横观各向同性地基应力和位移解析解的新求法

横观各向同性地基应力和位移解析解的新求法

1土地基属性对称原理的应用基底设计和计算理论主要用于解决地表（或一定埋深）引起的地下坍塌的额外力和位移。现在，在轴向同性线灵活性理论中，基本解是由每向同性线的离散部分获得的。实际上岩土地基接近横观各向同性,对于横观各向同性体轴对称问题的研究,勒克尼茨开(Leknitskii)于1940年给出了横观各向同性体轴对称问题的通解。丁皓江等于1988年从基本方程出发推导出了此问题应力解法的通解。Gerrard和Wardle等人于1971~1973年间得到了层状横观各向同性地基表面轴对称荷载作用下的解析解。文献通过对拉甫函数的修正,仅得到了反映地基岩土各向异性的指标S1=S2情况下的解答,此解只是一种特殊情况下的解答,对于大多数地基岩土反映出来的各向异性性质往往是S1≠S2,因此通过对各向同性下的拉甫位移解重新修正,利用Hankel积分变换理论,主要讨论S1≠S2时轴对称荷载作用下地基中的应力和位移解,并进行了数值计算,此解具有一般性。2应力分量的表示在不考虑体积力作用下的平衡微分方程利用轴对称问题的平衡微分方程(1)式、几何方程和本构方程,可得到用位移分量表示应力分量的方程如下:式中E1,µ1——横观各向同性面内的弹性模量和泊松比;E2,µ2——垂直横观各向同性面内的弹性模量和泊松比;G2——垂直横观各向同性面内的剪切模量可以看出只要测定出横观各向同性地基五个独立弹性常数E1、E2、µ1、µ2、G2,便可得到(2)式中的参数dij。3进行重新对称位移解的修正在文献中通过引入修正的拉甫[Love]位移函数ϕ(r,z),到了横观各向同性地基轴对称问题在S1=S2情况下应力和位移的解析解,但无法得出S1≠S2情况时的解,原因在于对拉甫位移函数的修正并不能完全反映地基的各向异性,在此重新对Love位移解进行修正如下:由(1)、(2)、(3)式可以求得1a、1b,以及横观各向同性轴对称问题的相容方程:式中式中各参数如下:对于相容方程(4)式在各向异性指标s1≠s2和s1=s2时,其结果是不相同的,下面就这两种情况分别进行讨论:3.1同性弹性体的退化当s1=s2时相容方程(4)式变为:由上式和(2)式可以看出,只要令d11=d33=λ+2G,d12=d13=λ,d55=G,s1=s2=1(λ,G为Lame系数)就可以退化到各向同性弹性体的解答,文献对此情况作了详细的讨论,在此不再赘述。此种情况是一种特殊的情况,不具有一般性。3.2横向位移荷载同理当s1≠s2时,根据岩土地基横观各向同性弹性常数的测定,对于大多数岩土地基都属于这种情况,因此这种情况下的解答具有一般性。为此,对相容方程(4)式进行汉克尔变换,可以求得ϕ(ξ,z)。由(7)式和(5)式可得:若横观各向同性地基表面(Z=0)上作用有轴对称垂直荷载,如图所示,则有边界条件:由于当r→∞时,J0(ξr)、J1(ξr)都趋近于零,所有应力与位移分量(8)式都能满足(c)式要求,要使(d)式满足,只有C=D=0时才能使当Z无限大时应力与位移都趋近于零。将C=D=0和Z=0代入(8)式中的σz和τrz的积分表达式,则表面边界条件(a)、(b)可写成以下两式:式中将A、B、C、D代入(8)式并进行汉克尔逆变换,得到轴对称垂直荷载作用下横观各向同性地基的应力和位移分量表达式,仅列出ur,w,σz,τrz。式中4一些常见的负荷作用下的横向各向同性基本的解释4.1刚性承载板下的均布荷载圆形面积上轴对称垂直荷载的表达式为:式中:m—荷载类型系数(m>0),当m=1为圆形均布荷载:为圆形刚性承载板下的荷载;为圆形面积上的半球形荷载(本文未作讨论)。