数理统计凌能祥课后习题答案

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h抽样分布参数估计课后习题设总体，试用来自总体X的样本求与p的矩估计量。解：由，得，2.设总体X服从几何分布，其分布列为试用来自X的样本求p的矩估计量和最大似然估计量。解：(1)求矩估计量：由得，(2)求最大似然估计量：设样本的观察值为，则似然函数为，，，令得，.3.设为独立同分布样本，X1服从泊松分布。若仅观察到中前n个样本的值，以及后面N-n个样本的和，求λ的极大似然估计。解：依照题意，得，似然函数为，，令，得4.设总体X的分布密度函数为其中θ>-1。来自X的样本为：(1)求未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量；(2)当样本值为(0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7)时，求θ的矩估计量。解：(1)求矩估计量：，解得，。求最大似然估计量：似然函数为当，，，令，得(2)当样本值为(0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7)时，，θ的矩估计量为5.设总体X服从负指数分布，其分布密度为：试用来自X的样本求θ的矩估计量和最大似然估计量。解：求矩估计量：，解得。求最大似然估计量：当时，似然函数为，，，令，得6.试证样本均值是第4题中的有效估计量。证明：，，(注意，上面这里最后一步没有算，直接猜的，不知道对不对)，所以，又,因此，所以，,即达到了方差的下界，所以样本均值是第4题中的有效估计量。7.已知总体其中参数θ(0<θ<1)未知，为样本，N是观测值中小于1的个数，求：(1)θ的矩估计量；(2)θ的最大似然估计量。解：(1)求矩估计量：，解得，(2)求最大似然估计量：似然函数为，,，，令，得8.已知总体X的分布密度为： (1)(2)(3)(4)求分布中未知参数的极大似然估计量。解：(1)似然函数为：，,,令，得.(2)似然函数为，，，所以，是的单调递增函数，又需要满足不等式所以，的最大似然估计为。(3)似然函数为，，eq\o\ac(○,1)求最大似然估计：因为，所以是的单调递增函数，又需要满足不等式，所以。eq\o\ac(○,2)求最大似然估计：，令，得(4)似然函数为，，eq\o\ac(○,1)求最大似然估计：，所以是的单调递减函数，又需要满足不等式，所以的极大似然估计为eq\o\ac(○,2)求最大似然估计：，令，得12.设总体，其中参数,是总体的一个样本，证明：是待估参数的无偏估计。证明：因为，所以，所以由，得，所以，所以是的无偏估计。14.设是来自均值为μ0为已知的正态总体N(μ0,σ2)的一个样本，试用最大似然估计法求方差σ2的估计量，并验证它是否为有效估计。解：求方差σ2的最大似然估计：因为正态总体的密度函数为，所以，似然函数为，，令，得.证明不是方差σ2的有效估计如下（参考课本例题2.13）：,,所以，因为，所以，，所以，.又是常数，所以，所以，所以，，参数的无偏估计量的方差下界是因为，所以，由，得，所以不是的有效估计。16.为来自总体X的样本，，试证：(1)的无偏估计；(2)在E(X)的形如的线性无偏估计类中，方差最小，即是E(X)的最小方差线性无偏估计。解：(1)证明：由于，，所以，所以的无偏估计。(2)证明：(知识点盲区，暂且先不证了吧)17.设参数θ的无偏估计量为，其方差依赖于样本容量n。若，试证是θ的相合估计量。18.设总体，σ2未知。若已知n=36，=15.2，=68.4，试求的置信区间(置信系数为0.95)。解：这里置信系数为，显著水平为，,查表得，因为，所以，，.因为σ2未知，所以取统计量T=，由，得，于是的置信系数为的置信区间为，，代入数据得，19.设总体，未知。若已知n=25，=101.2，=412.75，=0.1，试求的置信区间(置信系数为1-)。解：这里显著水平为=0.1，置信系数为1-=0.9，，查表得，.因为，所以取统计量，由，得，于是的置信系数为的置信区间为，，代入数据得.20.设总体，若使的置信系数为0.95的置信区间长为5，试问：(1)样本容量n的最小应为多少？