十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题11直线与圆（含解析）

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题11直线与圆一、选择题1.(2019·全国2·理T11文T12)设F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆xA.2 B.3 C.2 D.5【答案】A【解析】如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,∴|OA|=c2.∴Pc2,又点P在圆x2+y2=a2上,∴c24+c24=a∴e2=c2a2=2,∴2.(2018·北京·理T7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】设P(x,y),则x=cosθ,y=sinθ,x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+|-当m=0时,dmax=3.3.(2018·全国3·理T6文T8)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32]【答案】A【解析】设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=2点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2∴2≤S△ABP≤6.4.(2016·山东·文T7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【答案】B【解析】圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=|0+所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2R2-d2=2a2而|MN|=(1-0)2+5.(2016·全国2·理T4文T6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43 B.-34 C.【答案】A【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,圆心坐标为(1,4).所以d=|a+4-16.(2015·全国2·理T7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26 B.8 C.46 D.10【答案】C【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=(y1+7.(2015·全国2·文T7)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213 C.2【答案】B【解析】由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-32=33x8.(2015·北京·文T2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2【答案】D【解析】圆的半径r=2,标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.9.(2015·广东·理T5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0【答案】A【解析】设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1),因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,所以|m故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.10.(2015·山东·理T9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35 B.-3C.-54或-45 D.-4【答案】D【解析】如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d=|-3k解得k=-43或k=-311.(2015·重庆·理T8)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2 B.42 C.6 D.210【答案】C【解析】依题意,直线l经过圆C的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A的坐标为(-4,-1).又圆C的半径r=2,由△ABC为直角三角形可得|AB|=|AC又|AC|=210,所以|AB|=(212.(2014·全国2·文T12)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1] B.-C.[-2,2【答案】A【解析】建立三角不等式,利用两点间距离公式找到x0的取值范围.如图,过点M作☉O的切线,切点为N,连接ON.M点的纵坐标为1,MN与☉O相切于点N.设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sinθ≥22,即ONOM≥22.而ON=1,∵M为(x0,1),∴x02+1≤∴-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1].13.(2014·浙江·文T5)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2 B.-4 C.-6 D.-8【答案】B【解析】圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=2-圆心到直线x+y+2=0的距离d=|-1+1+2因此由勾股定理可得(2)2+422=(2-解得a=-4.故选B.14.(2014·安徽·文T6)过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,πC.0,π【答案】D【解析】设过点P的直线方程为y=k(x+3)-1,则由直线和圆有公共点知|3k-故直线l的倾斜角的取值范围是0,15.(2014·北京·文T7)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】因为A(-m,0),B(m,0)(m>0),所以使∠APB=90°的点P在以线段AB为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m.而圆C的圆心为C(3,4),半径为1.由题意知点P在圆C上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故m-1≤|CO|≤m+1,即m-1≤5≤m+1,解得4≤m≤6.所以m的最大值为6.故选B.16.(2014·四川·文T9)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[5,25] B.[10,25]C.[10,45] D.[25,45]【答案】B【解析】由题意,得A(0,0),B(1,3),因为1×m+m×(-1)=0,所以两直线垂直,所以点P在以AB为直径的圆上,所以PA⊥PB.所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,设∠ABP=θ,则|PA|+|PB|=10sinθ+10cosθ=25sinθ+π因为|PA|≥0,|PB|≥0,所以0≤θ≤π2所以10≤|PA|+|PB|≤25,故选B.17.(2013·重庆·理T7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.52-4 B.17-1C.6-22 D.17【答案】A【解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4的最小值.又C1关于x轴对称的点为C3(2,-3),所以|PC1|+|PC2|-4的最小值为|C3C2|-4=(2-318.(2013·湖南·理T8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于()A.2 B.1 C.83 D.【答案】D【解析】以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点坐标为43设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,∴kP1D=解得,m=43当m=0时,P点与A点重合,故舍去.∴m=4319.(2012·浙江·理T3)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】l1与l2平行的充要条件为a(a+1)=2×1且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l1∥l2的充分不必要条件.20.(2010·安徽·文T4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0【答案】A【解析】设直线方程为x-2y+c=0,将点(1,0)代入,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0.二、填空题1.(2019·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时,切点Q即为点P到直线x+y=0的最小距离的点,有y'=x+4x'=1-4x2此时y=2+42=32,即切点Q(2则切点Q到直线x+y=0的距离为d=|22.(2019·天津·理T12)设a∈R,直线ax-y+2=0和圆x=2+2【答案】3【解析】由x=2+2得(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),r=2.由直线与圆相切,得|2解得a=343.(2019·浙江·T12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=

