第七章 6 小波变换的应用简介

§6小波变换的应用简介

小波在信号消噪中的应用小波分析与信号的奇异性检测

小波变换在图像处理中的应用

小波变换在电力系统谐波检测中的应用

小波在信号消噪中的应用降噪实例降噪原理阈值的确定硬阈值和软阈值去噪降噪原理

在小波分析中，应用最广泛的无疑是信号处理和图像处理，而在这两个领域中，应用最多的就是信号(图像)的降噪和压缩。由于在正交小波中，正交基的选取璧传统方法更接近实际信号本身，所以通过小波变换可以更容易地奋力出噪声或其他我们不需要的信息，因此在这类应用中小波分析有着传统方法无可比拟的优势。降噪和压缩这两种应用有一个共同点在于他们都是尽量把无用的信息从原始信号中剔除，所以Matlab提供了一条通用的命令wdencmp，同时处理降噪和压缩。降噪准则

光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性；相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的方差最小；(MinmaxEstimator)降噪过程小波分析用于降噪的过程，可细分为如下几段：

(1)分解过程：选定一种小波，对信号进行N层小波

(小波包)分解；

(2)作用阈值过程：对分解得到的各层系数选择一个阈值，并对细节系数作用软阈值处理；

(3)重建过程：对处理后的系数通过小波(小波包)重建恢复原始信号。降噪原理

基本降噪模型假设一个信号被噪声污染后为

，那么基本的噪声模型就可以表示为：

其中

为噪声，

为噪声强度。在最简单的情况下可以假设为高斯白噪声，且

小波变换的目的就是通过抑制降噪原理

种方法的效率很高。这种可以分解为稀疏小波系数的函数的一个简单例子就是有少数间断点的光滑函数。

的分解系数比较稀疏(非零项很少)的情况下，这阈值的确定

从原始信号确定各级阈值

在小波分析用于降噪的过程中，和信号的步骤就是在系数上作用阈值。因为阈值的选取直接影响降噪的质量，所以人们提出了各种理论和经验的模型。但没有一种模型时通用的，他们都有自己的使用范围。中的来表示，从中提取的方法有很多种，在假定噪声为白噪声的情况下(噪声数学期望为0)，一般是用原信号的小波分解的各层系数的标准差来衡量。小波变换中，对各层系数降噪所需的阈值一般是根据原信号的信号噪声比来取得，从理论模型里这个量用式(1)在得到信号的噪声强度以后，我们就可以根据噪声强度

来确定各层的阈值，对噪声强度为

的白噪声，阈值的确定主要有以下几个数学模型：

其中n为信号的长度，在ddencmp命令中，若使用其降噪功能，求得的阈值就是用这个规则确定的。

缺省的阈值确定模型，阈值由如下的公式给出阈值的确定

Birge-Massart策略所确定的阈值，阈值通过如下的规则求得：

(1)给定一个指定的分解层数j，对j+1以及更高层所有系数保留；式中M和为经验系数。降噪情况下取(2)对第i层(1≤i≤j)，保留绝对值最大的ni个系数，ni由下式确定：缺省情况下取，也就是第一层分解后系数的长度。一般情况下，满足的取值因用途不同而不同，阈值的确定

压缩情况下一般取令t*为使得函数从原始信号确定阈值的函数有ddencmp，wbmpen，wdcbm和wdcbm2，其中自动降噪的命令wdencmp在用于信号的时候采用的是默认的阈值。

小波包变换中的penalty阈值，阈值由下式给出：取得最小值的为小波包分解系数排序后第大的系数。为系数的总数，那么阈值式中的

为信号的噪声强度，

为经验系数，

必须为大于1的实数，随着

的增大，降噪后信号的小波系数系数会变稀疏，重建后的信号也会变的更加光滑。

的典型值为2。阈值的确定

例1：利用sym6小波对信号noisbump做5层分解。并使用用penalty阈值降噪方法、Birge-Massart阈值降噪方法以及缺省阈值降噪方法对信号进行降噪。其结果见图6-1。使用penalty策略确定降噪的阈值

thr1=2.7681使用Birge-Massart策略确定降噪的阈值

thr2=3.13122.61694.04439.59607.0858nkeep=123511使用缺省阈值确定阈值并用硬阈值对系数进行处理thr=3.7856sorh=skeepapp=1

