数学人教版八年级上册三角形知识结构图

数学人教版八年级上册三角形知识结构图本章教学目标：1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；2、了解三角形的稳定性；理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；3、会证明三角形内角和等于180°，了解三角形外角的性质；4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题；2本章内容：人教版八年级上册第一章内容为三角形，涉及到三角形的相关概念、与三角形有关的线段（三角形的高、三角形的中线、三角形的角平分线）、与三角形有关的角（三角形的内角、三角形的外角）、多边形的认识（包括多边形的定义、要素、分类、对角线）等，对于转化、分类讨论、数形结合等数学思想有一定的要求。3本章重难点：本章节的重难点在于对三角形三边关系的应用，根据已知的两边判断第三边的范围；三角形的内角和与外角和定理；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；多边形的对角线；多边形的内角和定理；多边形的外角和定理；正多边形的边数及内、外角求解；4本章教学建议：本章节是三角形的基础内容，为下一章《全等三角形》的学习构建基本的学习基础，因此要求学生应掌握扎实。有以下注意事项，1、三角形的高的位置有时需要分类讨论，题目如果没有明确指出锐角、钝角三角形，则注意有可能需要分类讨论；2、三角形的外角性质不可忽视，在下一章中可用来证明角度相等；3、多边形的对角线条数可以引导学生自己理解公式的推导办法。

【三角形】考点三角形的概念及分类【知识链接】1.三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.常见的三角形分类：按边分有普通三角形，等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。二、与三角形有关的线段三角形高的作法三角形角平分线的作法【知识链接】1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.（钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高在三角形内）2.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）3.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）三、三角形的内角和与外角和三角形内角和定理及证明

三角形内角和定理的推论【知识链接】1.三角形的内角和：三角形的内角和为180°2.三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.四、三角形的稳定性【知识链接】三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）五、多边形的内角和定理【知识链接】1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.3.多边形内角和公式：边形的内角和等于（n-2）·180°六、多边形的外角和【知识链接】1.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.2.多边形的外角和：多边形的外角和为360°.

八年级数学上册三角形教材全解读

01三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点。02三角形的表示三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。注意：(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；(2)三角形是一个封闭的图形；(3)△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。03三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类04三角形的主要线段的定义②∠1=∠2=∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线。(3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：①AD是△ABC的BC上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）05三角形的主要线段的表示法三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①

AD是DABC的角平分线；②

AD平分ÐBAC，交BC于D；(图1)(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE是DABC的中线；②AE是DABC中BC边上的中线；(3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM是DABC的高；②AM是DABC中BC边上的高；③如果AM是DABC中BC边上高，那么AM^BC，垂足是E；在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图3

图4

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图5

图6

图706三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．07三角形的角与角之间的关系(1)三角形三个内角的和等于180°;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.08三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。推理过程：(1)作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180度，即∠A+∠B+∠ACB=180度．(2)作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180度即∠BAC+∠B+∠C=180度．注意：(1)证明的思路很多，基本思想是组成平角．(2)应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．09三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.010三角形外角的性质(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．注意：(1)它不相邻的内角不容忽视；(1)作CM∥AB由于B、C、D共线

∴∠A=∠1，∠B=∠2.即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.11三角形的稳定性三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性。注意：(1)三角形具有稳定性；(2)四边形没有稳定性.关于三角形会经常遇到的题型：适当添加辅助线，寻找基本图形。(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，图8(2)基本图形二，如图9，如果CO是∠AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.图9(3)基本图形三，如图10，如果BD是ÐABC的角平分线，M是AB上一点，MN^BD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12。12多边形在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。(1)多边形的对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。(2)正多边形各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形(3)多边形的内角和为（n-2）*180度多边形的外角和为360度注：当求角度时应该想起

内角和或者外角和或者一个角的外角13密铺所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。可单独密铺的图形①所有三角形与四边形均可以单独密铺。②正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。③对边平行的六边形可以单独密铺。平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。(利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内角180，则三个相同的任意三角形即可形成∠180，六个就可以密铺；同理，四边形内角360，四个就可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于180或360)曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球(足球就是)。第十二章

全等三角形一、知识框架：

二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章

轴对称一、知识框架：

二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每