爱提分七年级秋季 第01讲-有理数的概念(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱正数和负数知识精讲一．正数与负数正数比0大的数叫做正数像，，等大于0的数（“”通常省略不写）叫做正数负数比0小的数叫做负数像，，这样在正数前面加上“”（读作“负号”，“”不能省略）的数叫做负数，负数小于0．*注意：（1）0既不是正数也不是负数（2）不是所有带负号“-”的数都是负数。如“-a”，如果a本身是个正数，那么-a就是负数；如果a本身是个负数，那么-a就是正数二．相反意义的量相反意义的量负数与正数表示意义相反的量，在实际问题中，如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其相反意义的量。“上升”与“下降”若米表示上升6米则米表示下降米“向东”与“向西”若米表示向东走米则米表示向西走3米“增加”与“减少”若表示产量增加了则表示产量减少了判断是否为相反意义的量：相反意义的量必须包含两个要素：1．

它们的意义相反；2．

它们都表示同一类量．（具体的数量可以不相同）①身高1.84米和体重50公斤（×）②收入200元，支出50元（√）③向北走3千米，向东走2千米（×）④胜3局，负2局（√）⑤节约水4吨，浪费粮食2千克（×）⑥盈利5万元与支出5万元（×）三点剖析一．考点：正数和负数的概念二．重难点：相反意义的量．三．易错点：1．0既不是正数，也不是负数；2．“”可以省略，“”不能省略．正数和负数例题例题1、在数－0.35，5，0，－2，－37中，正数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】正数有5例题2、下列各数2π，－5，0.4，－3.14，0中，负数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】在2π，﹣5，0.4，﹣3.14，0中，负数有﹣5，﹣3.14，一共2个。例题3、如果向东走，记作，那么表示（）A.向东走B.向南走C.向西走D.向北走【答案】C【解析】“正”和“负”是相对的，∵向东走记作，∴表示向西走．例题4、有一种记分方法：以85分为准，88分记为+3分，某同学得分为74分，则应记为_______．【答案】﹣11分【解析】以85分为准，88分记为+3分，某同学得分为74分，则应记为﹣11分．例题5、在数0.25，，7，0，－3，100中，正数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】0.25，7，100是正数，例题6、《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作＋10℃，则－3℃表示气温为（）A.零上3℃B.零下3℃C.零上7℃D.零下7℃【答案】B【解析】若气温为零上10℃记作＋10℃，则－3℃表示气温为零下3℃．随练随练1、中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作＋100元．那么－80元表示（）A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元【答案】C【解析】根据题意，收入100元记作＋100元，则－80表示支出80元．随练2、下列说法正确的是（）A.任何有理数都有倒数B.前面带“﹣”号的数一定是负数C.上升5米，再下降3米，实际上升2米D.一个数不是正数就是负数【答案】C【解析】0没有倒数，﹣0=0，0的前面有“﹣”号也不是负数，0即不是正数也不是负数，综上选项A、B、D都不正确，上升5米，再下降3米，因为+5﹣3=+2，所以实际上上升2米．故选项C正确故选C．随练3、下列不具有相反意义的量的是（）A.零上和零下B.进球5个和失球3个C.节余50元和超支80元D.长大1岁和减少1公斤【答案】D【解析】、零上和零下是相反意义的量，不符合题意；、进球5个和失球3个是相反意义的量，不符合题意；、节余50元和超支80元是相反意义的量，不符合题意；、长大1岁和减少1公斤不是相反意义的量，符合题意．随练4、某天的温度上升了的意义是（）A.上升了B.没有变化C.下降了D.下降了【答案】D【解析】上升一般用正数表示，则温度上升了的意义是下降了．有理数知识精讲一．有理数的概念有理数有理数整数与分数统称有理数*有限小数和无限循环小数能化为分数，属于有理数例如0.1212121212…，1.23456，等无理数无限不循环小数叫无理数例如：（π=3.1415926535……）是无限不循环小数，不属于有理数；看起来是分数的形式，但仍然是无限不循环小数，不属于有理数；0.12122122212222……数字排列有一定的规律但并不循环，不属于有理数二．有理数的分类