阈值的确定

几种阈值降噪方法在降噪中的使用图6-1阈值的确定

基于样本估计的阈值选择通过例1可以看到，除了Birge-Massart策略确定的阈值外，其余方法的到的降噪信号太过于光滑，失去了原信号本身的一些信息，这在以前讲述的降噪准则中，不符合相似性原则，保留相似性的方法有很多，在数学上有一个常用的标准就是在最坏情况下方差最小的约束下的样本估计。除了前面讲的通过舍去部分系数以外，还有一种方法就是信号作无偏似然估计，然后根据最坏情况下降噪信号与原信号方差最小的原则确定一个统一的阈值，然后截去超过这个阈值的系数。阈值的确定

最小极大方差阈值(minimaxi)：使得选取的阈值产生最小的极大方差。通过统计学上估计其的构造方法得到。因为降噪后的信号可以看成与未知回归函数的估计式相似，所以这种方法通过求得未知回归函数与原信号在最坏情况下的最小值来获得阈值。得到阈值；

系数长度对数阈值(sqtwolong)：从得到最小极大方差的阈值t乘以一个启发式sure阈值(heursure)：前两种方式的综合形式，因为基于sure

产生的阈值在高信号噪声比的情况下抑制噪声的效果不明显，这种方法利用启发函数自动在前两种阈值选择中选取一个；阈值的确定

基于stein无偏似然估计(sure)的软阈值估计(rigsure)。对于给定的阈值t，得到它的似然估计，然后将似然函数最小化，得到所需要的阈值；各种阈值的选取

阈值的确定

例2：产生一个长度为1000的随机信号y，y的SURE阈值为thr=2.7316；y的对数长度阈值为thr=3.7169y的启发式SURE阈值为thr=3.7169y的minimaxi阈值为thr=2.2163硬阈值和软阈值去噪硬阈值和软阈值在求得阈值以后，有两种在信号上作用阈值的方法，一种是令绝对值小于阈值的信号点的值为零，成为硬阈值，这种方法的缺点是在某些点会产生间断。另一种软阈值方法是在硬阈值的基础上将边界处向不连续点收缩到零。这样可以可以有效的避免间断，使得重建信号比较光滑。例3：对于定义在[-1,1]上的直线，定义阈值为0.4，分别作用硬阈值和软阈值，结果如图6-2所示图6-2硬阈值和软阈值的图形表示硬阈值和软阈值去噪降噪实例

Matlab中用于降噪的函数自动对信号进行降噪，包括wden，wdencmp对阈值进行处理的命令，包括thselect,wthrmngr根据信号噪声强度求得阈值，包括ddencmp，wbpen，wdcmb直接对分解系数作用阈值的命令，包括wpthcoef，wthcoef，

wthresh估计噪声的命令，包括wnoisest生成噪声的命令，包括wnoise例4：降噪后的ca信号在原信号的能量成分per1=0.9302；降噪后的x2信号在原信号的能量成分per2=0.9387；将ca作为降噪信号，其与原信号的标准差err1=48.8734；将x2作为降噪信号，其与原信号的标准差err2=32.4658。

在一个光滑的信号上加入一个高斯白噪声，使用db4小波对其作5层分解，观察信号在时间-频率域上的成分。再通过作用阈值抑制噪声信号，重建信号达到降噪的目的。在小波分解过程中，每次分解得到的系数比以前更光滑，舍去的细节信息就存在各层近似系数中。一个简单的思想就是重建第i层近似系数达到降噪的目的。此例中取第5层近似信号ca作为降噪后的信号。但为了保持原信息的相对完整可以有选择地抑制各层的细节系数，通过抑制后的系数重建信号x2作为降噪信号，达到降噪的目的。见图6-3。降噪实例

