2020-2021学年北京101中学高一上学期期中考试数学试题

20202021学年北京101中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求集合，再求.【详解】由题意集合，故选:A.2．命题“”的否定是A． B．C． D．【答案】A【详解】命题“”的否定是,所以选A.3．已知，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义，举特例判断可得；【详解】解：当，时，，但；当，时，，但；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.4．已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求得集合，由充分不必要条件定义可知，由此求得范围.【详解】由得：，即；是的充分不必要条件，，，即实数的取值范围为.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分条件和必要条件求解参数范围，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．5．方程组的解集是（）A．{(1，﹣1),(﹣1，1)} B．{(1，1),(﹣1，﹣1)}C．{(2，﹣2),（﹣2，2)} D．{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．【详解】方程组的解为或，其解集为．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为，一个解可表示为．6．已知，是方程的两个实数根，则的值是A．2023 B．2021 C．2020 D．2019【答案】A【分析】根据题意可知，，，所求式子化为即可求解；【详解】，是方程的两个实数根，∴，，，∴；故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．7．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．【详解】由一次函数的性质可知，y=3x1在区间(1，+∞)上为减函数，故A错误；由反比例函数的性质可知，y=在区间(1，+∞)上为减函数，由二次函数的性质可知，y=x24x+5在(∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x1|+2在(1，+∞)上单调递增．故选D．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．8．若不等式|x3|+|x4|<a的解集不为空集，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a<1 D．a>1【答案】D【分析】不等式转化为，求得函数的最小值后，即得的取值范围.【详解】由条件可知成立，即，，即.故选：D9．已知，，若，则A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】A【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.【详解】由题意，可知，，且，因为，则，即，所以，当且仅当时，等号成立，取得最小值，故选A．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．设函数在（，+）上有意义，对任意的x，y∈R且x≠y，都有<|xy|，并且函数的对称中心是（1，0），若函数=x，则不等式g+g<0的解集是（）A．（，1）（2，+） B．（1，2）C．（，1）（2，+） D．（1，2）【答案】A【分析】由已知条件可知为奇函数，从而可得也为奇函数，然后结合<|xy|，可得在上单调递增，结合单调性和奇函数的定义可得，从而可求出不等式的解集【详解】解：由函数的对称中心是（1，0），可得函数的图像关于对称，所以为奇函数，所以，因为，所以，所以，所以为奇函数，因为对任意的x，y∈R且x≠y，都有<|xy|，所以，所以，即，所以，所以对任意的x，y∈R且x≠y，，所以在上单调递增，因为g+g<0，所以，所以，即，解得或故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查了利用函数奇偶性和单调性求解不等式，解题的关键是由已知条件判断出的奇偶性和单调性，考查数学转化思想，属于中档题二、填空题11．若函数，则的定义域为_________．【答案】【分析】由于根式在分母上，所以只要被开方数大于零，解不等式可得结果【详解】解：由题意得，，解得，所以函数的定义域为，故答案为：12．已知是定义在R上的奇函数，且当x>0时，=，则=________．【答案】．【分析】由于函数是奇函数，所以，再由已知的解析式求出的值，可得答案【详解】解：因为当x>0时，=，所以，因为是定义在R上的奇函数，所以，故答案为：13．写出一个使得命题“，>0恒成立”是假命题的实数a的值________：【答案】（答案不唯一，只需）．【分析】求出命题“，>0恒成立”是真命题的范围即可.【详解】若命题“，>0恒成立”是真命题则当时成立，时有，解得，所以当时命题“，>0恒成立”是真命题所以当时，命题“，>0恒成立”为假命题故答案为：（答案不唯一，只需）14．某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表：单价/元16171819202122日销售量/盒480440400360320280240根据以上数据，当这个餐厅利润（利润=总收入总成本）最大时，每盒盒饭定价为________元．【答案】21.5．