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【答案】-25【解析】由题意知kAC=-12⇒AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此时r=|AC|=4.(2018·天津·文T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.

【答案】x2+y2-2x=0【解析】画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.5.(2018·全国1·文T15)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.

【答案】2【解析】圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=|0所以弦长|AB|=2r2-d2=26.(2018·天津·理T12)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线x=-1+【答案】1【解析】圆C的方程可化为(x-1)2+y2=1,得圆心为C(1,0),半径为1.由x=所以圆心C(1,0)到直线x+y-2=0的距离d=|1+0所以|AB|=21-所以S△ABC=12·|AB|·d=17.(2016·全国1·文T15)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.

【答案】4π【解析】圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=|a|2.由已知(3)2+a22=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a8.(2016·上海·理T3)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离是

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【答案】2【解析】d=|C9.(2016·浙江·文T10)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.

【答案】(-2,-4)5【解析】由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,x+122+(y+1)210.(2016·天津·文T12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为【答案】(x-2)2+y2=9【解析】设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),则|2a|5=45故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.11.(2016·全国3·理T16文T15)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.

【答案】4【解析】因为|AB|=23,且圆的半径R=23,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-3=0的距离为R2由|3m-将其代入直线l的方程,得y=33x+23由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|=|AB12.(2015·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.

【答案】(x-1)2+y2=2【解析】(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P的直线系方程.当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大.此时,半径为|AP|=(2故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=|m当m<0时,1+2mm2当m=0时,r=1;当m>0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号).所以r≤1+1=2,即rmax=故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y2=2.13.(2015·全国1·理T14)一个圆经过椭圆x216+【答案】x-322+y【解析】由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a-0)2+(0-2)2=4-a,解得a=14.(2014·重庆·理T13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.

【答案】4±15【解析】由△ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=|a+a-215.(2014·陕西·理T12)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.

【答案】x2+(y-1)2=1【解析】因为(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),所以圆C是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x2+(y-1)2=1.16.(2011·浙江·文T12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.

【答案】1【解析】由题意知1×2+(-2)·m=0,即m=1.17.(2010·全国·理T15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.

【答案】(x-3)2+y2=2【解析】由题意知A,B两点在圆C上,∴线段AB的垂直平分线x=3过圆心C.又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1),∴kBC=-1.∴直线BC的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.y=-x+3与x=3联立得圆心C的坐标为(3,0),∴r=|BC|=(3∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2.18.(2010·全国·文T13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为.

【答案】x2+y2=2【解析】圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离R=|-2|12+12三、计算题1.(2015·全国1·文T20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,【解析】(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|所以k的取值范围为4-(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2OM·ON=x1x2+y1=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k由题设可得4k所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.2.(2015·广东·理T20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,从而可知圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB的中点M(x,y),由弦的性质可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM.故点M的轨迹是以OC1为直径的圆,该圆的圆心为C32,0,半径r=12|OC1|=12×3=32,其方程为即x2+y2-3x=0.又因为点M为线段AB的中点,所以点M在圆C1内,所以(x又x2+y2-3x=0,所以可得x>53易知x≤3,所以53<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x2+y2-3x=05(3)存在实数k满足题意.由(2)知点M的轨迹是以C32,0为圆心,32为半径的圆弧EF(如图所示,不包括两个端点),且E5又直