冀教版七年级数学上册 （角的和与差）教学课件

2.7角的和与差

学习目标1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义，并会进行角的和差运算.(重点)2.了解角平分线，通过折纸活动，进一步理解角平分线的意义.3.了解两角互余和两角互补的意义，通过探究，了解同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等.

(重点、难点)复习回顾1.

度量法用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.12

比较角的大小方法：BAO1.将两个角的顶点及一边重合;2.两个角的另一边落在重合一边的同侧;3.由两个角的另一边的位置确定两个角的大小。2.叠合法CDE∠ECD＞∠AOB∠ABC<∠DEFBCAEDFDE边在∠ABC的外部,则∠ABC=∠DEFBACEDFDE与AB边重合,则知识讲解图中有几个角？它们之间有什么关系？图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；它们的关系：∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=

.∠BOCABOC角的和差1即学即练1.如图，∠AOB=______+_______+_______，∠AOD=_______+_______=_______-_______.∠AOC∠COD∠BOD∠AOC∠COD∠AOB∠BOD2.如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC与∠DOB相等吗？解：相等.因为∠AOB=∠COD，由等式的性质，得∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.(2)如图②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝

°．3.(1)如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝

°．7520ABOCABOC图①图②(3)若∠AOB

＝60°，∠AOC

＝30°，则∠BOC＝

°．30或90OB

ACC提示：无图条件下要分类讨论，全面考虑图形位置。当两角有公共边时，要考虑两角在公共边的同侧和异侧。OB

A

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.

应用格式：OBAC∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOC

＝∠BOC

＝∠AOB，∠AOB

＝2∠BOC

＝2∠AOC.角的平分线2解题时灵活选用思考：用折纸法能作角的平分线吗？按下列步骤进行操作:(1)在半透明的纸上画一个角;(2)折纸,使角的两边重合;(3)把纸展开,以点O为端点,沿折痕画射线OP.例1

如图所示，∠AOB是一个平角，射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，求∠EOF的度数.解：

因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠EOC=∠AOC，∠COF=∠BOC.所以∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=90°.例2

如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数.

规律总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.1

如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角

(简称为两个角互余).

如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.2∵∠1+∠2=90°，∴∠1、∠2互余。∵∠1、∠2互余，∴∠1+∠2=90°。1.2.数学表达式余角和补角的概念3

如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角

(简称为两个角互补).

如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.43数学表达式∵∠α+∠β=180°，∴∠α、∠β互补。1.2.∵∠α、∠β互补，∴∠α+∠β=180°。1.判断下列说法是否正确练一练（1）90度的角叫余角，180度的角叫补角。（）（3）如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。（）（4）互补的两个角不可能相等。（）（5）钝角没有余角，但一定有补角。（）（6）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（）

（2）若（）

（7）互补、互余的两角一定有公共顶点或公共边（）余角和补角的性质4分析：∠AOB=90°，则______+∠BOD=90°；结论：同角的余角相等如图，∠AOB=90°，∠COD=90°，则∠1与∠2是什么关系？AOBCD12余角的性质∠COD=90°，则_____+∠BOD=90°答：∠1=∠2∠1∠2探究一如图，∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？1243结论：等角的余角相等∠2

=∠４如图，∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，那么∠2与∠3相等吗？为什么？补角的性质∵

∠1与∠2互补，∴

∠2=180°－＿＿；答：∠2与∠3相等。结论：同角的补角相等∵

∠1与∠3互补，∴＿＿＿＿＿＿＿。312∴。理由如下：探究二∠3=180﹣∠1∠2=∠3∠1如图∠1与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？2143探究三:余角和补角的性质.结论：等角的补角相等.∠2＝∠4例3若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.解：设这个角为x°，则它的补角是(180－x)°，

余角是(90－x)°.根据题意，得180－x=4(90－x).

解得x=60.答：这个角的度数是60°.