(2)又置信系数为0.99时，n应为多少？解：(1)当置信系数为1-=0.95，显著水平为=0.05，，查表得因为，所以，所以，取统计量，由，得，即，所以区间长度为由，且n为整数，得。(2)当置信系数为1-=0.99，显著水平为=0.01，，由，且n为整数，得。21.下面是来自正态总体的样本观察值：50.769.854.953.454.366.144.848.142.235.7试求标准差的置信区间(置信系数为0.9)。解：这里置信系数为1-=0.90，显著水平为=0.10，，查表得，.由样本观察值，得，.因为，所以取统计量，由，得，于是的置信系数为的置信区间为，，代入数据，得.22.对某农作物两个品种A，B计算了8个地区的亩(1亩=666.6666667m2)产量，产量如下：品种A8687569384937579品种B8079589177827666假定两个品种的亩产量均服从正态分布且方差相等，试求该两个品种平均亩产量之差的置信区间(置信系数为0.95)。解：根据题意设A，B两个农作物品种分别服从分布，，则，，，.因为未知，所以取统计量，其中由，得，所以解得：，,,，，查表得，于是，求得的置信系数为0.95的置信区间为.23.两台机床加工同一种零件，今分别抽取6个和9个零件并测量其长度，经计算得：=0.245，=0.357假定每台机床加工的零件长度均服从正态分布，试求两个正态总体的方差之比/的置信区间(置信系数为0.90)。解：这里置信系数为，显著水平，，查表得，，因为,,由F分布的定义可知，，由，得，所以，所以，代入数据得，/的置信系数为0.90置信区间为.24.从某批产品中随机抽取100个，其中一等品为64个，试求一等品率p的置信区间(置信系数为0.95)。解：这里是考察大子样下母体X具有两点分布情形，其分布列为，从母体中抽取一个容量为n的子样，其中恰有m个“1”，对p作区间估计。，置信系数为，所以，，查表得。取统计量，这里，由，得，于是，解得：，，一等品率p的置信系数为0.95的置信区间为.25.在实验的1000个电子元件中，共有100个失效，试以0.95的概率估计整批产品的失效率。解：这里是考察大子样下母体X具有两点分布情形，其分布列为，从母体中抽取一个容量为n的子样，其中恰有m个“1”，对p作区间估计。，置信系数为，所以，，查表得。取统计量，这里，由，得，于是，解得：，，失效率p的置信系数为0.95的置信区间为.26.测量某种仪器的5次工作温度(。C)为12501275126512451260如果测量结果服从正态分布，问温度值(指工作温度的均值)以0.95的把握落在何范围？解：设温度值服从分布，则，，这里未知，取统计量，由，得，所以，解得：，，查表得，，所以温度值(指工作温度的均值)以0.95的把握落范围27.现从总体和总体分别抽取容量为n1=10，n2=15的独立样本，可计算得=82，=56.5，=76，=52.4。(1)如已知=64，=49，求-的置信水平为0.95的置信区间；(2)如已知=，求-的置信水平为0.95的置信区间；(3)求/的置信水平为0.95的置信区间。解：因为，，所以，，，所以，，所以，当=64，=49，取统计量，由，得，所以这里置信系数为，所以，，查表得，，代入上式，得-的置信水平为0.95的置信区间为(2)当、未知，且=，取统计量，其中由，得，于是，解得：，查表得，代入上面式子得-的置信水平为0.95的置信区间为(3)解：这里置信系数为，显著水平，，查表得，，因为,,由F分布的定义可知，，由，得，所以，所以，代入数据得，/的置信系数为0.95置信区间为.28.设总体X~P(λ)，其中参数λ>0，为来自总体X的样本，试在n充分大的条件下，求参数λ置信度1-α的近似置信区间。解：(这里答案不是很确定)使用大子样来进行区间估计，所以方差除以n还是n-1不用纠结的，取统计量，这里，，由，得，即假设检验课后习题2.已知某元件寿命服从标准差为h的正态分布。要求其使用寿命不得低于1000h。现从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950h。试在显著水平下确定这批元件是否有效。