*“四非”非负数非负数正数和0统称为非负数将下列数字分类：正数：非正数：非负整数：非正数负数和0统称为非正数非负整数满足：①是非负数②是整数即：0和正整数非正整数满足：①是非正数②是分数即：0和负整数三点剖析一．考点：有理数概念，有理数的分类．二．重难点：有理数的分类．三．易错点：1．正数和零统称为非负数； 2．负数和零统称为非正数；3．正整数和零统称为非负整数； 4．负整数和零统称为非正整数．有理数的概念例题例题1、在，0，－0.010010001…，π四个数中，有理数有________个．【答案】2【解析】，0是有理数．例题2、下列表述中，正确的是（）A.有理数有最大的数，也有最小的数B.有理数有最大的数，但没有最小的数C.有理数有最小的数，但没有最大的数D.有理数既没有最大的数，也没有最小的数【答案】D【解析】有理数既没有最大的数，也没有最小的数．例题3、在，＋4，π，，0，－0.5中，表示有理数的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】D【解析】在，＋4，π，，0，－0.5中，表示有理数的有：，＋4，，0，－0.5，共有5个．随练有理数的分类例题例题1、在数－2，π，0，2.6，＋3，中，属于整数的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】在数－2，π，0，2.6，＋3，中，整数有－2，0，＋3，属于整数的个数，3．例题2、在﹣2，+3．8，0，01，，﹣0.6，12中，负分数有（）A.l个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】，﹣0.6是负分数．例题3、请将下列各数填入相应的集合内：﹣，1.010010001，0，π，，﹣2.626626662…（每2个2之间依次多1个6），﹣0.1．正数集合：{}；负数集合：{}；有理数集合：{}；无理数集合：{}．【答案】1.010010001，，；﹣，﹣2.626626662（每2个6之间依次多1个6），﹣，；（﹣，1.010010001，0，，﹣，；无理数集合（π，﹣2.626626662…（每2个6之间依次多1个6）．【解析】﹣是负数也是有理数；1.010010001是正数也是有理数；0是有理数；π是正数也是无理数；是正数也是有理数；﹣2.626626662…（每2个2之间依次多1个6）是正数也是无理数；﹣0.1是正数也是有理数．故答案为：1.010010001，，…；﹣，﹣2.626626662…（每2个6之间依次多1个6），﹣，…；（﹣，1.010010001，0，，﹣；无理数集合（π，﹣2.626626662…（每2个6之间依次多1个6）．例题4、把下列各数分别填入相应的集合中：﹣（﹣230），，0，﹣0.99，1.31，5，，3.14246792…，﹣．（1）整数集合：{…}；（2）非正数集合：{…}；（3）正有理数集合：{…}；（4）无理数集合：{…}．【答案】（1）﹣（﹣230），0，5；（2）0，﹣0.99，﹣；（3）﹣（﹣230），，1.31，5；（4），3.14246792…【解析】（1）整数集合：{﹣（﹣230），0，5，…}；（2）非正数集合：{0，﹣0.99，﹣，…}；（3）正有理数集合：{﹣（﹣230），，1.31，5，…}；（4）无理数集合：{，3.14246792…，…}．例题5、把下列各数填在相应的集合内．﹣3，2，﹣1，，﹣0.58，0，﹣3.1415926，0.618，整数集合：{________}负数集合：{________}分数集合：{________}非负数集合：{________}正有理数集合：{________}．【答案】﹣3，2，﹣1，0；﹣3，﹣1，，﹣0.58，﹣3.1415926；，﹣0.58，﹣3.1415926，0.618，；2，0，0.618；2，0.618，．【解析】整数集合：{﹣3，2，﹣1，0}负数集合：{﹣3，﹣1，，﹣0.58，﹣3.1415926}分数集合：{，﹣0.58，﹣3.1415926，0.618，非负数集合：{2，0，0.618，}正有理数集合：{2，0.618，}，随练随练1、下面关于有理数的说法正确的是（）A.整数和分数统称为有理数B.正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合C.有限小数和无限循环小数不是有理数D.正数、负数和零统称为有理数【答案】A【解析】、正确；、正整数集合与负整数集合以及0合在一起就构成整数集合，故命题错误；、有限小数和无限循环小数是有理数，故命题错误；、正有理数、负有理数和零统称为有理数，故命题错误．随练2、把下面的有理数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开）15，，0，，0.15，，，，正数集合{________}；负数集合{________}；整数集合{________}；分数集合{________}．【答案】；；；【解析】正数集合；负数集合；整数集合；分数集合．随练3、把下列各数填入相应的大括号内：，，－0.01，，7，1，－（－4），＋（－1）正数集合{________}；负数集合{________}；非负整数集合{________}；分数集合{________}．【答案】，，7，1，－（－4））；，－0.01，＋（－1）；7，1－（－4）；，，－0.01，【解析】正数集合{，，7，1，－（－4）}；负数集合{，－0.01，＋（－1）}；非负整数集合{7，1－（－4）}；分数集合{，，－0.01，}．