通过抑制细节系数实现降噪例4：通过抑制细节系数实现降噪图6-3降噪实例

由此例可看出，使用单纯抑制细节系数的方式(因为求重建近似信号等于将所有细节的系数抑制到0)，确实可以实现消除信号噪声的目的，但这种方式过于粗略，因为这样做没有利用到噪声本身的信息，没有通过噪声本身来确定降噪的方法，所以作为衡量相似性的标准差仍然很大，而且降噪后的信号损失了很多原信号的能量成分(6%左右)，这就说明在降噪的过程中，不光抑制了噪声，也抑制了很多有用的信息成分。在小波域中的细节系数若映射到Fourier分析中的频域，则代表高频系数，如果只对高频系数进新抑制，同样可以达到降噪的效果。降噪实例

通过FFT实现信号降噪的具体流程如下：这个过程其实相当于对原信号在一定范围内作滤波，还原到时域相当于对信号进行卷积运算。(1)对原始信号进行Fourier变换，求出其频谱。(2)根据频谱，对比我们所关心的频谱成分，对不需要的频谱成分进行抑制。(3)对变换后的频谱作Fourier逆变换，得到降噪后的信号。其中

为频域中的滤波器，用以抑制噪声信号的频谱。

降噪实例

，降噪后的信号为，其Fourier设原始信号为。那么这个过程就可以表示为：变换形式分别为例5：

对信号noisdopp作Fourier变换，画出其频谱图，结果见图6-4。由图可见，信号的能量主要集中在低频部分，在20Hz以后迅速衰减到零，50Hz以后几乎就没有能量了。降噪实例

通过FFT实现信号降噪从而可以做一个简单的低通滤波。使用宽度分别为10、30和50的滤波器对频谱进行滤波，抑制频谱直接令其为零，然后对经过滤波的频谱做Fourier变换，得到相应的降噪信号xd1、xd2与xd3，其图形见图6-5。

例5：通过FFT实现信号降噪图6-4降噪实例

例5：通过FFT实现信号降噪图6-5降噪实例

例5：通过FFT实现信号降噪降噪信号xd1、xd2与xd3的能量比例分别为：per1=norm(xd1)/norm(x)=0.8710per2=norm(xd2)/norm(x)=0.9390per3=norm(xd3)/norm(x)=0.9542各个降噪信号与原信号的标准差分别为：err1=norm(xd1-x)=62.6615err2=norm(xd2-x)=43.3881err3=norm(xd3-x)=36.8576

在这个例子中，信号noisdopp的初始发展阶段的振荡频率很高，我们认为是系统自身的特性，但对于低通滤波器，这些成分被过滤掉了。所以单纯对频域的滤波有“一刀切”的缺陷，也就是把带通之外的频谱不加区分的滤掉。降噪实例

比较例4与例5可以看出，Fourier变换只能在频域范围内表述，那么对系数进行处理的方法也相对单一，而小波分解之后可以在各个层次选择阈值，对噪声成分进行抑制，手段更加灵活。还有一点值得注意的是，使用小波变换进行噪声抑制时，降噪结果的能量比(93.87%)虽然没有使用FFT滤波器的结果(95.42%)高，但是保持了更高的与原信号的相似程度。这一点从降噪信号与原信号的标准差可以看出。小波变换中，对细节系数进行抑制后的滤波结果与原信号的标准差为32.4685，比FFT的结果36.8576还小。而且这种整体缩减抑制细节系数的方法还不是最好的降噪方法。这个例子很客观地说明了多分辨分析在做变换的时对时间和频率的兼顾，以及它同传统频域方法无可比拟的优势。降噪实例