解：这是一个单侧检验问题，设总体的平均寿命为，假设这批元件有效，(1)统计假设为：;(2)因为已知，所以取统计量；(3)计算得，；(4)查表得，由，得拒绝域为；因为，所以拒绝，认为这批元件无效。3.某厂生产的某种钢索的断裂强度服从分布，其中MPa。现从一批这种钢索中随机抽取9条，测得断裂强度平均值较相比大20MPa。设总体方差不变，问在显著水平时能否认为这批钢索质量有显著提高？解：这是一个单侧检验问题，假设这批钢索质量没有显著提高，(1)统计假设为：;(2)因为已知，所以取统计量；(3)计算得，；(4)查表得，由，得拒绝域为；因为，所以接受，认为这批钢索质量没有显著提高。5.某商品的主要质量指标是折断力的大小，根据长期实践经验知，该商品折断力服从正态分布。现从一批商品中任意抽取12个样品，测得折断力（单位:kg）如下:57.957.157.456.957.957.656.557.158.058.457.158.5试判断这批商品的折断力的均值在显著水平时是否显著大于57.1。解：这是一个单侧检验问题，设总体的折断力为，假设这批商品的折断力的均值没有明显大于57.1,(1)统计假设为：,这里；(2)因为未知，所以取统计量；(3)计算得，，0.62，所以，；(4)查表得，由，得拒绝域为；因为，所以拒绝，这批商品的折断力的均值是明显大于57.1的。6.从某种实验物中取出24的样品，测量其发热量，计算得=11958，子样标准差S=323，问以0.05的显著水平是否可以认为发热量的期望低于12100（假设发热量服从正态分布）？解：这是一个单侧检验问题，设总体的发热量为，假设发热量的期望不低于12100，(1)统计假设为：，这里(2)因为未知，所以取统计量；(3)计算得，；(4)查表得，由，得拒绝域为；因为，所以拒绝，认为发热量的期望低于12100。7.有一种新安眠药，据说在一定剂量下，能比某种旧安眠药平均增加3h睡眠时间,且根据资料知，用旧安眠药睡眠时间平均为20.8。为了检验这个说法是否正确，收集到一组使用新安眠药后的睡眠时间为26.722.024.121.027.225.023.4试问：这组数据是否说明新安眠药已达到新的疗效（假定睡眠时间服从正态分布，取）？解：这是一个单侧检验问题，设总体的新安眠药平均睡眠时间为，假设新安眠药达到了新的疗效，(1)统计假设为：，这里(2)因为未知，所以取统计量；(3)计算得，，，所以，；(4)查表得，由，得拒绝域为；因为，所以接受，认为新安眠药达到了新的疗效。8.测定某种溶液中的水分含量。它的10个测定值给出，，设测定值总体服从正态分布。试在显著水平0.05下检验假设：(1);(2).解：(1)这是一个单侧检验问题，因为总体未知，所以取统计量，这里，计算得，，查表得，由，得拒绝域为；因为，所以拒绝.(1)这是一个单侧检验问题，因为总体未知，所以取统计量，这里，计算得，，查表得，由，得拒绝域为；因为，所以接受。10.正常人脉搏平均为72次/分，某医生测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏（次/分）为54676878706667706569已知脉搏服从正态分布。问在显著水平下。四乙基铅中毒者和正常人的脉搏有无显著性差异？解：这是一个双侧检验问题，设四乙基铅中毒者和正常人的脉搏没有显著性差异，(1)统计假设为：，这里；(2)因为未知，所以取统计量；(3)计算得，，，所以，；(4)查表得，由，得拒绝域为；因为，所以拒绝，认为四乙基铅中毒者和正常人的脉搏有显著性差异。11.某种导线，要求电阻的标准差不得超过0.005Ω。今在生产的一批导线中取9根样品，测得S=0.007Ω。设总体为正态分布，问在显著水平下能否认为这批导线的标准差显著偏大？解：这是一个单侧检验问题，设总体的标准差为，假设这批导线的标准差没有显著偏大；(1)作统计假设：，这里;(2)取统计量；(3)计算得，；(4)查表得，，由，得拒绝域为，因为，所以拒绝，认为这批导线的标准差显著偏大。12.某产品的次品率为0.17，现对此产品进行新工艺试验，从中抽取400件检验，发现有次品56件，能否认为这项新工艺显著影响了产品的质量()？