第8章 交通流理论

第8章交通流理论第一节概述交通流理论交通现象分析交通流参数之间的相关关系、变化规律边缘学科交通规划交通控制道路设计智能运输聊城大学汽车与交通工程学院交通流理论第一阶段第二阶段20世纪30年代～40年代末1959年12月，首届国际交通流理论学术会议（底特律）。丹尼尔（Daniel）和马休（Matthew）在汇集了各方面的研究成果后，于1975年整理出版了《交通流理论》一书。1、交通流理论的产生和发展第二阶段现代交通流理论聊城大学汽车与交通工程学院2、现代交通流理论与传统交通流理论所谓现代交通流理论就是利用计算机等现代化工具对交通流特性进行更加深入的研究。传统交通流理论已经基本趋于成熟，而现代交通流理论正在逐步发展。就目前的应用来看，传统交通流理论仍居主导地位，其方法相对也较容易实现。现代交通流理论以传统交通流理论为基础，只是其所应用的研究工具和手段与以前相比得到了很大改善，从更宽广的领域对交通流理论进行了研究。聊城大学汽车与交通工程学院传统交通流理论是指以数理统计和微积分等传统数学和物理方法为基础的交通流理论。其明显的特点是交通流模型的限制条件比较苛刻，模型推导过程比较严谨，模型的物理意义明确。而现代交通流理论是指以现代科学技术和方法（如模拟技术、神经网络、模糊控制等）为主要研究手段而形成的交通流理论，其特点是所采用的模型和技术不追求严格意义上的数学推导和明确的物理意义，而重视模型或方法对真实交通流的拟合效果。主要用于对复杂交通流想象的模拟、解释与预测。聊城大学汽车与交通工程学院现代交通流理论现场观测实时仿真数值模拟理论建模非线性动力学特性交通瓶颈交通波交通阻塞交通信号控制先进的交通流理论应用于交通工程可以产生重大的经济效益和社会效益。聊城大学汽车与交通工程学院例如20世纪90年代，纽约市政府原拟修建通往新泽西的新隧道，交通科学家们利用交通流动力学知识，经过合理的建模和分析，调整了原有隧道的交通控制和管理系统，使交通流始终处于高流量的亚稳态，交通通行能力增加20％，从而取消了修建新隧道的计划，这是交通流动力学成功应用的一个范例。事实证明，解决“交通难”问题的根本出路在于发展交通科学技术及其基础理论（包括交通流动力学）。案例介绍聊城大学汽车与交通工程学院我国目前在现代交通流理论方面的著名专家有：上海大学上海市应用数学和力学研究所的戴世强教授及其课题组；中国科学技术大学的吴清松教授及其课题组、汪秉宏教授及其课题组。传统交通流理论和现代交通流理论并不是截然分开的两种理论体系，只不过是它们所采用的主要研究手段有所区别，在研究不同的问题时各有优缺点。聊城大学汽车与交通工程学院本章的主要内容如下：1、交通流特性参数的分布；2、排队论（也称随机服务系统）的应用；3、跟驰理论介绍；4、流体力学模型以及交通波理论；5、可插车间隙理论。聊城大学汽车与交通工程学院第二节交通流特性参数的统计分布引言：在编制交通规划或设计道路交通设施、确定交通管理方案时，需要预测交通流的某些具体特性，并且希望能使用现有的数据或假设的数据。

车辆的到达具有随机性，描述这种随机性的方法有两种：一种是离散型分布，研究在一定时间内到达的交通数量的波动性；另一种是连续型分布，研究车辆间隔时间、车速等交通流参数的统计分布。聊城大学汽车与交通工程学院应用：（1）信号配时的研究中，利用离散分布来描述车辆到达的分布规律，可以预测一个周期内到达的车辆数；（2）在计算支路的通行能力中，利用可接受间隙理论，采用连续分布来描述车头时距的分布特性。聊城大学汽车与交通工程学院一、离散型分布描述一定的时间间隔内事件发生的次数。在一定时间间隔内到达的车辆数是随机的，描述其统计规律可以用离散型分布，常用的离散型分布有如下3种。