随练4、将下列各数填在相应的圆圈里：＋6，－8，75，－0.4，0，23％，，－2006，－1.8；【答案】整数：+6、-8、75、0、-2006正数：+6、75、23％、负数：-8、-0.4、-2006、-1.8、分数：-0.4、23％、、-1.8、数轴知识精讲一．数轴三要素规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可．原点在直线上任取一个点表示0这个点叫做原点。正方向的射线（正半轴）上的点对应正数，相反方向的射线（负半轴）上的点对应负数，原点对应零正方向通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向单位长度选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1（向右1个单位长度），2（向右2个单位长度），3（向右3个单位长度），…；从原点向左，用类似方法依次表示-1（向左1个单位长度），-2（向左2个单位长度），-3（向左3个单位长度）…*数轴上的数从左到右依次增大二．与数轴有关的计算数轴表示数一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都是有理数，如数轴比较大小在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．正数都在原点的右侧，负数都在原点的左侧．正数都大于“0”，负数都小于“0”，正数大于负数．例：画出数轴，并在数轴上表示出，并比较大小数轴上的对称点点A、B、C分别代表一个数，点A关于点B的对称点为C（即A到B的距离等于点C到B的距离,且点A和C分别在B的两侧）可以用计算公式解决数轴相关的对称、折叠等问题：数轴上点的移动若数轴上的点向左移动，则原来的数减移动的长度若数轴上的点向右移动，则原来的数加移动的长度（1）点A在数轴上表示的数是-3，将点A向右移动7个单位长度，那么点A表示的新数是什么？此时点A表示的新数是4（2）点B在数轴上表示的数是2，将点B先向右平移3个单位长度，再向左平移8个单位长度，那么点B表示的新数是什么？此时点B表示的新数是-3（3）点C在数轴上表示的数是7，它以每秒2个单位长度向右移动，则t秒之后点C表示的新数是什么？t秒后点C表示的新数是覆盖整点问题数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长15厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有多少个？①当线段AB起点在整点时覆盖16个数；②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖15个数即:n厘米的线段在数轴上覆盖住的整点最多n+1个；最少n个三点剖析一．考点：数轴三要素，数轴有关的计算.二．重难点：数轴有关的计算.三．易错点：是否是数轴只依据三要素进行判断.数轴三要素例题例题1、如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A没有原点，故此选项错误；B、单位长度不统一，故此选项错误；C、没有正方向，故此选项错误；D、符合数轴的概念，故此选项正确．例题2、下列数轴画正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A没有单位长度，故A错误；B、没有正方向，故B错误；C、原点、单位长度、正方向都符合条件，故C正确；D、原点左边的单位表示错误，应是从左到右由小到大的顺序，故D错误；随练随练1、如图，数轴上一点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数（）A.－3B.－2C.3D.7【答案】B【解析】由题意可知：，，，由于在原点的左侧，表示－2．随练2、数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在的联系，它是“数形结合”的基础，请利用数轴解决下列问题：（1）画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：，，0，1.5，3；（2）用“＞”号将（1）中各数连接起来；（3）直接填空：数轴上表示3和表示1的两点之间的距离是________，数轴上若A点表示的数为4，B点表示的数为，则A、B之间的距离是________．（4）若数轴上A点表示的数为，且A、B两点间的距离为3，则B点表示的数为________．【答案】（1）（2）（3）2；6（4）0或【解析】（1）；（2）；（3）数轴上表示3和表示1的两点之间的距离是2，数轴上若A点表示的数为4，B点表示的数为，则A、B之间的距离是6，（4）在数轴上，当点B在点A的左边时，点B表示的数是；在数轴上，当点B在点A的右边时，点B表示的数是；即点B表示的数是0或．随练3、根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：________B：________．（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：________．