以上两例讨论了在小波域和频域对信号进行抑制的方法，并将两种方法得到的降噪结果进行了比较。但是严格地讲，这些都不能很好的符合降噪的两个基本要求——光滑性和相似性。阈值控制的方法在理论上指出了一种在小波域对系数进行操作，使得降噪信号最大程度满足这两个要求的方法，就是所谓的“小波收缩”的方法，其原理就是根据方差最小的原则通过对系数的无偏似然估计确定阈值的方法，这也是Matlab小波工具箱中用于信号降噪的缺省方法。降噪实例

例6：

仍以信号noisdopp为例，利用基于stein无偏似然估计的方法，通过工具箱中自动获取对信号进行降噪的命令wdencmp来进一步说明小波变换在信号降噪中的应用，其中阈值的选取可通过两种方式：全局阈值和分层阈值。为了便于和以前的例子对比，这次选择与db4相似，且对称性更好的sym4小波对信号作4层分解。降噪实例

Matlab缺省的降噪命令原信号和降噪后的信号的图形见图6-6。例6：Matlab缺省的降噪命令图6-6降噪实例

例6：Matlab缺省的降噪命令

由此可见，全局阈值和分层阈值方法降噪后的信号都很好的保留了信号发展初期的高频特性，且性能参数由于以前的抑制细节系数的策略和FFT方法。在这两者之间，分层阈值虽然损失了部分的性能（与原信号的相似性），但比全局阈值的结果光滑很多。而且信号发展初期的高频系数几乎不受影响，最大限度地反映了原信号本身的特性。降噪信号的能量成分以及其与原信号的标准差分别为：全局阈值降噪后信号的能量成分per1=0.9774分层阈值降噪后信号的能量成分per2=0.9645全局阈值降噪后信号与原信号的标准差err1=28.0714分层阈值降噪后信号与原信号的标准差err2=31.0548降噪实例

例7：

由此可见，全局阈值和分层阈值方法降噪后的信号都很好的保留了信号发展初期的高频特性，且性能参数优于以前的抑制细节系数的策略和FFT方法。在这两者之间，同全局阈值相比，分层阈值在保留同样能量成分的情况下，有着更好的相似性。从直观上解释，是由于区分了不同方向的阈值后，可以更精确地刻画各个方向上的噪声分布情况，所以可以获得更好的相似性。

利用sym4小波对二维信号woman作4层分解，使用全局阈值和分层阈值降噪方法对原信号降噪结果见图6-7。并求得降噪后信号的能量成分与标准差：全局阈值降噪后信号的能量成分per1=0.9996分层阈值降噪后信号的能量成分per2=0.9996全局阈值降噪后信号与原信号的标准差err1=1.4415e+003分层阈值降噪后信号与原信号的标准差err2=1.3679e+003降噪实例

二维信号的小波降噪例7：二维信号的小波降噪图6-7降噪实例

小波分析与信号的奇异性检测

Lipschitz指数与正则性基于小波变换的奇异信号的检测小波分析与信号的奇异性检测奇异点在信号和图象处理中称为边缘点或突变点，它包含了信号的重要特征。如在电力信号检测中，信号的奇异点往往包含了重要的事故信息，因此对奇异点的检测在故障分析中具有重要的意义。函数（信号）在某点处间断或某阶导数不连续，称函数在该点处有奇异性，该点称为奇异点。通常情况下，信号奇异性分为两种情况：一种是信号在某一个时刻内，其幅值发生突变，引起信号的非连续，幅值的突变处是第一种类型的间断点；另一种是信号外观上很光滑，幅值没有突变，但是信号的一阶微分有突变产生，且一阶微分是不连续的，称为第二种类型的间断点。利用小波变换具有时频局部化的性能，可以对函数(信号)的奇异性进行分析，并确定奇异点的位置与奇异性的大小。小波分析与信号的奇异性检测定义