泊松分布二项分布负二项分布聊城大学汽车与交通工程学院泊松分布是一种离散概率分布，应用于一个区间内某一事件的发生。随即变量k是这个事件在此区间内的发生次数。这个区间可以是时间、距离、面积、体积或其他类似的单位。泊松分布服从下列条件：1、随即变量k是一个事件在某区间内的发生次数；2、事件的发生必须是随机的；3、事件的发生必须是互相独立的；4、在所使用的区间内，事件的发生必须是统一的分布。（一）泊松分布聊城大学汽车与交通工程学院1、基本公式式中：λ——单位时间的平均到达率或单位距离的平均到达率；t——间隔时间或间隔距离；若令m＝λt（泊松强度），在计数间隔内平均到达的车辆数，则：聊城大学汽车与交通工程学院到达数小于k辆车的概率：到达数小于等于k辆车的概率：到达数大于k辆车的概率：到达数大于等于k辆车的概率：到达数至少是l但不超过n辆车的概率：聊城大学汽车与交通工程学院2、递推公式聊城大学汽车与交通工程学院已知：泊松分布的均值M和方差D均等于m3、适用条件车流密度不大，车辆间的相互影响比较微弱聊城大学汽车与交通工程学院例题1：某信号交叉口的周期为c=97秒，有效绿灯时间为g=44秒。在有效绿灯时间内排队的车流以V=900辆/小时的流率通过交叉口，在绿灯时间外到达的车辆需要排队。设车流的到达率为q=369辆/小时且服从泊松分布，求到达车辆不致两次排队的周期数占周期总数的最大百分比。聊城大学汽车与交通工程学院【解】由于车流只能在有效绿灯时间通过，所以一个周期能通过的最大车辆数A＝Vg＝44×900/3600＝11辆，如果某周期到达的车辆数N大于11辆，则最后到达的N－11辆车要发生二次排队。泊松分布中一个周期内平均到达的车辆数：聊城大学汽车与交通工程学院例题2：设有30辆车随机的分布在6km长的道路上，试求其中任意500m长的路段上至少有4辆车的概率？解：500m路段上包含的平均车辆数：所以，其上的车辆数服从泊松分布：聊城大学汽车与交通工程学院EX1：已知某信号灯周期为60s，某一个入口的车流量为240辆/h，车辆到达符合泊松分布，求：在1s、2s、3s内无车的概率；求有95%的置信度的每个周期来车数。解：1）1s、2s、3s内无车的概率λ=240/3600（辆/s），当t=1s时，m=λt=0.067当t=2s时，m=λt=0.133，当t=3s时，m=λt=0.2，聊城大学汽车与交通工程学院2）有95%置信度的每个周期来车数的含义为：来车数小于或等于k辆的概率≥95%时的k值，即：，求这时的k由λ=240/3600（辆/s），当t=60s时，m=λt=4来车的分布为：求：的k值。聊城大学汽车与交通工程学院kP(k)P(≤k)kP(k)P(≤k)00.01830.018350.15630.785210.07330.091660.10420.889420.14650.238170.05950.948930.19540.433580.02980.978740.19540.6289

设计上具有95%置信度的来车数不多于8辆。聊城大学汽车与交通工程学院（二）二项分布1．基本公式X-B(n,p)二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结果为k次的概率分布。其概率密度为：式中：0＜p＜1，n、p称为分布参数。聊城大学汽车与交通工程学院到达数小于k的概率：到达数大于k的概率：聊城大学汽车与交通工程学院2、递推公式

3、应用条件

车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分布拟合较好。对于二项分布，其均值M=np,方差D=np(1-p)，M＞D。聊城大学汽车与交通工程学院（三）负二项分布1、基本公式