解：这是非正态总体大样本情形下，总体X服从两点分布的概率（比例）的假设检验，设该产品的总体次品率为p，假设这项新工艺没有显著影响产品的质量；(1)作统计假设：，这里，属于单侧检验;(2)利用统计量，这里，，用两点分布子样方差来估算，即(3)计算得，；(4)查表得，，由，得拒绝域为；因为，，所以接受，认为这项新工艺不显著影响产品的质量。13.为了比较两种枪弹的速度，在相同条件下进行速度测定，算得样本平均数和样本标准差分别为枪弹甲：;枪弹乙：。在显著水平下，这两种枪弹的（平均）速度有无显著差异？解：这是大样本条件下非正态总体的均值差的检验，假设两种枪弹的（平均）速度没有显著差异。(1)作统计假设：；(2)由中心极限定理可知，统计量，当未知时，可用、来估算。在成立时，使用统计变量；(3)计算得，；(4)查表得，，由，得拒绝域为；因为，所以拒绝，认为两种枪弹的（平均）速度有显著差异。14.某公司对两批同类型号无线电元件的电阻进行测试，在两批中各任抽取6件，测的结果如下（单位：Ω）：第一批0.1380.1410.1370.1400.1430.144第二批0.1400.1380.1360.1420.1400.135已知方差相等，能否认为这两批原件的电阻无显著差异？若方差未知，能否认为方差相等？解：这里没说两个是不是服从正态分布，如果不是服从正态分布没法做的，假设显著水平。设两批无线电元件的电阻分别服从正态分布、；(1)假设这两批原件的电阻无显著差异，作统计假设：，这是一个双侧检验问题。因为、、，所以；两个方差未知，但相等，当成立时，取统计量，这里；计算得，，，,,，所以，；查表得，；由，得拒绝域为；因为，所以接受，认为两批原件的电阻无显著差异。(2)这是双侧检验，假设方差相等，则有以下统计假设：；因为，，所以由F分布的定义知道，，即；当成立时，取统计量；计算得，，,；查表得，，由，得拒绝域为因为，所以接受，认为方差相等。15.某厂生产的一种合金线，其抗拉强度的均值为10620(kg)。改进工艺后重新生产了一批合金线，从中抽取10条，测得抗拉强度(kg)为10776105541066810512106231055710581107071067010666若抗拉强度服从正态分布，问新生产的合金线的抗拉强度是否比以往生产的合金线的抗拉强度要高()？解：这是属于单侧检验问题，设新生产的合金线抗拉强度为，假设新生产的合金线的抗拉强度是比以往生产的合金线的抗拉强度要高；(1)作统计假设：，这里；(2)因为方差未知，所以取统计量；(3)计算得，，，；(4)查表得，，由得拒绝域为；因为，所以接受，所以认为新生产的合金线的抗拉强度是比以往生产的合金线的抗拉强度要高。16.某种电子元件的寿命(单位：h)服从正态分布,其中均未知。现测得16只元件的寿命如下：179264101224379280159212362222168260485149170250问是否有理由认为元件的平均寿命大于225h？解：这是一个单侧检验问题，假设元件的平均寿命不大于225h；(1)作统计假设，这里；(2)因为方差未知，所以取统计量；(3)计算得，，，；(4)当取0.05，查表得，；由，得拒绝域为；因为，所以接受，认为元件的平均寿命不大于225h。17.测量某电工器材厂生产的一种保险丝的熔化时间,依通常情况知，方差为400。今从某天的产品中抽取容量为25的样本。测量其熔化时间并计算得。问该天生产的保险丝熔化时间分散度与通常生产的有无显著差异()(假定熔化时间是正态总体)？解：双侧检验，假设该天生产的保险丝熔化时间分散度与通常生产的无显著差异；(1)作统计假设:,这里(2)取统计量；(3)计算得，；(4)查表得，，；由，得拒绝域为；因为，所以接受，认为该天生产的保险丝熔化时间分散度与通常生产的无显著差异。18.化验员A和B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到。若A、B测定值的总体都是正态分布，其方差分别为与，试在显著水平下检验方差齐性，假设。解析：方差齐性检验是数理统计学中检查不同样本的总体方差是否相同的一种方法。解：双侧检验，假设；(1)作统计假设：；(2)因为，，所以由F分布的定义知道，，即；当成立时，取统计量；(3)计算得，；(4)查表得，，由，得拒绝域为因为，所以接受，认为方差相等。19.对于两个正态总体问题，欲检验假设。已知当n，m都较大时，统计量近似服从N(0,1)。