【分析】由表格中的信息可知，销售单价为16元时，销售量为480盒，销售单价每增加1元时，销售量则减少40个，设每盒盒饭定价为元，则销售量为，再根据利润=总收入总成本，即可求出利润关于销售单价的函数，则二次函数的性质即可求得答案【详解】解：由表格中的信息可知，销售单价为16元时，销售量为480盒，销售单价每增加1元时，销售量则减少40个，设每盒盒饭定价为元，利润为元，则由题意得所以当时，取得最大值，最大值为1690，即每盒盒饭定价为元时，利润最大，最大为1690元，故答案为：15．函数，在区间上的增数，则实数t的取值范围是________.【答案】【分析】作出函数的图象，数形结合可得结果.【详解】解:函数的图像如图.由图像可知要使函数是区间上的增函数，则.故答案为【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.16．几位同学在研究函数时给出了下面几个结论：①函数的值域为；②若，则一定有；③在是增函数；④若规定，且对任意正整数都有：，则对任意恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________.【答案】①②③④【分析】考虑时对应函数的值域、单调性、奇偶性即可判断出①②③是否正确，利用归纳推理的思想判断是否正确.【详解】的定义域为，当时且是单调递增的，当时且是单调递增的，当时，又因为，所以是奇函数，由此可判断出①②③正确，因为，，，由归纳推理可得：，所以④正确.故答案为①②③④.【点睛】本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用，难度较难.（1）分段函数的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；（2）分段函数在判断单调性时，除了要考虑每一段函数单调性，还需要考虑到在分段点处各段函数的函数值的大小关系.三、解答题17．设全集U=R，集合A=（，1][4，+），B=（，1]．求：（1）；（2）记=M，N={x|a1≤x≤2a}，且，求a的取值范围．【答案】（1）=（1，4）；（2）（，+）．【分析】（1）先求，再求；（2）由条件可知，分和两种情况，列不等式求参数的取值范围.【详解】（1）由题意知，AB=（，1][4，+），又全集U=R，所以=（1，4）．（2）由（1）得M=（1，4），由MN=N得NM．①当N=时，有a1>2a，所以a>；②当N≠时，有此不等式组无解．综上，a的取值范围是（，+）．18．定义在R上的函数(a∈R)．(1)若为偶函数且>，求实数m的取值范围；(2)若不是偶函数且在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围．【答案】(1)(0，+)；(2)．【分析】(1)利用偶函数定义求得a，再讨论函数f(x)的单调性，并利用它求解；(2)利用二次函数不单调的充要条件，结合不是偶函数的条件解得.【详解】(1)因为为偶函数，所以=恒成立，即恒成立，所以，所以=，其图像是开口向上的抛物线且关于y轴对称，因为>，所以，所以m>0．所以实数m的取值范围是(0，+)．(2)依题意，所以或，所以实数a的取值范围是．【点睛】解含有抽象法则“f”的偶函数不等式，利用偶函数性质变形不等式，再利用单调性去法则求解.19．记关于x的方程在区间（0，3]上的解集为A，若A至多有2个不同的子集，求实数a的取值范围．【答案】【分析】原题等价于函数在区间（0，3]上至多有1个零点，分类讨论的取值范围即可得结果．【详解】因为A至多有2个不同的子集，所以A至多有1个元素．因为，所以所以=0，所以原题等价于函数在区间（0，3]上至多有1个零点．①当a=0时，=1在区间（0，3]上无零点，符合题意；②当a>0时，抛物线=开口向上，对称轴为x=1，=1，所以=1a≥0，所以0<a≤1；③当a<0时，抛物线=开口向下，对称轴为x=1，=1=，所以在（0，3]上至多有一个零点，符合题意．综上，实数a的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于判断原题等价于函数在区间（0，3]上至多有1个零点．20．已知不等式．（1）当时，解这个不等式；（2）若对恒成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据分式不等式的求解方法可直接求得结果；（2）将恒成立不等式化为，则，利用基本不等式可求得，由此可确定给结果.【详解】（1）当时，原不等式可化为，解得：，不等式的解集为；（2）当时，，，即；（当且仅当，即时取等号），，，则实数的最大值为.21．已知是定义在R上的单调递减函数，对任意实数m，n都有=．函数．定义在R上的单调递增函数的图象经过点A（0,0）和点B(2,2)．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）若，使得<0（m为常实数）成立，求m的取值范围；（3）设，,，，（i=0，1，2…100）．若++…+（k=1，2，3），比较的大小并说明理由．【答案】（1）为奇函数；证明见解析；（2）；（3）；答案见解析．【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明即可；（2）根据奇函数将不等式转化为<，再根据单调性将脱去，等价为，，最后转化为最值问题解题即可；（3）根据函数的单调性及特殊值分别计算，最后比较大小即可.【详解】（1）是R上的奇函数．证明如下：因为任意实数m，n都有，所以，所以=0，从而对x∈R，恒有=，所以，所以，所以为奇函数．（2）由（1）知，为R上单调递减的奇函数，由<0得<=，所以>8tm，>，．令，则．当时，．所以，使得+<0成立，等价于，使得成立，所以，所以m的取值范围是．（3）依题意，易证F1(x)=x在R上单调递减，所以++…+++…+．因为=2=2在单调递增，在单调递减，所以++…+++…++++…+．由在R上单调递增，易证在