式中：p、β为负二项布参数。0＜p＜1，β为正整数。聊城大学汽车与交通工程学院由概率论可知，对于负二项分布，其均值M=β(１-p)/p,D=β(1-p)/p2,M＜D。2、递推公式聊城大学汽车与交通工程学院3、适用条件

当到达的车流波动性很大或以一定的计算间隔观测到达的车辆数(人数)其间隔长度一直延续到高峰期间与非高峰期间两个时段时，所得数据可能具有较大的方差。聊城大学汽车与交通工程学院例题3：在具有左转车道的交叉口入口，设置了专供左转弯的信号灯，每周期平均到达交叉口的车辆为20辆，其中25％为左转，已知，来车服从二项分布。问：在某一周期将不使用左转信号灯的概率？解：聊城大学汽车与交通工程学院EX2：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车30辆，其中有30%的左转弯车辆，试求：到达的5辆车中，有2辆左转弯的概率；到达的5辆车中，少于2辆左转弯的概率；某一信号周期内没有左转弯车辆的概率。解：1）由：p=30%，n=5，k=2聊城大学汽车与交通工程学院2）由：p=30%，n=5，k=23）由：p=30%，n=30，k=0聊城大学汽车与交通工程学院二.连续型分布

描述事件之间时间间隔的分布称为连续型分布。连续型分布常用来描述车头时距、或穿越空档、速度等交通流特性的分布特征。1.负指数分布如果车辆的到达服从泊松分布，则，车头时距就是负指数分布。

聊城大学汽车与交通工程学院1）基本公式

泊松分布计数间隔t内没有车辆到达(k=0)的概率为：

P(0)=e-λt

上式表明，在具体的时间间隔t内，如无车辆到达，则上次车到达和下次车到达之间，车头时距至少有t秒，即，P(0)也是车头时距等于或大于t秒的概率，于是得：

P(h≥t)=e-λt

而车头时距小于t的概率则为：

P(h＜t)=1-e-λt

聊城大学汽车与交通工程学院若Q表示每小时的交通量，则λ=Q/3600(辆/s)，前式可以写成：

P(h≥t)=e-Qt/3600

式中Qt/3600是到达车辆数的概率分布的平均值。

若令M为负指数分布的均值，则应有：

M=3600/Q=1/λ

负指数分布的方差为：用样本的均值m代替M、样本的方差S2代替D，即可算出负指数分布的参数λ。聊城大学汽车与交通工程学院(2)适用条件

负指数分布适用于车辆到达是随机的、有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的情况。通常认为当每小时每车道的不间断车流量等于或小于500辆，用负指数分布描述车头时距是符合实际的。聊城大学汽车与交通工程学院例4：对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头时距大于或等于10s的概率。解：车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内无车的概率。

由λ=360/3600=0.1

同样，车头时距小于10s的概率为：聊城大学汽车与交通工程学院例5：一个没有信号控制的交叉口，具有优先通行权的主要道路上的车流量为720辆/h，并且车辆的到达服从泊松分布，已知主要道路允许次要道路穿越的最小车头时距为10s。求：每个小时有多少个可穿越空档？解：聊城大学汽车与交通工程学院思考：如果主要道路上的车辆到达服从均匀分布，上题解的情况会发生怎样变化？聊城大学汽车与交通工程学院EX3：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到900辆/h，1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少。（假设车辆到达服从泊松分布）7.5mQ=360辆/h聊城大学汽车与交通工程学院解：行人横过单向行车道所需要的时间：

t=7.5/1=7.5s因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为：对于Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：聊城大学汽车与交通工程学院当Q=900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为：1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：聊城大学汽车与交通工程学院第三节排队论及其应用聊城大学汽车与交通工程学院

定义：排队论也称随机服务系统，是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队现象以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹学的一个重要分支。一、基本概念（一）排队

