体绝热压缩,使其体积变为原来的。求<1>压缩后的压强和温度；<2>在压缩过程中气体所作的功。指导：设初始压强、体积和温度分别为、和,压缩后的压强、体积和温度分别为、和。<1>由绝热方程、

解出、；

<2>由求出,而气体绝热过程作功等于能的减少,即。4－23

一卡诺机,在温度和的两个热源间运转。<1>若一次循环,热机从的热源吸进的热量,问应向的热源放出多少热量？<2>若此循环逆向工作〔按制冷循环工作,从的热源吸进热量,问应向的热源放出多少热量？

指导：<1>对卡诺热机,,故向低温热源放出的热量为；

<2>对卡诺制冷机,有,故向高温热源放出的热量由卡诺制冷机求出向高温热源放出的热量。4－24

一卡诺机低温热源温度为,效率为,若要把它的效率提高到,高温热源的温度应提高多少度？指导：由分别解出两个不同效率时高温热源的温度,再求其差。

4－25

有一以理想气体为工作物质的热机,其循环过程如图所示。试证明热机效率为指导：这是由三个过程组成的循环过程,其中绝热过程,等体过程为吸热过程,等压过程为放热过程。将二式代入化简即可。4－26

一定量的理想气体经图示循环,请填写表中的空格。指导：对各过程应用热力学第一定律,由各过程的特征可得下表〔表中方框的数字如是已知的。

能增量作功吸热量*4－27

质量为,摩尔质量为的理想气体,在等体过程中温度从升高到。试证这一过程中熵变为

指导：在气体的初态和末态间作等体可逆曲线。在气体沿此曲线温度升高的元过程中,气体吸热为熵增为

*4－28

质量为,摩尔质量为的理想气体,摩尔定压热容为。在等压过程中温度从升高到。试求这一过程中熵变。指导：在气体的初态和末态间作等压可逆曲线。在气体沿此曲线温度升高的元过程中,气体吸

熵增为

电荷与相距,求两电荷连线上电场强度为零的位置。指导：两个电荷均带正电,在两电荷之间的连线上,两电荷的电场强度方向相

反,场强为零点一定在两个电荷之间

以一个电荷的位置为坐标原点,轴的方向指向另一个电荷,则两电荷在处产生的场强分别为

,,

由,即解出电场强度为零的位置

。5－17一细棒被弯成半径为的半圆形,其上部均匀分布有电荷,下部均匀分布电荷,如图所示。求圆心处的电场强度。

指导：这是求电荷连续分布带电体场强的问题,且电荷分布有对称性,电荷线密度。在上半弧取电荷元。对圆弧类问题用角量讨论较为方便,将代入,则在点产生的场强的大小为

,方向如图所示；

在下半弧对称位置取电荷元,其在点产生的场强的大小与的大小相等,方向关于轴对称,所以总电场仅有方向的分量。,积分。5－18

两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为和,如图所示。求：

<1>图中三个区域的场强、、的表达式；

<2>若,那么、、各多大？指导：二电荷均匀分布的无限大平板的电场均为匀强场,左边平板的电场方向如下图实箭头所指,大小为,右边平板的电场方向如图中虚箭头所指,大小为,由叠加原理即可求得个区域的场强5－19

一半径为,圆心角为的圆环上均匀分布。求环心处的电场强度。指导：此题应该选取一合适的坐标系,如取圆环的对称轴为轴,坐标原点位于圆心的坐标系。环上单位长度电荷绝对值为。如图,在处取电荷元,其在环心处的电场强度方向如图,大小为由于对称,在方向,。在方向从到积分,即可得。因此,环上电荷在环心的电场强度为5－20

