《空间向量基本定理》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】

《空间向量基本定理》教学设计教学目标教学目标1、理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理的内容及含义.提升学生的数学抽象素养.2、会用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理解决空间几何中的简单问题．提高逻辑推理、数学运算的数学素养．教学重难点教学重难点教学重点：理解共面向量定理教学难点：利用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理解决空间几何中的简单问题.课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第12-13页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习空间向量基本定理第一课时共面向量定理的知识内容．（2）本节知识主要是回顾平面向量的基本定理，及由平面向量基本定理得到的共面向量定理，是平面向量相关知识向空间的推广，因此这时的教学应继续紧扣“推广”这一重要环节．它对于下一节学习空间向量基本定理做好了铺垫，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.探索新知复习概念问题2：我们在必修第二册第六章中曾经学习过平面向量中的共线向量基本定理和平面向量基本定理，请同学们归纳出共线向量基本定理和平面向量基本定理．（板书：空间向量及其运算第一课时）师生活动：在教师的指导下共同归纳总结共线向量基本定理和平面向量基本定理．教师讲解：平面向量中的结论(1)共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.设计意图：通过复习,引导学生把握数学内容的本质,发展学生数学学科核心素养,使学生加深理解共线向量基本定理和平面向量基本定理,为下面学习空间向量基本定理打下坚实的基础.2、形成定义观察上述共线向量基本定理和平面向量基本定理,思考上述结论在空间中是否仍然成立？如何判断空间中的三个向量是否共面？师生活动：通过类比，学生自己得出共面向量定理的内容．教师讲解：可以看出,共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立．例如,如图1-1-16所示的正方体中,P在直线上的充要条件是,存在实数λ,使得,如果M在底面ABCD内,则一定存在实数s与t,使得,而且,若ME⊥AD,MF⊥AB,则,另外,在空间中,由平面向量基本定理以及空间向量加法的平行四边形法则,还可以得到如下空间中三个向量是否共面的判别方法.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb.设计意图：通过引入正方体的具体实例让学生进一步验证了共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立.由学生自己动手实践、观察、比较,抽象概括得出定理,让学生体会由特殊到般的思维方法,发展学生的理性思维能力.问题3：如何证明共面向量定理？师生活动：学生自己写出证明过程，教师给出答案．预设的答案：在共面向量定理的证明中,证明必要性时,因已知条件和求证结论与平面向量基本定理吻合,充分性的证明如下:因为分别与共线,所以都在确定的平面内,又因为是以为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在确定的平面内,所以在确定的平面内,即与共面．设计意图：通过对定理的证明，强化共面向量定理的理解．三、初步应用例1例1如图1-1-17所示,已知斜三棱柱,

,在上和BC上分别有一点M和N,且,其中，求证:共面．师生活动：学生尝试自行解答，由老师指定学生给出证明，教师给出规范解答．预设的答案：证明因为，=，所以由共面向量定理可知,共面．设计意图：例1旨在说明共面向量定理的应用，可以通过分析，明确证明目标，应注意让学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立分析问题解决问题的能力．练习：已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，确定在下列条件下，点M是否与A,B,C共面：师生活动：学生根据例1做出解答，并由教师给出答案．预设的答案：（1）共面；（2）不共面．设计意图：加强对共面向量定理的应用，培养学生独立分析问题解决问题的能力．问题4：由共面向量定理是否可得到判断空间中四点是否共面的方法？师生活动：学生尝试总结，并相互交流，教师给出答案．预设的答案：如果A,B,C三点不共线,则点P在平面ABC内的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使.设计意图：通过对共面向量定理的理解，得到判断四点共面的方法，提升学生逻辑推理素养．例2：如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM．应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．师生活动：学生先尝试识图，并给出解题思路，教师给出规范证明过程．预设的答案：∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up7(→))，eq\o(PF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up7(→))，eq\o(PG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up7(→))，eq\o(PH,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up7(→))．∵四边形MNQR为平行四边形，∴eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\o(PG,\s\up7(→))－eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MQ,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(MN,\s\up7(→))＋eq\o(MR,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(PN,\s\up7(→))－eq\o(PM,\s\up7(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(PR,\s\up7(→))－eq\o(PM,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PF,\s\up7(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up7(→))))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PH,\s\up7(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up7(→))))＝eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))，∴由共面向量定理得eq\o(EG,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(EH,\s\up7(→))共面，所以E，F，G，H四点共面．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是共线向量基本定理？（2）什么是平面向量基本向量？（3）什么是共面向量定理？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：(1)共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.（3）共面向量定理:如果两个向量a与b不共线,则向量a、b、c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb..设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量的概念的有关知识．布置作业：教科书第16页练习A1,2题．五、目标检测设计1.O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，则()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线 B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共线C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线 D．O，A，B，C四点共面设计意图：考查学生对共线向量基本定理的应用．2.对于空间的任意三个向量a，b,2a－3b，它们一定是()A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量设计意图：考查学生对共面向量定理的简单应用．3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))．求证：E，F，B三点共线．设计意图：考查学生对共线向量基本定理的应用．参考答案：1．D[由eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成基底知eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．]2．A[根据共面向量定理知a，b,2a－3b一定共面．]3．[证明]设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c．∵eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))，∴eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up7(→))，∴eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c．∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(A1F,\s\up7(→))－eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15