《离散数学》第五章8-9节

同态与同构：

两个代数系统之间的联系，保持原有的形态和性质（本质相同，形式不同）1整理ppt1、同态、同态象、满同态、单一同态、同构定义5-8.1设<A,★>和<B,*>是两个代数系统，★和*分别是A，B上的二元（n元）运算，设f是A到B的一个映射，使得对任意的a1,a2∈A，有f(a1★a2)=f(a1)*f(a2)则称f为由<A,★>到<B，*>的一个同态映射，(简称同态)，称<A,★>同态于<B，*>（或称为f运载★到*），记为A～B。把<f(A),*>称为<A，★>的一个同态象。5-8同态与同构2整理ppt例给定代数系统<R,+>和<R,×>，设函数f:R→R，f(x)=2x，证明f是一个从<R,+>到<R,×>的同态对于y,z∈R，应有f(y+z)=2y+z=2y×2z=f(y)×f(z)所以函数f:R→R是一个从<R,+>到<R,×>的同态。3整理pptfabca★cb★cAB···f(A)f(a)=f(b)f(c)f(a)*f(c)=f(b)*f(c)

f(A)={x|x=f(a),a∈A}⊆B由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多个同态。4整理ppt例<I,•>，I是整数集，•是普通乘法运算，其运算结果的特征用另一个代数系统<B,⊙>来表示，B={正、负、零}，⊙是定义在B上的二元运算，正n>0f（n）=负n<0零n=0⊙正负零正负零正负零负正零零零零对于任意的a，b∈I，有f(a•b)=f(a)⊙f(b)，映射f是由<I,•>到<B,⊙>的一个同态。即<B,⊙>描述了<I,•>中运算结果的基本特征。5整理ppt定义5-8.2f：<A,★>到<B,*>的一个同态，如果f是从A到B的一个满射，则f是满同态；f是从A到B的一个入射，则f是称为单一同态；f是从A到B的一个双射，则f是同构映射，并称<A,★>和<B,*>是同构的。记为<A,★>≌<B,*>，简记作A≌B如：1.设f：R→R，定义为对任意x∈R，f(x)=2x2．设f:N→Nk,定义为对任意x∈N,f(x)=x（modk）3．设H={x|x=dn,d是某一个正整数，n∈I},定义映射f：I→H为对任意n∈I,f(n)=dn6整理ppt例1设A={a,b,c,d}，B={1,2,3,4}，在A，B上定义的二元运算如下所示，证明<A,★>和<B,*>同构。★abcdabcdabcdbaacbddcabcd*123412341234211324431234证明：设f(a)=1，f(b)=2，f(c)=3，f(d)=4，由表可得f是<A,★>到<B,*>的同态，f是一个双射函数，A≌B。如果g(a)=4，g(b)=3，g(c)=2，g(d)=1，g也是由<A,*>到<B,+>的一个同构。7整理ppt当两个代数系统是同构的，它们之间的映射可以是不唯一的。同构的两个代数系统，可看成是本质相同但形式不同的代数系统。如果代数系统U，V是同构的，则从V，U也必定存在一个同构的映射f-1，故U，V是互为同构的。8整理ppt2、同态、自同构及相关性质定义5-8.3设<A,★>是一个代数系统，如果f是由<A，★>到<A，★>的同态，则称f为自同态。如果g是由<A，★>到<A，★>的同构，则称g为自同构。9整理ppt证明：(1)任何代数系统<A,*>都可以通过恒等映射与它自身同构，所以同构关系具有自反性。(2)若f是<A,*>到<B,

>的同构映射且<A,*>≌<B,

>，则f的逆f-1是<B,

>到<A,*>的同构映射且<B,

>≌<A,*>，所以同构关系具有对称性。(3)设f是<A,*>到<B,

>的同构映射，g是<B,

>到<C,★>的同构映射，则g◦f是<A,*>到<C,★>的同构映射，所以同构关系具有传递性。由以上(1)，(2)，(3)知同构关系是等价关系。定理5-8.1设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系。10整理ppt定理5-8.2设f是从代数系统<A,★>到<B,*>的同态映射。(a)如果<A,★>是半群，那么在f作用下，同态象<f(A),*>也是半群。(b)如果<A,★>是独异点，那么在f作用下，同态象<f(A),*>也是独异点。(c)如果<A,★>是群，那么在f作用下，同态象<f(A),*>也是群。11整理ppt证明：(a)若f是由<A,★>到<B,*>的一个同态映射，则f(A)