试由此构造该假设的近似水平为的拒绝域。解:(1)作统计假设；(2)当成立时，使用统计量；(3)置信系数为，显著水平为，由得拒绝域为，.20.为确定肥料的效果,取1000株植物做试验,其中有100株没有施肥，在没有施肥的100株中有53株长势良好；在已施肥的900株中则有783株长势良好。问施肥效果是否显著()？解：这是大样本条件下非正态总体均值差的检验；设没有长势良好施肥的植物为总体X，已施肥长势良好的植物为总体Y。由中心极限定理可知，当m，n很大时，统计量；假设施肥效果不显著，则(1)作统计假设；(2)当成立时，取统计量，(3)这里，，由两点分布的样本进行估算，得，，所以(4)查表得，由，得拒绝域为；因为，所以拒绝，认为施肥效果显著。21.某商店人员到某工厂去验收产品，双方议定产品中至少1/3的一等品。今抽取900件检验，一等品为30%。试确定以显著水平检验，该批产品能否接收？解：这是大样本条件下，服从两点分布的总体的比例单侧检验,设总体一等品的比例为p，假设该批产品能接收；(1)作统计假设：，这里；(2)统计量这里，为样本一等品比例，用服从两点分布的样本的标准差估计，即，所以取统计量为；（或者，这里）(3)计算得，；(4)查表得，；由得拒绝域为；因为，所以拒绝，认为该批产品不能接收。22.检查了100件零件上的疵点数，结果如下：疵点数0123456频检验整批零件上的疵点数是否服从泊松分布()？解：(1)作原假设：X服从泊松分布，即，并作的点估计如下：【似然函数为；；；令，得；】由极大似然估计知，(是不是也可以用矩估计)，所以;(2)作数据统计表如下，并把的组进行合并：数据统计表0140.1353(或e-2)13.530.470.01631270.2707(或2e-2)27.07-0.070.00022260.2707(或2e-2)27.07-1.070.04233200.1804(或)18.041.960.212940.0902(或)0.830.049850.0361(或)60.0120(或)1001100(3)在成立时，用统计量，其中m是合并后的组数5，r是估计的参数个数1（这里估计了一个参数），所以；查表得；由，得拒绝域为；因为，所以接受，认为整批零件上的疵点数服从泊松分布。23.用手枪对100个靶各打10发，只记录命中或不命中，射击结果列于下表：命中数xi012345678910频数fi0241022261812420在显著水平下，用检验法检验射击结果服从的分布。解：设命中数为X；(1)作原假设H0:命中数X服从正态分布，即其密度函数为，下面作的点估计：似然函数为，；，，令，得=5；令，得，所以命中数X服从正态分布，即其密度函数为；(2)对上表进行处理，以分组形式列出如下：命中区间Xi频数fi0241022261812420在正态分布下，计算每个区间的理论概率值的估计:,其中，；作数据统计表，并合并的组如下：命中区间频数标准化区间0.0028-0.180.00520.01300.0460100.117011.7-1.70.2470220.199519.952.050.2107260.243424.341.640.1105180.199519.95-1.950.1906120.117011.70.30.00770.0460-0.180.00520.01300.00281001100(3)在成立时，用统计量，其中m为合并组后的组数，m=8，r为估计的参数个数，r=2（这里估计了两个参数），，查表得，，由，得拒绝域为，因为，所以接受，认为命中数服从正态分布24.有一正四面体，将此四面体分别图为红、黄、蓝、白四色。现在任意地抛掷该四面体到白色与地面相接触为止。记录其抛掷的次数，作为一次试验。做200次这样的试验，结果如下：抛掷次数1234≥5频数5648322836问该四面体是否均匀()？解：用X表示抛掷该四面体直到白色与地面第一次接触时所抛掷的次数，泊松检验如下：(1)作原假设该四面体是均匀的，即抛掷该四面体一次白色面就与地面接触的概率为，那么，直到抛第i次时白色面才与地面接触的事件概率可以表示为，；(2)作数据统计表如下，并把的组进行合并：1565060.7224837.510.52.9433228.1253.8750.534342821.093756.906252.2612>536(1-其他的和)63.28125-27.2812511.761252001200(3)在成立时，用统计量，其中m是合并后的组数5，r是估计的参数个数，这里是0，所以；查表得；由，得拒绝域为；因为，所以拒绝，认为该四面体不均匀。