1．如图用一副三角板可以画出15°的角，用它们还可以画出其他一些特殊角，不能利用这副三角板直接画出的角度是（）A．55° B．75C．105°D．135°

2．如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝138°，那么∠BOC等于（）A．22° B．32C．42°D．52°AA随堂训练3.如图所示，∠AOC＝∠BOC＝90°，∠AOD＝∠COE，则图中互为余角的共有（）

A．5对B．4对C．3对D．2对4．看图填空：∠AOC＝

+

＝

﹣

；∠BOC＝

﹣

＝

﹣

．B∠BOC∠AOB∠AOD∠COD∠AOC∠AOB∠BOD∠COD5.如图，已知AOB是一条直线，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠AOF＝∠BOF＝90°．则（1）∠AOC的补角是

；（2）∠AOC的余角是

；（3）∠COF的补角是

；（4）∠EOF的余角是

．∠COB∠3,∠4∠AOE∠3,∠46.如图，∠AOC是直角，OD平分∠AOC，∠BOC＝60°求：（1）∠AOD的度数；（2）∠AOB的度数；（3）∠DOB的度数．解：（1）∵∠AOC是直角，OD平分∠AOC，

（2）∵∠AOC＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°+60°＝150°；（3）∵∠AOC是直角，OD平分∠AOC，

∵∠BOC＝60°，∴∠DOB＝∠DOC+∠COB＝45°+60°＝105°．2.角的平分线1.角的和、差、倍分关系课堂小结互余互补图形数学语言性质同角（等角）的余角相等同角（等角）的补角相等3.余角和补角2.7角的和与差第1课时

1．结合具体图形，明白两个角的和与差的意义，并会进行两个角的和差运算．2．知道角平分线的概念，通过折纸活动进一步明白角平分线的意义．3．体会简单推理．

同学们，我们已经学习了角的有关知识．请问：你们能用手中三角板画出30°、45°、60°、90°的角吗？用三角板怎样做出15°、75°、150°的角呢？请同学们动手试一试．你能拼出大于180°且小于360°的角吗？（如210°，270°，195°）你能计算出50°+20°吗？89°15’－32°10’呢？在∠AOB的内部作射线OC．图中有几个角？它们之间有什么关系？图中有3个角．∠AOC+∠BOC=∠AOB；它们的关系有:∠AOB－∠BOC=∠AOC；∠AOB－∠AOC=∠BOC．一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数之和，那么这个角叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数之差，那么这个角叫做另两个角的差．注意：两个角的和与差仍是一个角．两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角．它的度数等于这两个角的度数的和（或差）.在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后把纸展开，画出折痕OC．问∠AOC与∠BOC之间有怎样的大小关系？∵折叠时∠AOC与∠BOC重合，∴∠AOC=∠BOC．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

当∠1=∠2时，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，这时OC叫做∠AOB的平分线，也可以说OC平分∠AOB．温馨提示：角的平分线是射线．几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC，∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．∵∠AOC=∠BOC，∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．∴OC是∠AOB的平分线．

任意画一个角∠AOB，你有什么方法画出它的平分线？先用量角器量出这个角的大小，再以这个角的顶点为顶点，一边为始边，在角的内部画一条射线，使它与始边所成的角的大小是原角的一半，这条射线就是这个角的平分线．AOB54°27°C如图，如果∠AOC=∠DOB，那么∠AOD与∠COB相等吗？说明理由．相等．因为∠AOC=∠DOB，所以∠AOC+∠COD=∠DOB+∠COD．所以∠AOD=∠COB．如图，如果∠AOD=∠COB，那么∠AOC与∠DOB相等吗？说明理由．相等．因为∠AOD=∠COB，所以∠AOD-∠COD=∠COB-∠COD．所以∠AOC=∠DOB．如图，如果∠AOB=82°，OP是∠AOC的平分线，OQ是∠COB的平分线，请指明∠POQ的度数，并说明理由．解：∠POQ=41°．因为OP是∠AOC的平分线，所以∠POC=∠AOC．因为OQ是∠COB的平分线，所以∠QOC=∠BOC．所以∠POQ=∠POC+∠QOC=∠AOC+∠BOC

=（∠AOC+∠BOC

）=∠AOB=．

例已知∠1＝103°24′28″，∠2＝30°54″，求∠1＋∠2和∠1－∠2的度数．解：∠1＋∠2＝103°24′28″＋30°54″．103°24′28″＋30°54″

133°24′82″(82″=1′22″)所以∠1＋∠2=133°25′22″．∠1－∠2＝103°24′28″－30°54″．103°24′28″－30°54″

73°23′34″(24′28″=23′88″)所以∠1－∠2=73°23′24″.1．用一副三角板不能画出（）A．15°B．135°C．105°D．145°2．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°，则∠AOB等于（）A．50°

B．75°