行列式的计算技巧与方法总结

PAGE11．行列式的概念及性质1.1n阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下：=，从二、三阶行列式的内在规律引出n阶行列式的定义．设有个数，排成行列的数表，即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积⑴的代数和，这里是的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当是偶排列时,⑴带正号；当是奇排列时,⑴带负号．即=，这里表示对所有级排列求和.1.2行列式的性质性质1行列互换，行列式不变．即.性质2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即k.性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即=0.性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即.性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号.即=-.性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即.2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1计算行列式.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是．显然，如果，那么，从而这个项就等于零．因此只须考虑的项，同理只须考虑的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有，而，所以此项取正号．故=.2.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：，.例2计算行列式.解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3…（）行上去，可得.2.2.2连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3计算行列式.解：.2.2.3滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4计算行列式.解：从最后一行开始每行减去上一行，有.2.2.4逐行相加减对于有些行列式，虽然前行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5计算行列式.解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：.2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1按某一行（或列）展开例6解行列式.解：按最后一行展开，得.2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即，其中是子式对应的代数余子式．即，.例7解行列式.解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得.2.4升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8解行列式D=.解：使行列式D变成阶行列式，即.再将第一行的倍加到其他各行，得：D=.从第二列开始，每列乘以加到第一列，得：.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9计算行列式.解:用数学归纳法证明.当时，.当时，.猜想，.由上可知，当，时，结论成立．假设当时，结论成立．即：.现证当时，结论也成立．当时，.将按最后一行展开，得.因为，，所以.这就证明了当时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：.2.6递推法技巧分析：若阶行列式满足关系式.则作特征方程.若，则特征方程有两个不等根，则．若，则特征方程有重根，则．在①②中，A，B均为待定系数，可令求出．例10计算行列式.解：按第一列展开，得.即．作特征方程.解得.则.当时，；当时，.解得，所以.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和．3.1.2例题解析例11计算行列式.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得上面第一个行列式的值为1，所以.这个式子在对于任何都成立，因此有.3.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值．3.2.2例题解析例12求行列式.解：虽然不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造阶的范德蒙德行列式来间接求出的值．构造阶的范德蒙德行列式，得.将按第列展开，得，其中，的系数为.又根据范德蒙德行列式的结果知.由上式可求得的系数为.故有.3.3特征值法3.3.1概念及计算方法设是级矩阵的全部特征值，则有公式.故只要能求出矩阵的全部特征值，那么就可以计算出的行列式．3.3.2例题解析例13若是级矩阵的全部特征值，证明：可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为，则可逆.即可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形如，这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2计算方法由行列式的定义可知，,.4.2“爪”字型行列式4.2.1概念形如，，，这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式．4.2.2计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横．4.2.3例题解析例14计算行列式，其中分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第列元素乘以后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:.4.3“么”字型行列式4.3.1概念形如，，，，，，，这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式．4.3.2计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用消去，然后再用消去，依次类推．4.3.3例题解析例15计算阶行列式.解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得.4.4“两线”型行列式4.4.1概念形如这样的行列式叫做“两线型”行列式．4.4.2计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解．4.4.3例题解析例16求行列式.解：按第一列展开，得.4.5“三对角”型行列式4.5.1概念形如这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明．4.5.3例题解析例17求行列式.解：按第一列展开，得.变形，得.由于，从而利用上述递推公式得.故.4.6Vandermonde行列式4.6.1概念形如这样的行列式，成为级的范德蒙德行列式．4.6.2计算方法通过数学归纳法证明，可得.4.6.3例题解析例18求行列式.解：虽然不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造阶的范德蒙德行列式来间接求出的值．构造阶的范德蒙德行列式，得.将按第列展开，得，其中，的系数为.又根据范德蒙德行列式的结果知.由上式可求得的系数为,故有.5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1降阶法和递推法例19计算行列式.分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得.即.∴.∴.5.2逐