若电荷均匀分布在长为的细棒上,求证在棒的延长线上,且离棒的中心为处的电场强度的大小为指导：取坐标如图。

在棒上处取微元,其上电荷为,其在棒的延长线上距中心处的点的场强方向沿轴正向,大小为从到积分即可得证。5－21

若电荷均匀地分布在长为的细棒上。求证在棒的垂直平分线上,离棒为处的电场强度大小为当时,求离棒为处的电场强度。

指导：取坐标如图。

在棒上处取微元,其上电荷为,其在棒的垂直平分线上距中心处的点的场强方向如图,大小为

由对称知,在方向,。在方向由,,,故将变换为,或将变换为后积分,即可得证。对积分时,积分限为从到,对积分的积分限为从端对应的到端对应的,而当时,令,为线电荷密度,离棒为处的电场强

若是正电荷,则垂直于长棒向外,此结果应熟记。

5－22

边长为的立方盒子的六个面分别平行于、和平面。盒子的一角在坐标原点处,在此区域有匀强电场,场强

。求通过各面的电场强度通量。指导：匀强电场通过平面的通量为,为垂直于轴的两个面,为垂直于轴的两个面,为垂直于轴的两个面,,代入已知条件,可分别计算通过垂直于三个坐标轴的平面的电通量

,,5－23

一均匀带电半圆环,半径为,电量为,求环心处的电势。

指导：在半圆环上取微元,该微元所带电量为,其在圆心的电势为,对半圆环积分即可求得结果。5－24

一电荷面密度为的无限大均匀带电平面,若以该平面处为电势零点,求带电平面周围的电势分布。指导：建立坐标如图所示。

无限大平板在周围空间的场强方向如图中箭头所示,

大小为,故

由平板电势为零有点,

在的区域,电势分布为在的区域,电势分布为

因此5－25

如图所示,已知,；,。求：<1>点和点的场强和电势；<2>点和点的电势；<3>将电量为的点电荷由点移到点,电场力所作的功；<4>将由点移到点,电场力所作的功。

指导：<1>、<2>由叠加原理求各点的场强和电势,求解过程中要正确地写出各源点电荷到场点的距离,注意场强是矢量,分析其方向。<3>、<4>由

求电场力所作的功。13

如图所示,有两根平行的长直导线,相距,分别载有同方向的电流和。求<1>点处磁感强度的大小和方向；<2>为零的位置。指导：长直导线产生的磁场公式为,

<1>两平行的长直导线在点处磁感强度的方向相同,垂直向外,由叠加原理

可求得点的磁感强度；

<2>磁场为零的点必在两导线之间,该处两直导线的磁场方向相反,大小相等。

设距为,由可解出结果。6－14

如图所示,两导线沿半径方向分别接入一质量均匀的导线环上的、两点,并与很远处的电源相接,求环心处的磁感强度。指导：由图知弧和弧并联,有,而,电阻与圆弧长度成正比,因而也与圆弧的角成正比,于是,而两段圆弧上的电流在中心点的磁场方向相反,可解出

6－15

将导线弯成边长为的正六边形,若沿导线流过电流强度为的电流,求六边形中心处的磁感强度的大小。指导：此题由叠加原理解,每载流边在点的磁感强度方向相同均为,大小为,式中,代入上式,可解出点的磁感强度的值。6－16

如图所示,两根长直导线互相平行地放置,导线的电流大小相等均为,方向相同,求图中、两点的磁感应强度的大小和方向〔图中。

指导：此题由磁场的叠加原理求解,在点,两导线的磁感强度大小相等、方向相反,；在点,两导线的磁感强度大小相等。方向如图,合磁感应强度方向垂至于向左,大小为。6－17

如图所示,载有电流的长直导线,距此导线处放置一矩形回路与导线共面。求通过此回路所围面积的磁通量。

指导：长直导线产生的场是非均匀场,求磁通量要积分,在距长直载流导线处取面元,该处磁感强度方向为,大小为,磁通量为,通过整个回路所围面积的磁通量为。6－18

一质谱仪的构造原理如图所示,可用它测定离子质量。离子源产生质量、电荷的正离子。离子的初速度很小,可视为静止的,离子源是气体正在放电的小室。离子产生出来后经电势差加速进入磁感强度为的匀强磁场中。在磁场中,离子沿一半圆周运动后射到距入口缝隙处的照相底片上,并由照相底片把它记录下来。若根据实验测定可得到、、、,求离子的质量。

