自由阻尼悬臂梁的振动频率分析

自由阻尼悬臂梁的振动频率分析

由于结构简单、应用方便、经济，自由衰减悬臂梁被广泛应用于减少振动和噪声结构的工程领域。关于静气理论和实验分析的结果表明，许多关于静气模型的方程和实验分析的成果很少。在本研究中，基于汉分原理，我们计算了自由衰减梁的控制方程，然后根据模型叠加法和虚拟功原理，在集中力突然崩溃的情况下，自由衰减梁的动态反应方程的分析解。1自由阻尼悬臂梁的数值模型采用直角坐标系,X轴通过复合结构的中性轴.图1为自由阻尼悬臂梁的结构图.根据文献可知,自由阻尼悬臂梁中性轴到基层形心轴的距离d=Evh2(h2+h1)/[2(Evh2+Eeh1)]‚式中:Ev为阻尼层材料的弹性模量;Ee为基层材料的弹性模量.将自由阻尼悬臂梁结构横向位移近似的用弹性悬臂梁模态展开,w(x,t)=n∑i=1fi(t)Χi(x)‚(1)式中悬臂梁横向位移各阶模态函数Χi(x)=cosh(kix)-cos(kix)-αi(sinh(kix)-sin(kix)),其中:ki为系数,x为X轴上的长度变量,αi=cos(kiL)+cosh(kiL)sin(kiL)+sinh(kiL),k1L=1.875,k2L=4.694,k3L=7.854,kiL=(i-0.5)π(i=4,5‚⋯).阻尼层采用复常数模型,运用汉密尔顿原理推导出自由阻尼悬臂梁的控制方程.自由阻尼悬臂梁的应变能ˉU=12E1Ι1∫L0(∂2w∂x2)2dx+12E2Ι2∫L0(∂2w∂x2)2dx‚(2)式中:E1为基层的弹性模量;I1为基层对复合结构中性轴的截面惯性矩;I2为阻尼层对复合结构中性轴的截面惯性矩;E2=Ev(1+iηv),ηv为阻尼层的损耗因子.自由阻尼悬臂梁的动能ˉV=12ρ1A1∫L0(∂w∂t)2dx+12ρ2A2∫L0(∂w∂t)2dx‚(3)式中:ρ1为基层的密度;A1为基层的截面面积;ρ2为阻尼层的密度;A2为阻尼层的截面面积.把式(1)代入式(2)和式(3),可得{ˉU=12(E1Ι1+E2Ι2)n∑i=1n∑j=1Κijfi(t)fj(t)；ˉV=12(ρ1A1+ρ2A2)n∑i=1n∑j=1Μij˙fi(t)˙fj(t)‚(4)式中:Kij=∫L0Χ″i(x)Χ″j(x)dx;Mij=∫L0Χi(x)·Χj(x)dx.是梁的拉格朗日函数,ˉL=ˉV-ˉU.拉格朗日方程为ddt(∂ˉL∂˙fi)-(∂ˉL∂fi)=0.(5)把式(4)代入式(5),得到自由阻尼悬臂梁的控制方程¨fi(t)+ω2ifi(t)=0‚(6)式中ω2i=(E1I1+E2I2)Kii/[(ρ1A1+ρ2A2)Mii]为梁的各阶固有频率,显然自由阻尼悬臂梁的ωi为虚数.定义自由阻尼悬臂梁的频率ω=√Re(ω2i).2初始位移响应在自由阻尼悬臂梁的自由端作用一个集中力P0,当P0突然撤掉时,计算其响应.当悬臂梁自由端作用一个集中力P0时,用模态叠加方法模拟梁的初始挠度曲线函数,梁的初始挠度曲线为w0(x)=n∑i=1biΧi(x).(7)此时自由阻尼悬臂梁处于弯曲位置时应变能U=12(E1Ι1+E2Ι2)∫L0(∂2w0∂x2)2dx=12(E1Ι1+E2Ι2)n∑i=1b2iΚii.(8)考虑虚位移δbiΧi(x),根据虚位移原理可得Ρ0δbiΧi1=(∂U/∂bi)δbi,(9)式中Χi1表示x=x1处计算的Χi的值.把式(8)代入式(9)得bi=Ρ0Χi1/[(E1Ι1+E2Ι2)Κii].(10)假设梁有初始位移的自由振动的响应wj(x)=n∑j=1AjΧj(x)exp[i(ωjt+φj)]‚(11)式中Aj为未知系数.再利用初始条件可得wj(x)=n∑j=1e-ηωjt/2bj[cos(ωjt)-η2sin(ωjt)].3尼层材料参数对自由振动频率的影响计算自由阻尼悬臂板在集中力P0=10N突然撤掉时梁的响应.梁的长度L=0.4m,宽度b=0.03m.弹性层材料为铝板,其材料参数为h1=0.004m,E1=7.1GPa,ρ1=2700kg/m3.阻尼层材料参数为:ρ2=1200kg/m3,G2=0.869MPa,泊松比μ2=0.4,ηv=0.8,h2=0.004m.其模态自由振动的频率分别为:一阶模态时34.45Hz;二阶模态时215.02Hz;三阶模态时602.11Hz;四阶模态时1179.9Hz.利用此方法分别计算了在t=0时刻突然撤去P0时,弹性悬臂梁和自由阻尼悬臂梁的瞬态响应,结果分别见图2和图3.从图2可以看出,理想的弹性悬臂梁的响应具有明显的周期性,