有关IP3的两个公式推导

有关IP的两个公式推导3内容简介：在射频系统中，IP是一个衡量线性度的非常重要的指标，一般教材均给出单个器件或系统的IP,但给出的物理意义较为抽象，作3者在此试图通过简单的理论推导，给出其较为直观的物理意义。并在此基础上，推导出系统IP3与单 IP3之间。3—. IP3的物理意义一般参考资料均给出了IP3的数：IP3（dBm）=Pout（dBm）+IM；3 （1-1）P为单音信号的功率，IMD为P与P之差值，图一给出了详细OUT 3OUTIMD描述。在测试单个器件（或系统）的IP时，均是在信号输入端馈入两3个频差为32-31的双音信号，然后根据上图所示：分别测出P2（或^）（注：图中给出的是幅值，其量纲为电压，频谱仪实测值「，P，M1，M的量纲为功率，其归一化关系分别为P=A2；P=A2；M=B2；2 112 2 11M=B2）；IMD=P-M（或P-M）2 2 3 1 1 2 2代入公式一即可得出其IP。现考察B1(或B「与A1，A2的关系。设TOC\o"1-5"\h\zS=AxCOS(®t+8) (1-2)1 1 1 1现考察的是频率关系，不妨设01=0故有S]=A]xCOS(oJ) (1-3)同理可设：S2=A2xCOS(o21) (1-4)设器件(或系统)的传递函数为f()则有：S =f(S +S)=C +C x(S +S)+C x(S +S)2+C x(S +S)3+..OUT 1 2 0 1 1 2 2 1 2 3 1 2(1-5)其中C0，C1，C2,C3,C4。。…均为器件本身决定的常数。由于器件(或系统)的非线性，可认为C0，C1，C2,C3,C4不等于0，从上式可以看出仅有系数为C3的那一项对B(或B)有贡献，具体分析如下：12(S+S)3=S3+3xS2xS+3xSxS2+S3 (1-6)1 2 1 1 2 1 2 2其中：3xS：xS2对应B]；3x*xS2对应B2令D=SxS2=AxA2xCOS(ot)xCOS2(0t)2 12 12 1 2=AxA2xCOS(ot)xJCO,(2。2’)TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 21=xAxA2xCOS(ot)一xAxA2xCOS(ot)xCOS(2ot)1 2 1212 1 2=_xAxA2xCOS(ot)一一xAxA2xCOS(2ot+ot)2 1 2 1412 2 11-4xAxA2xCOS(2ot-ot)(1-7)综合以上公式推导可得：TOC\o"1-5"\h\zB=°xCxAxA2 (1-8)24312同理可得：B=3xCxA2xA (1-9)14 3 1 2令：K=3xC

43(1-10)则:B]=B2=KxA;=KxA;(1-11)式（1）给出的是ip3的对数表达式，将其还原为真数表达式可得：P_AA1IP（真）=Px：i，=Px久一Pxt=A2x—=-3 1 ,.•-M1 2w2 2B2 2B2K（1-12）还原为对数表达式可得：IP(对)=-10xlog(K)3

（1-13）至此可得如下结论:（1） 任一器件的匕是由其本身的非线性所决定的一个常数。（2） ip具有非常明确的物理意义：它非常简洁地定量地刻画了器件的线性度，与输入信号的大小，器件本身的增益没有任何关系。二.系统IP与单个器件IP之间的关系为方便讨论，先以两个器件为例。设两个器件的OIP3（输出IP）分别为OIP=_1和OIP3=-L,电压增益分别为GV1，GV2，功率增益分1 2别为GP1（其归一化关系为Gp1=GV1；G=G别为GP1示:图p图p信号关系如图三所示:M1，L J1M1，L J1M2器件一输出端的信号关系（a）12器件二输出端的信号关系（b）GV2M1L iGV2M2GV2V1GV2V2器件二输出端的信号关系（c）在器件一的输入端输入两个等幅双音信号，由于其非线性，器件一的输出信号如（a）所示，引用前述结论，可得以下结论：M=M=KxV2xV=KxVxV2=KxV3（注：V=V=V）1 2 112 112 1 1 2输出端的信号为V，V，M，M，同时也是器件二的输入信号。由于器件二的增益，其输出信号如图（b）所示；又由于器件二的非线性，必然产生新的三阶分量M12，M22（如图（C）所示）。同理有如下关系：M12=M22=K2x（Gv2xV）3（2-1）综上所述，器件二的输出信号构成如下：等幅双音信号：气2xV1,气2xV2等幅三阶分量：气xV3+K2x（气2xV）3现定义Kt来描述该两器件系统的线性度，则有：气xV3xGv2+K2x（Gv2xV）3=K^x（气2xV）3（2-2）化简可得如下关系：气+K2xG《2=KtxG22

G=G2P2V2(2-4)代入上式可得：K1+K2xGp2=%xGp2(2-5)又与(真)=K上式可改写为：X+&=%

气IP32IPT(2-6)也可化简为：1 1 1(2-7) +—= IP3