B(1)封闭性：

a,b

f(A)，必有x,y

A使得f(x)=a，f(y)=b，在A中必有z=x★y，a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)f(A)。(2)可结合性：

a,b,c

f(A)，必有x,y,z

A使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c★在A上是可结合的，所以a*(b*c)=f(x)*(f(y)*f(z)=f(x)*f(y★z)=f(x★(y★z))=f((x★y)★z)=f(x★y)*f(z)=(f(x)*f(y))*f(z)=(a*b)*c。<A,★>是半群，在f作用下，同态象<f(A),*>也是半群12整理ppt(b)设<A,★>是独异点，e是A中的幺元，考察f(e)：

a

f(A)，必有xA使得f(x)=a，所以a*f(e)=f(x)*f(e)=f(x★e)=f(x)=a=f(e★x)=f(e)*f(x)=f(e)*a。那么f(e)是f(A)中的幺元。所以<f(A),*>是独异点。<A,★>是独异点，在f作用下，同态象<f(A),*>也是独异点13整理ppt(c)设<A,★>是群，

a

f(A)，必有xA使得f(x)=a，因为<A,★>是群，所以x有逆元x-1，且f(x-1)

f(A)，f(x)*f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x-1★x)=f(x-1)*f(x)所以f(x-1)是f(x)的逆元。即f(x-1)=f(x)-1所以<f(A),*>是群。<A,★>是群，在f作用下，同态象<f(A),*>也是群14整理ppt3.同态核及其相关性质定义5-8.4设f是由群<G,★>到群<G’,*>的同态映射，e’是G’中的幺元，记Ker(f)={x|xG且f(x)=e’}，称Ker(f)为同态映射f的核，简称f的同态核。15整理ppt定理5-8.3设f是由群<G,★>到群<G’,*>的同态映射，则f的同态核K是G的子群。证明：(1)设k1，k2K，则f(k1★k2)=f(k1)*f(k2)=e’*e’=e’所以k1★k2K，封闭性满足；(2)K是G的子集，<G,★>为群，可结合性保持；(3)由定理5-8.2得e’=f(e)，eK，所以<K,★>中存在幺元；(4)对任意的kK，<G,★>是群，由定理2知f(k-1)=f(k)-1=e’-1=e’所以k-1K，即每个元素都存在逆元；所以f的同态核K是G的子群。16整理ppt定义5-8.5设<A,★>是代数系统，并设R是A上的等价关系，如果当<a1,a2>，<b1,b2>∈R时，蕴涵着<a1★b1,a2★b2>∈R，则称R为A上关于★的同余关系。由这个同余关系将A划分成的等价类就称为同余类。4.同余关系及其相关性质17整理ppt例设代数系统<A,*>，其中运算*定义如下：对任意的x,yA，有x*y=x，E是A上任意等价关系。E是A上的同余关系吗？设a1,a2,b1,b2∈A，且<a1,a2>，<b1,b2>∈E，因为a1*b1=a1，a2*b2=a2，所以<a1*b1,a2*b2>=<a1,a2>∈E所以E是A上的同余关系。18整理ppt定义5-9.1设<A,★,*>是一个代数系统，如果满足：(1)<A,★>是阿贝尔群，(2)<A,*>半群，(3)运算*对于运算★是可分配的。则称<A,★,*>是环。例如：<I,+,×>，<R,+,×>，<Q,+,×>都是环。5-9环与域一.环、特殊环、整环例<R,+,×>，<I,+,×>，其中×和+有何联系?其中★称作加法，*称作乘法，但并不是实际意义上的加乘运算，只是和它们的一些性质相同。19整理ppt定义5-9.2设<A,+,·>是环，如果<A,·>是可交换的，则称<A,+,·>是交换环。如果<A,·>含有幺元，则称<A,+,·>是含幺环。例如：<Z,+,·>,<Q,+,·>既是交换环也是含幺环。20整理ppt在环<A,+,·>中，根据<A,·>的特点可定义一些常见的特殊环。<A,+,·><A,·>

可交换独异点

可交换环含幺交换环含幺环21整理ppt定义

设<R,+,·>是一个环，对于非零元素a,b∈R，如果a·b=θ，其中θ是环的零元，则称<R,+,·>是个含零因子环。否则为无零因子环。例如：<Z,+,·>,<Q,+,·>都是无零因子环。22整理ppt例给定环<N4,+4,×4>+4[0][1][2][3][0][1][2][3][0][1][2][3][1][2][3][0][2][3][0][1][3][0][1][2]×4[0][1][2][3][0][1][2][3][0][0][0][0][0][1][2][3][0][2][0][2][0][3][2][1]23整理ppt定义5-9.3设<A,+,·>是一个代数系统，如果满足：(1)<A,+>是阿贝尔群，(2)<A,·>是可交换独异点，且无零因子，即对任意的a,b∈A，a≠θ，b≠θ，必有a·b≠θ(3)运算·对于运算+是可分配的。则称<A,+,·>是整环。24整理ppt例说明<I,+,·>是一个整环。证明：(1)<I,+>是阿贝尔群：可交换性(2)<I,·>：可交换独异点，且无零因子(3)·对+可分配<I,+,·>是整环。又如：<N6,+6,×6>不是一个整环，因为[2]×6[3]=[0]而<N7,+7,×7>是一个整环25整理ppt二.域、环与域的关系定义5-9.4设<A,+,·>是一个代数系统，如果满足：(1)<A