指导：带电粒子在电势差为的电场中加速,电场力的功等于粒子动能的增量。从而以速度垂直进入磁场,在磁场中受洛伦兹力的作用,作匀速圆周运动,,解出离子的质量。6－19

一线圈由半径为的四分之一圆弧组成,如图所示。通过的电流为,把它放在磁感强度为的均匀磁场中,的方向垂直纸面向里,求<1>、、弧所受磁力的大小和方向；<2>整个线圈受的合力。指导：载流导线在磁场中所受安培力为。由于是匀强场,故段：,方向向下；段：,方向水平向右。弧受力与弦相同,,方向垂直于弦,且背离圆心,式中。<2>整个线圈受的合力为,式中括号中矢量积分,。6－20

如图所示,一根长直导线载有电流,矩形回路载有电流。求作用在回路上的合力。已知,,。指导：长直导线在矩形回路处产生的场的方向为,大小为,矩形回路上下两边所受的安培力大小相等、方向相反、在同一条直线上,相互抵消；左右两边受力方向相反,大小分别为和,回路所受合力为,方向向左,式中,,。－14

一匝数的线圈,通过每匝线圈的磁通量,求：〔1任意时刻线圈感应电动势的大小〔2在时,线圈的感应电动势的大小。指导：

此题可由法拉第电磁感应定律ℇi代入磁通量的表达式求导,并代入数据即可得结果。

7－15

如图所示,长直导线有以的变化率稳定增长的电流,

求：

<1>

若某时刻导线中的电流为,那么,穿过边长为的正方形回路与长直导线共面的磁通量为多少？<2>

回路中感应电动势多大？感应电流的方向如何？指导：先取坐标如图,写出直导线周围磁场的表达式,在正方形上取面元<>,通过此面元的磁通量为,由求出磁通量,再由ℇi求出感应电动势,感应电流的方向亦可由楞次定律判断。

7－16

如图所示,长的金属棒绕通过端的轴旋转,棒与的夹角为,棒的角速度,磁场的方向与轴相同,大小为,求上的感应电动势的大小和方向。指导：在棒上沿、距端为处取微元,微元的动生电动势为

ℇi,的方向垂直于轴,

故,又,将此两式代入ℇi中,积分可得。7-17

在无限长直导线有电流,一矩形线框与长直导线共面。线框上接有电压表,并以速度沿径向离开载流直导线,如图所示。<1>求电压表的读数〔用、、表示,并在图中标出电压表的正、负极；<2>若,,,,,则电压表的读数为多少？指导：<1>线框平面上距长直载流导线的磁感强度方向为,大小为。通过线框的磁通量为

对求导数,即得ℇi

注意,此式中和均随时间变化,,电压表的正负极亦可有楞次定律判断。7-18

在长为,直径为的纸筒上应绕多少匝线圈才能使绕成的螺线管的自感为?指导：由自感系数的公式解出线绕匝数。7－19

两长直螺线管同轴并套在一起,半径分别为和,匝数分别为和,长度均为。求互感系数。指导：先设一个线圈中〔如半径为的线圈中通有电流,其在管产生的磁场,再求其通过另一个线圈的磁通链,互感系数。7－20

在真空中,若一匀强电场中的能量密度与一的匀强磁场能量密度相等,求该电场的电场强度。指导：电场能量密度为,磁场能量密度为,由可求得电场强度。8—15有一个弹簧振子,振幅为,周期为,初相为。

<1>求振动方程；<2>画出,,曲线。指导：

将已知条件直接代入振动方程中即可,式中。

,画出,,曲线如图。8—16简谐振动方程为

求：<1>振幅、角频率、频率、周期和初相；<2>时的位移、速度和加速度。指导：将已知方程与标准方程比较可得、、,再由、求出频率和周期。由,求出时的位置、速度和加速度。8—17一放置在水平桌面上的弹簧振子,振幅为,周期为,当时,