排队单指等待服务的车辆，不包括正在被服务的车辆；

排队系统则既包括等待服务的车辆，又包括正在被服务的车辆。聊城大学汽车与交通工程学院“排队”与“排队系统”当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一个“排队系统”。等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这个队列则称为“排队”。“排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指排队的本身。“排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间”则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和排队的统称。聊城大学汽车与交通工程学院1、排队系统构成排队系统的三个基本组成部分：1）输入过程2）排队规则3）服务机构在这个系统中，输入过程时间间隔与服务时间一般是一个随机变量，我们可以使用概率论来进行描述。聊城大学汽车与交通工程学院输入过程：就是指各种类型的车辆按怎样的规律到达，常见的输入过程有：（1）定长输入——车辆均匀到达，车头时距相同；（2）泊松输入——车辆到达符合泊松分布，车头时距服从负指数分布，此类输入过程最易处理，应用最广泛；（3）爱尔朗输入——车辆到达车头时距符合爱尔朗分布。聊城大学汽车与交通工程学院排队规则：指到达的车辆按怎样的次序接受服务，包括：（1）损失制——车辆到达时，若所有服务台均被占用，则该车辆不排队等待；（2）等待制——车辆到达时，若所有服务台均被占用，该车辆排队等待服务，服务规则有先到先服务和优先服务等多种；（3）混合制——车辆排队长度受限制，队长小于一定值，则排队等待，否则不排队。聊城大学汽车与交通工程学院服务方式：指同一时刻有多少服务台可接纳车辆，每一车辆服务多长时间（服务时间）。每次服务可以接待单个车辆，也可以成批接待。服务时间的分布常用以下几种：（1）定长分布服务——每一车辆的服务时间相等；（2）负指数分布服务——各车辆的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布；（3）爱尔朗分布服务——各车辆的服务时间相互独立，服从相同的爱尔朗分布。聊城大学汽车与交通工程学院注：排队系统的表示方法

M代表泊松输入或负指数分布服务；

D代表定长输入或定长服务；

Ek代表爱尔朗输入或服务；例如：M/M/N代表泊松输入、负指数分布服务、N个服务台的排队系统。聊城大学汽车与交通工程学院（二）排队系统的主要数量指标1．等待时间从车辆到达时起至开始接受服务时止的这段时间。（1）逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间（包括接受服务时间）；（2）排队时间：一个顾客在系统排队等候的时间；2．忙期服务台连续繁忙的时期，这涉及到服务台的工作强度。（服务机构繁忙的时间长度）

聊城大学汽车与交通工程学院3．队长（cháng）这一指标有排队车辆数与排队系统中车辆数之分，是排队系统服务水平的一种度量。（1）队长：系统中顾客个数的期望值（包括正在接受服务的顾客）；（2）排队长：系统中排队等候的顾客个数的期望值；各参数之间的关系：对长=排队长+正被服务的顾客的期望值；逗留时间=排队时间+服务时间的期望值；

聊城大学汽车与交通工程学院二、基本排队系统（一）M/M/1系统（单通道系统）（1）顾客到达符合参数为λ的泊松分布，即，单位时间到达的顾客数为λ；（2）服务时间服从参数为μ的负指数分布，表现为队伍中忙期单位时间离开的顾客数为μ；（3）队长允许无穷，顾客来源无穷，先到先服务的原则。聊城大学汽车与交通工程学院1．计算公式