设函数

在点满足其中为充分小量，

为某常数，为n次多项式。称在点具有Lipschitz指数若对任意的

，函数都有Lipschitz指数

，其中常数无关，则称

在区间上具有一致Lipschitz指数小波分析与信号的奇异性检测函数在某点的Lipschitz指数刻画了函数在该点的正则性：

Lipschitz指数越大,函数越光滑，奇异性越小；反之，该点的奇异性越大，该点的光滑度就越小。

如果函数在某点的Lipschitz指数小于1,则称函数在该点是奇异的。

如果函数在某点n次可微，但其n阶导数不连续，则函数在该点的Lipschitz指数满足

函数在一点连续、可微或函数在该点可导，而导数有界但不连续，则在该点的Lipschitz指数为1。

函数在一点不连续但有界,则函数在该点的Lipschitz指数为0。

小波分析与信号的奇异性检测定义:一个光滑函数可以看成是低通滤波器的冲激响应，的卷积型小波变换为

定义函数

其中

为光滑函数，即它满足称一个实函数是光滑函数小波函数的一阶导数，即设小波分析与信号的奇异性检测小波变换光滑之后的一阶导数成变量的局部模极值点正比。对一个固定的尺度的拐点，即对应着的突变点。而点的值取决于的邻域内的特性和尺度的大小，的大小随尺度的变化发生有规律的变化，且规律与该点的奇异性密切相关。也对应信号的突变点。所以，如果选择小波为光滑函数的一阶导数，则由小波波为光滑函数的二阶导数时，信号小波变换模的过零点，的突变点；如果选择小变换的模极值点可以检测到信号小波分析与信号的奇异性检测定理：

设在区间上具有一致Lipschitz，当且仅当存在常数，对任意

有：指数注：

如果小波函数

具有n阶消失矩，则上述定理对于

的任何非整的李氏指数仍然成立，但对于整数的李氏指数不一定成立。小波分析与信号的奇异性检测上式给出小波变换值或对数值随尺度

和Lipschitz指数

的变化规律：当时,小波变换的极大值将随尺度的增大而减小；特别地，当时，则有当时,小波变换的极大值将随尺度的增大而增大；时，小波变换的极大值不随尺度的变化而变化。当小波分析与信号的奇异性检测基于小波变换的奇异信号的检测

电力信号一般是仪器工作的电压或者电流

，频率为50Hz，奇异性分析有两种最基本情况：一种是信号在某一时刻内，其幅值发生突变，引起信号的不连续，信号的幅值突变点是第一种类型的间断点。另一种是信号的外观上很光滑，幅值没有突变，但是信号的一阶微分有突变产生，称此为第二种类型的间断点。小波分析与信号的奇异性检测例1.间断点是指在正常信号情况下的信号突变。在动态系统中,信号突变是非常快的。信号突变的主要特征是信号在时间和空间上存在着局部的变化。根据信号变化的速度快慢,选择合适的分解尺度,小波分析良好的局部分析功能就能充分发挥,从而方便地解决信号突变点检测的问题。信号突变点的检测内容包括:突变点的时机、突变点的类型和振幅的改变。以某工作系统的测试信号为例,其正常工作的信号为一定频率的的蠕变信号,当系统出现故障时,其信号的频率发生了变化,如图6-8中的信号s所示。第一类间断点的检测小波分析与信号的奇异性检测该信号的不连续性是由于低频特征的信号在后半部分中突然有中高频特征的信号加入。以下通过采用db3小波变换来分析来检测信号幅值变化的准确时间，即间断点的准确位置，从而将中高频特征的信号的加入时间点检测出来。从图1小波分解的第一层系数d1中可以明显低看出在t=500开始直到t=1000的时间内，系统工作出现了异常情况。显然，小波变换通过其局部识别特性将故障的间断点正确的诊断出来。小波分析与信号的奇异性检测图6-8工作系统信号的多尺度小波变换