对上式进行零阶汉克尔积分变换:将和x=ξa代入(10)式,便可得到横观各向同性地基的应力和位移分量统一表达式如下:4.2不同承载板下的应力和位移若横观各向同性地基表面上作用有以a为半径的圆形均布垂直荷载(基础为柔性承载板),见图2,在圆形面积外无荷载作用,即式中:p—均布荷载集度,P—作用于表面上的总垂直力圆形均布荷载p(r)的零阶汉克尔积分变换式为:将和x=ξa代入(10)式,便可得到圆形均布垂直荷载作用下的横观各向同性地基应力和位移表达式如下:上式一般难以求得其精确解,而对于某些特殊点,例如在z轴上(r=0)和表面上(z=0),则可以求得其精确解。(1)对于z轴上任意一点的应力和位移分量,可将(r=0)代入(14)式,在计算中应注意到在r=0时贝塞尔函数的性质以及贝塞尔函数的无穷积分式:将以上式子代入(14)式,则可得:图5、图6为圆形面积上均布荷载作用下Z轴上的应力和位移的比较曲线。图7、图8为刚性承载板下Z轴上的应力和位移的比较曲线。图9、图10为刚性承载板下地基表面上的应力和位移的比较曲线。对于地基中任意一点的应力和位移可以由(14)、(18)、(20)由MATHCAD7.0软件在0-1000范围内进行积分,可以得到较高精度的解。以圆形均布荷载为例,计算了地基中的应力和位移值。以上求得的应力和位移系数是在特定地基条件下的值,对于不同的地基弹性参数不同,其应力和位移系数是不相同的。6半无限地基在几种常见荷载作用下应力和位移解析解的比较1、对于某些场合下将各向异性地基视为各向同性地基来进行计算和设计,所得出的结果肯定会有误差。由于将这些地基视为横观各向同性体能更好地反映岩土介质的实际性状,因此按横观各向同性地基模型得出的解答将会在很大程度上提高计算精度,减小误差。2、通过对各向同性弹性体力学中拉甫位移函数重新修正,应用位移解法,以及Hankel积分变换理论,得到了半无限地基在几种常见荷载(圆形均布、集中力、刚性承载板)作用下的应力和位移解析解。3、通过比较可以看出按横观各向同性地基模型得到的应力和位移曲线与各向性计算结果的变化规律一致,只是在数值上有一定的差别,而对于刚性承载板下地基表面上按两种地基计算得到的应力在数值上完全相同。由(2)、(3)式中可以求得应力分量和位移分量的通解,并对其进行汉克尔积分变换,得到象域内通解的形式(仅列出):p—均布荷载集度(2)对于横观各向同性弹性地基表面(z=0)上任意一点的应力和位移分量,也可以直接积分求得其解析表达式,换算时可将(z=0)代入(14),并运用含贝塞尔函数的无穷积分,可得表面上距离z轴r远的位移和应力,限于篇幅直接给出最后表达式:4.3集中力作用下的boussinesq问题对于横观各向同性地基表面上有P大小的垂直集中力作用的问题,在此仍称之为横观各向同性的Boussinesq问题,其荷载形式(见图3)如下:集中力的汉克尔积分变换式为将上述结果代入(10)式并运用以下贝塞尔函数积分式:其中,则可以得到集中力作用下横观各向同性地基应力和位移分量表达式:4.4横向应力和位移分布如果作用在地基表面的基础很厚那么这一类型的基础称为刚性基础,随着高层建筑的增多,刚性基础越来越多,因此有必要对刚性承载板下横观各向同性地基的应力和位移分布作进一步的研究。刚性承载板下荷载分布的形式如图4所示:荷载的零阶汉克尔积分变换式为:将将代入(16)式便可得到刚性承载板下横观各向同性地基的应力和位移分量表达式如下:(1)横观各向同性弹性地基表面(z=0)上任意一点的应力和位移分量可以得到,仅给出最后解答。(2)对于z轴上任意一点的应力与位移分量,将r=0代入(20)式可得:式中5弹性参数选取为了验证本方法的正确性,以及同按各向同性地基计算得到的解进行比较,这里对横观各向同性地基与各向同性地基进行了计算。在计算中,横观各向同性地基的弹性参数取文献表1中的弹性