设车辆的平均到达率为λ，则到达的平均时距为：

1/λ。排队从单通道接受服务的平均服务率为μ，则平均服务时间为：

1/μ。令比率ρ=λ/μ称为服务强度或交通强度，据此可确定各种状态的性质。（所谓状态，指的是排队系统的车辆数。）聊城大学汽车与交通工程学院如果ρ<1，并且时间充分，每个状态都按一定的非零概率反复出现。当ρ≥1时，任何状态都是不稳定的，而排队长度将会变得越来越长。因此，要保持稳定状态即排队能够消散的条件是ρ<1。聊城大学汽车与交通工程学院基本公式3）系统中车辆数的方差：2）系统中的平均车辆数：1）系统中随着ρ的增大，n增大；当ρ≥0.8以后，n迅速增大，从而使排队长度快速增加，排队系统便的不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。聊城大学汽车与交通工程学院4）平均排队长度：5）平均非零排队长度：这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把没有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。聊城大学汽车与交通工程学院6）排队系统中的平均消耗时间：这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。7）排队中的平均等待（排队）时间：这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。聊城大学汽车与交通工程学院2.例题：某收费公路入口处有一收费亭，汽车进入公路必须经过收费亭进行交费，收费亭收费时间符合负指数分布，平均每辆汽车收费时间为7.2s，汽车到达率为400veh/h,并符合泊松分布。求：①收费站空闲的概率；②收费站没有车辆排队的概率；③收费亭前排队超过100米,即排队车辆超过11veh的概率；④平均排队长度；⑤车辆通过收费亭所花时间的平均值；⑥车辆平均排队时间。聊城大学汽车与交通工程学院解：车辆到达率λ=400veh/h服务效率（忙期车辆离开率）μ=500veh/h服务强度：ρ=λ/μ=400/500=0.8②收费亭空闲的概率：P（0）=1-ρ=1-0.8=0.2③没有车辆排队的概率：P(<1)=P（0）+P（1）=P（0）+ρP（0）=0.36④排队车辆超过11veh的概率：聊城大学汽车与交通工程学院⑤平均排队长度⑥车辆通过收费亭所花的时间的平均值（平均消耗时间）⑦车辆平均排队时间（平均等待时间）聊城大学汽车与交通工程学院例2：修建一个服务能力为120辆/h的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为72辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳5辆车，是否合适。解：λ=72（辆/h）,μ=120（辆/h）

ρ=λ/μ=0.6<1，排队系统是稳定的。进入停车场的引道长度能够容纳5辆车,如果系统中的平均车辆数小于5辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。聊城大学汽车与交通工程学院验证系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(＞5)，如果P(＞5)很小，则得到“合适”的结论正确。由：验证结果表明：系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(＞5)不足5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。聊城大学汽车与交通工程学院EX1：有一公路与铁路的交叉口，火车通过时，栅栏关闭，每次关闭的时间为tr＝0.1h。已知，公路上车辆以均一的到达率λ＝900（辆/h）到达该交叉口，而栅栏开启后，排队的车辆又以均一的离去率μ＝1200（辆/h）离开交叉口。试计算：由于栅栏关闭而引起的（1）单个车辆的最长延误时间tm；（2）最大排队车辆数Qm；（3）排队疏散时间t0；（4）排队持续时间tj；（5）受限车辆总数n；聊城大学汽车与交通工程学院解：ρ=λ/μ=0.75<1（1）到栅栏刚关闭时恰好到达的那辆车的延误时间最大。Tm=tr=0.1h（2）栅栏刚刚开启时排队的车辆数最多：Qm=λ×tr=90（辆）（3）栅栏开启后，队头的车辆以μ离去，队尾的车辆以λ到达，所以整个队列的净疏散率为μ-λ。所以疏散时间t0=Qm/(μ-λ)=0.3h（4）排队持续时间tj=tr+t0=0.4h（5）疏散时间内离去的车辆为受限的车辆：n=t0*μ=360（辆）聊城大学汽车与交通工程学院（二）M/M/N系统1.分类：（1）单路多通道系统（2）多路多通道系统（N个M/M/1系统）聊城大学汽车与交通工程学院2、单路多通道系统——服务强度（饱和度）——系统稳定聊城大学汽车与交通工程学院基本公式：聊城大学汽车与交通工程学院平均排队长度：系统中的平均车辆数：平均消耗时间平均等待时间聊城大学汽车与交通工程学院第四节跟弛理论简介跟驰理论：是运用动力学方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态的一种理论。跟驰理