（3）若将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，则B点与数________表示的点重合．【答案】1，－2.5；5或－3；1.5【解析】（1）A点表示的数为1，B点表示的数为－2.5；（2）与点A的距离为4的点表示的数是5或－3；（3）将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，则对折点表示的数为－0.5，所以B点与数1.5表示的点重合．与数轴有关的计算例题例题1、在数轴上到－2点的距离等于2个单位的点所表示的数是（）A.0B.－4C.2或－2D.0或－4【答案】D【解析】如图：，在数轴上到－2的距离为2个单位长度的点所表示的数是：0或－4．例题2、数轴上与表示－1的点距离10个单位的数是（）A.10B.C.9D.9或－11【答案】D【解析】设该数是，则，解得或．例题3、在数轴上，一个点从﹣3开始向左移动1个单位长度，再向右移动5个单位长度后表示的数是（）A.+3B.+1C.﹣9D.﹣2【答案】B【解析】﹣3﹣1+5，=﹣4+5，=1。例题4、数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发爬了5个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（）A.5B.－5C.±5D.±10【答案】C【解析】A到原点的距离是5个单位长度．则A所表示的数是：±5．例题5、纸上画有一数轴，将纸对折后，表示7的点与表示－1的点恰好重合，则此时与表示－3的点重合的点所表示的数是______．【答案】9例题6、如图，数轴上相邻刻度之间的距离是，若，A点在数轴上对应的数值是，则B点在数轴上对应的数值是________．【答案】0或【解析】＝＝，∵，∴点B表示的有理数是0或．例题7、如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据，则被淹没的整数点有________个，负整数点有________个．【答案】69；52【解析】由数轴可知，和之间的整数点有：－72，－71，…，－42，共31个；和之间的整数点有：－21，－20，…，16，共38个；故被淹没的整数点有31＋38＝69个，负整数点有31＋21＝52个．例题8、数轴上点M表示有理数－3，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为________．【答案】－5或3【解析】∵点M表示有理数－3，点M向右平移2个单位长度到达点N，∴点N表示－3＋2＝－1，点E在点N的左边时，－1－4＝－5，点E在点N的右边时，－1＋4＝3，综上所述，点E表示的数是－5或3．随练相反数和倒数知识精讲一．相反数定义像2和，5和这样，只有符号不同的两个数，叫做互为相反数．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．几何含义一对相反数（0除外）在数轴上应分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．如：0.8与互为相反数，它们到原点的距离都是0.8．000.81.7性质若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数．求相反数求一个数或代数式的相反数，只要在这个数或代数式之前添上“”号即可，即a的相反数是，这里的a可以为正数、负数、0，也可以是任意代数式．拓展说明：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式多重符号的化简多重符号的化简关键是看负号的个数：当负号有偶数个时，化简结果为正；当负号有奇数个时，化简结果为负（1）−(+2)=−2（2）−(−2)=2（3）−[+(−2)]=2（4）−[−(−2)]=−2（5）−{+[−(−2)]}=−2二．倒数定义乘积是1的两个数互为倒数；乘积是的两个数互为负倒数*注意：0没有倒数求倒数求带分数或小数的倒数，先化为分数形式的倒数是？，的倒数是三点剖析一．考点：相反数的性质，多重符号的化简，倒数的性质．二．重难点：多重符号的化简：化简多重符号时，只对“－”号进行“奇负偶正”的判断．有奇数个负号则为负数，偶数个负号则为正数．三．易错点：1．求相反数时，“”号作用于整个数或代数式，并注意符号的变化．2．不一定是负数：当时，是正数；当时，是0；当时，是负数．相反数和倒数例题例题1、，互为相反数，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，互为相反数，可得．例题2、－8的相反数是（）A.B.－8C.8D.【答案】C【解析】－8的相反数是8，故C符合题意，例题3、的相反数是（）A.2B.－2C.D.【答案】D【解析】的相反数是例题4、如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（）A.点A和点CB.点B和点AC.点C和点BD.