25.从随机数表中取150个二位数，抽样结果如下：组限0~910~1920~2930~3940~49频数1615191314组限50~5960~6970~7980~8990~99频数1914111316试用检验法检验其服从均匀分布的假设()。设X是随机数表中的数，由题意知X的区间为。(1)作统计假设:X服从均匀分布，其概率分布为，没有待估的参数。(2)每个组限的概率，作数据统计表如下：[0,9]160.11511/15[10,19]150.11500[20,29]190.115416/15[30,39]130.115-24/15[40,49]140.115-11/15[50,59]190.115416/15[60,69]140.115-11/15[70,79]110.115-416/15[80,89]130.115-24/15[90,99]160.11511/151501150(3)当成立时，取统计量，m是组数，m=10，是估计的参数的个数，，所以；查表得，，由，得拒绝域为；因为，所以接受，认为其服从均匀分布。26.对某汽车零件制造厂所生产的气缸螺栓口径进行抽样检验，测得100个数据分组列表分别如下：组限10.93~10.9510.95~10.9710.97~10.9910.99~11.01频数582034组限11.01~11.0311.03~11.0511.05~11.0711.07~11.09频数17664说明：这题我算的结果，最后得到的结论跟答案相反了。试检验螺栓口径X是否为正态分布()。解：X是个连续随机变量，为便于计算，在每个组限里取一个组中值作皮尔逊检验法。(1)作统计原假设。作点估计，(2)作数据统计表，并对的组进行合并，其中，10.93~10.9510.9450.05945.94-0.940.148810.95~10.9710.9680.114211.42-3.421.024210.97~10.9910.98200.204720.47-0.470.010810.99~11.0111.00340.243424.349.663.833811.01~11.0311.02170.204720.47-3.470.588211.03~11.0511.0460.114211.42-5.422.572411.05~11.0711.060.04514.062.775011.07~11.0911.080.01431001100(3)当成立时，取统计量，m是合并后的组数，m=7，是估计的参数的个数(这里估计了两个参数)，，所以；查表得，，由，得拒绝域为；因为，所以拒绝，认为在时螺栓口径X不是服从正态分布。27.1996年某高校工科研究生有60名以“数理统计”作为学位课，考试成绩如下：937583939185848277767795948991888483968179977875676968848381756685709484838280787473767086768990716686738094797877635355试用检验法检验考试成绩是否服从正态分布。(1)作统计原假设。作点估计，(2)作数据统计表如下：80.14698.14-0.140.00260.15129.072-3.0721.040140.197911.8742.1260.381130.199011.941.060.09480.15359.21-1.210.159110.15159.091.910.40160160表中区间的划分是按照每个区间至少要包含5个样本值的原则确立的，；(3)当成立时，取统计量，m是合并后的组数，m=6，是估计的参数的个数(这里估计了两个参数)，，所以；查表得，，由，得拒绝域为；因为，所以接受，认为考试成绩服从正态分布。方差分析课后习题1.在单因子方差分析中，因子A有3个水平，每个水平各做4次重复试验，请完成下列方差分析表，并在显著水平下对因子A是否显著作出假设。方差来源平方和自由度均方和F值因子A4.2误差ρ2