<1>

物体在负方向的端点；<2>

物体在平衡位置,向正方向运动；<3>

物体在,向负方向运动；

<4>

物体在,向正方向运动。

求以上各种初始条件下的振动方程。指导：由时旋转矢量的位置即可求得。8—18一物体沿轴作简谐运动,振幅为,周期为,当时位移为,且向轴正方向运动。求：

<1>时,物体的位移、速度和加速度；<2>物体从处向轴负方向运动开始,到平衡位置,至少需要多少时间?指导：〔1初相位由时旋转矢量的位置定,求出振动方程后再由,求出时的位移、速度和加速度。

〔2设时刻物体位于处,沿负向运动,时刻物体位于平衡位置,二时刻的旋转矢量如图,在此期间相位改变为

8—19作简谐振动的物体,由平衡位置向轴正方向运动,求经过下列路径所需时间各为周期的几分之几？

<1>

由平衡位置到最大位移处；

<2>

这段距离的前半段；

<3>

这段距离的后半段。指导：此题由旋转矢量解较方便,设物体在时刻位于平衡位置,在时刻位于处,在时刻位于处。各时刻振动的旋转矢量如图,由即可求得经历各段路程所需的时间。8—20两个物体各自作简谐振动,它们频率相同,振幅相同。第一个物体的振动方程为,当第一个物体处于负方向端点时,第二个物体在处,且向轴正方向运动。求：<1>两物体振动的相位差；<2>第二个物体的振动方程。指导：<1>由旋转矢量图可知,二物体振动的相位差为

<2>由此,第二个物体的振动初相为

8—21一简谐振动的运动学方程为

<1>若计时起点提前,写出其运动学方程。<2>若使初相为零,计时起点应提前或推迟多少？指导：计时起点提前,则新的时间与老的时间的关系为。

〔1当将上式代入原方程,即可得新的记时起点对应的振动方程。

<2>设提前的时间为,,为

当时初相为0,式中为整数,,,为提前；,,为推迟。8－22一物体放置在平板上,此板沿水平方向作简谐振动。已知频率为,物体与板的静摩擦系数为。要使物体在板上不发生滑动,最大振幅是多少？指导：要使物体在板上不发生滑动,则物体所受静摩擦力能带动物体运动,设平板和物体一起振动的方程为,而物体作简谐振动的加速度为,,最大静摩擦力,由牛顿定律,,所以有,解出振幅。8—23实验表明,当车辆沿竖直方向振动时,如果振动的加速度不超过,乘客就不会有不舒适的感觉。若车辆竖直振动的频率为,求车辆振动的振幅最大允许值是多少？指导：设车辆作简谐振动,方程为,振动的加速度,由解出最大允许振幅的值。8—24一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,其表达式分别为

用矢量图法求合振动方程。指导：由方程作出时刻两简谐振动旋转矢量如图。

8—25已知两简谐振动的运动学方程为

求：<1>合振动的振幅和初相；

<2>如另有运动学方程为的第三个简谐振动,则为何值时,才能使的合振动的振幅最大？为何值时,才能使的合振动的振幅最小？指导：〔1由方程作出时刻两简谐振动旋转矢量,,

。〔2的合振动的振幅最大,则同相振动；

的合振动的振幅最小,则反相振动,。8—26某阻尼振动的起始振幅为,经过后变为。

求:<1>该阻尼振动的阻尼系数；

<2>经过多少时间后振幅变为。指导：阻尼振动的初始振幅为,时代入可求出阻尼系数；将代入式中,可求得时的。9－17一横波沿绳子传播时的波动方程为

试求：<1>绳上各点振动时的最大速度和最大加速度；<2>处质点的振动方程。指导:

由波动方程对时间求偏导数和,

其速度、加速度的振幅即为最大值。

9－18已知某平面简谐波在介质中以速度沿轴负向传播。若原点的振动方程为

求:

<1>波动方程；

<2>在处的振动方程。

指导:

因为已知的是原点的振动方程,且波向轴负向传播,处的振动相位比原点超前,将式中换成即得波动方程；将代入波动方程可得该处的振动方程。

9－19平面简谐波以速度沿轴正向传播,点位于处,它的振动方程为

求：<1>原点的振动方程；

<2>波动方程。指导:

波沿轴正向传播,已知处质点元的振动方程,将式中改为,即是波动方程；将代入波动方

程,即得原点的振动方程。9－20一余弦式空气波沿直径为的圆柱管行进,波的平均能流密度为,频率为,波速为。

求：<1>波的平均能量密度；

<2>波的最大能量密度；<3>两相邻的同相位面之间空气中的波的能量。

指导:

由求；；。9－21有一波在介质中传播,其波速为,振幅为,频率为。若介质的密度为。

求：<1>该波的能流密度；<2>垂直通过面积为的平面的总能量。指导:

直接由公式和计算。9－22

如图所示,两振动方向相同的平面谐波的波源分别位于、两点。设它们相位相同,频率为,波速为,求点处两列波的相位差。指导:

先求出波长,处两列波的相位差,考虑到很小,所以,。9－23位于、点的两相干波源,相位差为,振动频率均为,产生的波以的速度传播,介质中点与、等距离,如图所示。、两波源在点引起的分振动的振幅都是。设点波源的初相为。

求：<1>点的振动方程；<2>如果、的相位差为零或时,点的振动方程。指导:

先求出波长,由于、两波源到点的波程差为0,处两列波的相位差就是两波源的初相差,<1>当,P点静止；<2>当,,相位比点落后。若,则,等于的幅角减去,再减去P点比波源滞后的相位,即9－24绳索上的驻波由下式表达求：形成该驻波的反向行进的行波的振幅、波长和波速。

指导:

二反向行波为和,其合成的驻波方程为,将此式与已知的表达式比较可得振幅、波长和波速。9－25设机车以的速率行驶,其汽笛声的频率为,空气中的声速为,求下列情况下观察者听到的频率。

<1>机车向观察者靠近；

<2>机车离开观察者；<3>机车的运动方向与机车和观察者的连线垂直。指导:

此题由已知的公式代入数据即可求得结果。<1>机车向观察者靠近时,观察者听到的频率为；<2>机车离开察者时,观察者听到的频率为；<3>机车的运动方向与机车和观察者的连线垂直时没有多普勒效应。9－26

一声源以的频率振动,它必须以多大速度向观测者运动才能使观察者听不到声音？可闻声的最高频率,空气中的声速为。指导:

将可闻声的最高频率作为,由,即可求出声源运动的最小速度,。10－22

单色光射在两个相距为的狭缝上,在狭缝后的屏幕上,从第一级明纹到同侧第四级明纹间的距离为。求此单色光的波长。指导:

由明纹位置,一级、四级明纹间的距离,解出波长。

10－23以波长为的激光作双缝干涉实验,双缝间距为。求距双缝的屏幕上相邻两明纹间的距离。指导:相邻两明纹间距。

10－24双缝装置的一个缝被折射率的玻璃所遮盖。在玻璃片插入后,屏上原来的中央明纹处现为第五级明纹所占据。设入射光波长为,求玻璃片的厚度。指导:设玻璃片的厚度为,遮盖了玻璃片后,两光束的光程差为,原在中央明纹处,,。10－25在很薄的玻璃劈尖上用单色光垂直照射,光的波长为,测得相邻两条纹的间距为,玻璃的折射率为,求此劈尖的劈角。指导:由条纹间距,解出劈角。10－26

用垂直照射的单色光观察牛顿环,测得第五级明环直径为,透镜的曲率半径为,求所用光源的波长。指导:

由牛顿环的明纹半径公式,解出。10－27在空气中,垂直入射的白光从肥皂膜〔上反射,在可见光谱中处有一个干涉极大,而在处有一干涉极小,并且在这极大与极小之间没有另外的极值出现。求肥皂膜的厚度。指导:

厚度为的等厚膜对两不同波长的光入射,其反射光的光程差分别为<极大>,<极小>,中间无其它极值,此处的极大和极小同级次,,联立上三式,可解得。10－28单缝夫琅禾费衍射装置中,若缝宽为,凸透镜焦距为,用和的平行光垂直照射到单缝上。求这两种光的第一级明纹中心的距离。指导:设两种单色光的第一级明纹的衍射角分别为和,由教材式<10-34>明纹条件,当有,,因很小有,代入上两式有,,,。10－29单缝夫琅禾费衍射实验中,以波长为的光垂直入射在单缝上,若凸透镜的焦距为,测得右方第一级暗纹和左方第一级暗纹间的距离为。求缝宽。指导:一级暗纹条件为,因衍射角很小,有,代入上式得单缝宽度间,式中。10－30波长为和的平行光垂直照射到光栅上,用焦距为的凸透镜把通过光栅的光线聚焦在屏上。若光栅常量为,求这两种光同侧的一级明纹中心的距离。指导:由光栅方程可求得两种波长的光所对应的一级明纹的衍射角,且。因而一级明纹到中央明纹的距离

两个一级明纹之间的距离为

10－31某衍射光栅在中具有条均匀间隔的刻线。钠光灯发出的黄光垂直入射在光栅上,这种黄光包含有两条紧邻的谱线,其波长分别为和求：<1>对的光,第一级明纹的衍射角；<2>两条光线第一级明纹之间的角间距。指导:光栅的光栅常量,由光栅方程可求得两种波长的光所对应的一级明纹衍射角和。应注意在这一题中相当大,、和三者差别较大。两条光线一级明纹间的角间距为。10－32已知地球至火星的距离为,光的波长为。在理想情况下,试估计火星上两物体的线距离为多大时,恰好能被地球上的观测者用孔径的望远镜所分辨。指导:

最小分辨角,而,式中为火星与地球间的距离,为恰能分辨的距离。10－33两偏振片的偏振化方向之间的夹角为,如入射自然光的强度为,求透过两偏振片后光的强度。当两偏振化方向之间的夹角变为时,透射光的强度为多少？指导:自然光透过第一个偏振片后,光强变为,透过第二个偏振片的光强可由马吕斯定律求得。*10－34一光束是自然光和线偏振光的混合,当它通过一偏振片时,发现透射光的强度取决于偏振片的取向,并可变化5倍,求入射光束中两种光的强度各占总入射光强度的几分之几？指导:设入射光中线偏振光光强占,自然光光强占。自然光透过偏振片后强度变为,线偏振光透过偏振片后,若两偏振片偏振化方向同向光强为,若两偏振片偏振化方向彼此垂直光强为,所以有,解出。10－35当光从水〔射向玻璃〔而反射时,起偏振角为多大？当光从玻璃射向水中而反射时,起偏振角又为多大？指导:

光从水中射向玻璃,,光从玻璃射向水中而反射时,,交换一下即可。10－36一束光以布儒斯特角入射到平板玻璃的上表面,试证明玻璃下表面的反射光亦为偏振光。指导:

如图,由折射定律

当时,由布儒斯特定律

有,即

则

,而,故

,

由于,

因此亦为布儒斯特角,玻璃下表面的反射光为全偏振光。*10－37光源辐射波长为的单色光,辐射通量为,视见函数。求光源辐射的光通量。指导:直接由公式计算。*10－38设有一个的灯泡,其发光效率为。假定把灯泡看成在各方向均匀发光的点光源,求：

<1>光源的发光强度；<2>在距灯泡处垂直照明的屏上的照度。指导:<1>发光强度,<2>屏上的照度为。*10－39某房间长宽高分别为,,,一个发光强度为各方向均匀发光的灯悬挂在天花板中心,离地板2.