柯西定理公式第二节

第二节柯西定理本章我们将用柯西积分公式来研究复变函数.首先我们来介绍一下我们的研究路线：首先主要的参考文献仍然是史济怀和刘太顺老师教材，辅以钟玉泉、谭小江、阿尔福斯的部分内容.补充内容以余家荣老师的《复变函数专题选讲》为主.然后习题方面我们以史济怀、刘太顺老师和Stein的教材为主.第一部分我们将证明柯西积分定理，并且一上来我们就必须明确柯西积分公式在什么时候成立，请大家务必对成立条件关注.顺此，并引出复变函数的原函数的概念，并推出柯西积分公式给出其几个推论.然后我们重点研究一下如何用这个公式研究复变函数的导数，以及进行计算.补充内容中，适用于对学过拓扑的同学，我们会定义只定义在曲线上的原函数，并引出同伦、同调形式的柯西积分定理.习题将分散在例题和练习中.柯西积分定理预备知识：线积分在正式进入柯西积分公式中，我们需要先将积分的定义引入复变函数中，由于这一部分的内容比较容易，所以我们只叙述定义和结论.我们将函数写为实部和虚部，那么积分为：由实函数的积分的可积性我们知道，只要连续即连续，那么函数就是可积的.(由于我们在复变函数中研究的几乎都是比连续强的条件，因此我们不考虑可积性问题.)事实上，和实函数一样，我们计算复函数的积分大多数也是采用参数方程的方法：image现在我们来计算几个简单的复变函数的积分吧！也许不少人会直接说因此积分一下就出来了，但是事实上我们还不能这样做，我们并没有建立其复变函数中原函数以及莱布尼茨公式，因此还是要采用参数方程或者定义来做，由于这个题曲线只是可求长曲线，因此我们只能通过划分，求和取极限来做，我们就省略这个过程.Cauchy版本接下来，我们将要花大功夫来讨论函数的积分与函数本身、区域、积分路径的关系.(为什么要讨论这些？)因为一个在未知函数性态时，该函数的积分就与函数本身、区域、路径有关.但是由于我们在本节课中研究的更多的是全纯函数，因此我们重点研究区域和路径.不同的书本上就是分这两种方式来切入柯西积分公式的，国内的教材都是研究区域，这样似乎看上去也更简单些，因此我们也不拒绝这种方式.在此之前，我们先说明一件事实：即使函数是全纯，路径是圆环，那么在不好的区域也是可能积分为0(这个不好是相对的)，例如：我们刚刚算过它的积分为.这里积分不为0的原因其实是因为单连通区域被破坏了，如果区域是单连通的，结果就会有所不同.我们先证明第一个版本的柯西积分定理：Cauchy版本.我们将函数写为实部虚部，因为连续且全纯，因此满足Cauchy-Riemann方程，且是调和函数.一阶偏导数均为连续的.因此积分为0.这里连续是为了用到偏导数连续，从而使用Green积分公式.这里读者自然会想能否降低条件，毕竟连续是一个比较强的条件了，仅仅解析不行吗？下边我们就证明一个更强的结论.Goursat证明单连通域+域内的曲线.2.1下边我们先说明证明的思路：1.先证明对三角形而言，该定理是满足的;2.再证明如果是多边形，那么该定理也是满足的；3.L是一条普通的线，总存在一个分割,使得所有分点都在L上，且积分：我们仅对1，2进行证明，因为3是一个利用一致连续性的数学分析的证明.(参见上边的任何一本国内教材都行.)第一步的证明:

对于这个三角型，我们将其中点连接起来，分为四个一样大的三角形，如图我们将积分路径分为四个三角形内的积分路径，红色的叉叉部分由于积分路径相反因此抵消了.因此积分为：反证，我们假设不为0,因此四个积分中必有一个不为0，我们不妨设绝对值最大的为第一个，那么：对于这个三角形，我们做同样的处理，因此我们又可以选出一个绝对值积分大于：的三角形，我们即为.于是可以得到：一串三角形

,记它们的边界为

,这串三角形具有下列性质:\hs{由闭集套定理可知，必能闭出唯一的点，且在内.}由全纯的定义，对于任意的且在包含的区域内，存在使得：,根据可微的定义我们知道：由于

在

处全纯,故对任意

,存在

,当

时,第二步的证明

对于路径围成的区域为多边形，我们可用类似的方法切割.2.3虚线部分因为来回积分因此被抵消了！至此第二部分也证明了.至于第三部分注意到一致连续性即可得证.刚刚我们证明的结论曲线是在区域内部，下边我们还有更强的结论：即函数在区域内部解析，在边界连续(从而一致连续).这个定理的证明目前对我们来说还是不容易的.一种想法是可以类似刚刚我们证明上一个定理那样通过分割使积分值的差充分小，这样做的问题在于，刚刚的曲线在内部因此该分割的连线总是在区域内部，此时函数仍全纯，但是对一般的曲线而言，当在边界时划分的连线可能不在区域内，这就麻烦了.基于这个原因，我们总是要想一个合适的划分，至于怎么划分这个可以取去知网查《推广的柯西积分定理及应用》，还有一种思路是从内部画曲线逼近边界，由于内部的曲线总是满足柯西积分定理，因此只要取合适的逼近就可以达到证明.相比于第一种思路，第二种可能简单些.这个思路可以参见龚晟老师的《简明复分析》.(这个证明和数分中证明Green公式以及重积分换积分次序类似，通过划分第一类区域和第二类区域完成证明.)上述我们考虑了单连通区域的柯西积分定理，对于多联通区域，虽然不能做到积分为0，但是也可以利用柯西积分定理简化积分：为了能够较为清楚的说明这一定理，我们仅用三连通区域简单说明.如图我们的积分路径为.现在我们更换积分路径，从A点出发，经过走完全部的积分，由于积分的线性性，因此互为逆方向的路径积分抵消掉.其中以及组成了环路，我们分别记为.新的积分路径中不包含因此是积分为0，即：但是注意到的方向是顺时针，因此当移到右边把负号换为正方向，就得到了证明.至于定理的证明，不外乎将2个换为个，因此结论得证.柯西积分定理在计算积分方面一个明显的优势就是更换积分路径，就像上图一样，原来的积分路径是曲线,现在的积分路径换为了两个新的环路，而这个环路的形式可以由我们自行选择，比如如果函数是,那么我们把积分路径换位.这样利用我们之前的那个典型的积分结果就可以迅速的计算.特别的，当区域为2-连通区域时，我们可以任意的换积分路径：2.5首先注意到这里的一个非常重要的条件是,在书本的正文部分，我们