小波分析与信号的奇异性检测对比通过传统的傅里叶分析对信号进行处理的情况。由于Fourier变换将信号变换成纯频域中的信号，使它不具有时间分辨的能力，故对信号在时域中的突变点根本无法检测出来。如图6-9所示，通过与小波多尺度变化的比较可以明确的说明小波分析比传统的傅里叶分析有更大的优越性。如果这种信号用傅里叶分析进行分析，显然是无法检测出信号的频率变化点的,而在小波分析中，这种突变点的特征则表现得相当明显。

小波分析与信号的奇异性检测图6-9工作系统信号的傅立叶变换小波分析与信号的奇异性检测例2.此类间断点表面看起来很光滑，但是其一阶导数存在突变，

通过小波变换可以对信号的奇异点进行有效的识别。假定给定的信号是由两个独立的满足指数方程的信号连接起来的，从图6-10中可以看出，此信号在外观上是很光滑的曲线，

但是该信号具有一阶微分且突变，如图6-11所示。第二类间断点的检测小波分析与信号的奇异性检测图6-10两个独立的满足指数方程的连续信号小波分析与信号的奇异性检测图6-11原始信号的一阶微分小波分析与信号的奇异性检测通过db1小波6尺度的变换，可以看到，改信号的一阶微分在时间T=100点处，有明显的不连续。将该信号进行小波分解后，第一层的高频部分d1将信号的不连续点显示得相当明显，这个断裂点在信号的中部发生，在其他地方可以忽略。从图6-12可以看出，利用小波分析进行信号的不连续的定位是非常精确的。象这种间断点的定位，一般来说，是在小波分解的第一层和第二层高频部分进行判断的。小波分析与信号的奇异性检测图6-12原始信号的多尺度小波变换(db1小波)小波分析与信号的奇异性检测需要注意的是，在选择小波的时，正则性是一条很重要的规则。上面的小波变换选用的是Db1小波，这种小波正则性很好，如果选择Db4小波，会发现在T=100处，高频部分的值几乎为0，检测不出信号的不连续点，见图6-13。为了检测出信号的奇异点，所选择的小波必须很正则，这时的小波可实现一个更长的冲击响应滤波器。小波分析与信号的奇异性检测图6-13原始信号的多尺度小波变换(db4小波)小波分析与信号的奇异性检测在电力信号奇异性检测中，信号奇异点包含了重要的信息，小波变换可精确的检测信号的奇异点，这对调整仪器的工作状态以及预防事故的发生具有重要作用。需要注意的是：在选择不同的小波分析电能质量信号奇异性时，所达到的效果也不一样。因此，选择合适的小波非常重要。

小波变换在图像处理中的应用边缘检测图像压缩图像增强图像融合图像平滑小波变换用于图像压缩利用小波变换的局部压缩图像

遥感测控图像：要求在整幅图像有很高压缩比的同时，对热点部分的图像要有较高的分辨率。医疗图像：需要对某个局部的细节部分有很高的分辨率。基于离散余弦变换的图像压缩算法可以达到这样的压缩效果，但该方法在处理过程中并不能提供时域的信息，在比较关心时域特性的时候显得无能为力。在此方面，小波分析的就优越的多，由于小波分析固有的时频特性，可以在时频两个方向对系数进行处理，这样就可以对感兴趣的部分提供不同的压缩精度。小波变换用于图像压缩例1：从图6-14可以看出，小波域的系数表示的是原图像各频率段的细节信息，并且提供了一种位移相关的信息表述方式，可通过对局部细节系数处理来达到局部压缩的效果。从压缩图像中可很明显地看出只有中间部分变得模糊(如原图中很清晰的围巾的条纹不能分辨)，而其他部分的细节信息仍然可以分辨的很清楚。

使用sym4小波对信号wbarb进行一层小波分解。通过将三个