点D和点B【答案】A【解析】由题意，得：点A表示的数为：2，点B表示的数为：1，点C表示的数为：﹣2，点D表示的数为：﹣3，则A与C互为相反数。例题5、一个数的相反数比它的本身小，则这个数是（）A.正数B.负数C.正数和零D.负数和零【答案】A【解析】根据相反数的定义，知一个数的相反数比它的本身小，则这个数是正数．例题6、的相反数的倒数是________．【答案】【解析】的相反数为，倒数为：．例题7、的倒数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，∴的倒数是．例题8、的倒数等于______。【答案】【解析】，的倒数为。例题9、下列各对数是互为倒数的是（）A.4和－4B.－3和C.－2和D.0和0【答案】C【解析】A、4×（－4）≠1，选项错误；B、，选项错误；C、，选项正确；D、0×0≠1，选项错误．随练随练1、下列各数中，相反数为4的是（）A.4B.﹣4C.0.4D.0.25【答案】B【解析】∵4+（﹣4）=0，∴相反数为4的是：﹣4，故选：B．随练2、下列说法正确的是（）A.两个数的和为零，则它们互为相反数B.负数的倒数一定比原数大C.的相反数是D.原数一定比它的相反数小【答案】A【解析】．两个数的和为零，则它们互为相反数，此选项正确；．负数的倒数不一定比原数大，如的倒数，而，此选项错误；．的相反数是，此选项错误；．原数不一定比它的相反数小，如2的相反数为，而，此选项错误．随练3、若，则的相反数是（）A.3B.C.D.－3【答案】A【解析】，．－3的相反数是3．随练4、﹣的倒数是（）A.﹣7B.7C.D.﹣【答案】A【解析】﹣的倒数是﹣7，故选A．随练5、若a的倒数仍为a，则a的值是（）A.1B.0C.﹣1D.±1【答案】D【解析】倒数是它本身的数有1和﹣1随练6、如果一个数的倒数是－2，那么这个数的相反数是（）A.B.C.2D.－2【答案】A【解析】－2的倒数是，的相反数是。拓展拓展1、下列说法中，正确的是（）A.0是最小的整数B.最大的负整数是－1C.有理数包括正有理数和负有理数D.一个有理数的平方总是正数【答案】B【解析】A、没有最小的整数，错误；B、最大的负整数是－1，正确；C、有理数包括0、正有理数和负有理数，错误；D、一个有理数的平方是非负数，错误；拓展2、如果80m表示向东走80m，则－60m表示（）A.向东走60mB.向西走60mC.向南走60mD.向北走60m【答案】B【解析】80m表示向东走80m，则－60m表示向西走60米．拓展3、在0，﹣9，|﹣3|，﹣（﹣5），5，6.8，，中，正整数的个数是（）个．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】0是整数，但不是负整数，﹣9是负整数，|﹣3|＝3是正整数，﹣（﹣5）＝5是正整数，5是正整数，6.8不是整数，不是整数，不是整数，正整数共有3个．拓展4、把下列各数填入相应的大括号内：，，－0.01，，7，1，－（－4），＋（－1）正数集合{________…}；负数集合{________…}；非负整数集合{________…}；分数集合{________…}．【答案】，，7，1，－（－4）；，－0.01，＋（－1）；7，1，－（－4）；，，－0.01，【解析】正数集合{，，7，1，－（－4））…}；负数集合{，－0.01，＋（－1）…}；非负整数集合{7，1－（－4）…}；分数集合{，，－0.01，…}．拓展5、下列一组数：－8、2.7、、、0.66666…、0、2、0.080080008…，其中是有理数的个数是（）A.5个B.6个C.7个D.8个【答案】B拓展6、把下列各数填在相应的括号里：－5，，0.62，4，0，－1.1，，－6.4，－7，，7．（1）正整数：{________…}；（2）负整数：{________…}；（3）分数：{________…}；（4）整数：{________…}．【答案】（1）4，7（2）－5，－7（3），0.62，－1.1，，－6.4，（4）－5，4，0，－7，7【解析】（1）正整数：{4，7…}；（2）负整数：{－5，－7…}；（3）分数：{，0.62，－1.1，，－6.4，…}；（4）整数：{－5，4，0，－7，7．…}，拓展7、数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2017厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点共有（）个．A.2018或2019B.2017或2018C.2016或2017D.2015或2016【答案】B【解析】若线段AB的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若线段AB的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点．∵2017＋1＝2018，∴2017厘米的线段AB盖住2017或2018个整点．拓展8、如图，在数轴上，点A表示的数为－1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为________．【答案】－6【解析】设点C所表示的数为x，