上海市闵行区2022届高考二模数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海市闵行区2022届高考二模数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．参数方程（其中）表示的曲线为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线2．“角的终边关于轴对称”是“"的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条许 D．既不充分也不必要各件3．已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（

）A．命题（1）和（2）均为真命题B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题C．命题（1）和（2）均为假命题D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题4．已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足的有（

）A．40条 B．46条 C．52条 D．54条第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题5．设全集，集合，则___________；6．不等式的解集为___________；7．若为纯虚数（为虚数单位），则实数___________；8．已知的反函数的零点为2，则实数的值为___________；9．某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则___________；10．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.11．若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为___________；12．若数列满足，且存在，则___________；13．核酸检测是疫情防控的一项重要举措.某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为___________；14．已知函数的定义域为，且对任意实数，都满足，则实数___________；15．已知双曲线的实轴为，对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得，则双曲线的两条渐近线夹角的最大值为___________；16．已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；评卷人得分三、解答题17．如图，四棱锥的底面为菱形，平面，为棱的中点.(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.18．已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12.(1)求证：；(2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.19．某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源.如图，是边长为6的等边三角形，边的中点处为固定光源，分别为边上的移动光源，且始终垂直于，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.(1)当为边的中点时，求线段的长度；(2)求的面积的最小值.20．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.(1)求证：；(2)求证：为定值，并求出该定值；(3)求的最大值.21．对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质.(1)判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由；(2)若函数具有性质，且当时，，解不等式；(3)已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【解析】【分析】将参数方程化为普通方程即可得到结果.【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：，曲线为抛物线.故选：D.2．B【解析】【分析】先证明充分性，再举出反例说明必要性不成立，得到答案.【详解】由角的终边关于轴对称，则，可知，即成立，充分性成立；当时，角的终边关于轴对称或，所以“角的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件，故选：B.3．A【解析】【分析】时，题干条件变形得到，由向量基本定理得到满足条件的点存在且是唯一；当时，条件变形得到，得到三点共线，与已知矛盾，故（2）为真命题.【详解】当时，，所以，所以，因为不共线，由向量的基本定理得：满足条件的点存在且是唯一，①正确；当时，，即，所以∥，因为，有公共点，所以三点共线，这与题干条件是平面内不共线的三点相矛盾，故满足条件的点不存在，（2）为真命题.故选：A4．A【解析】【分析】通过分析得出圆上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关于原点对称的两点所连直线，关于x轴对称的两点所连直线（不含），关于y轴对称的两点所连直线（不含），再结合变形为，利用几何意义得到原点到直线的距离小于等于，利用垂径定理，弦长越小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此类直线的距离，与比较后发现不合要求，进而继续求解第二小弦长，第三小弦长，求出原点到每类直线的距离，与比较得到结论，利用组合知识求出答案.【详解】圆上的整数点共有12个，分别为，如图所示，由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，关于x轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去，关于y轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去其中变形为，几何意义为原点到直线的距离小于等于，这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类，以下为具体情况：①，弦长为的直线有4条，此时原点到此类直线的距离为，不合要求，舍去②，弦长为的直线有8条，此时原点到此直线的距离为，不合要求，舍去③，弦长为的直线有8条，此时原点到此直线的距离为，满足要去，④其他情况弦长均大于，故均满足要求，由组合知识可知：满足要求的直线条数为：故选：A【点睛】对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再减去不合要求的个数，得到答案.5．【解析】【分析】先计算方程，求出，从而求出补集.【详解】由解得：，所以，故故答案为：6．【解析】【分析】利用指数函数的单调性解不等式，求出解集.【详解】即，解得：故答案为：7．-1【解析】【分析】先利用复数的除法法则化简得到，根据为纯虚数，得到方程，求出，检验后得到答案.【详解】，因为为纯虚数，所以，解得：，此时，符合要求，故答案为：-18．4【解析】【分析】根据反函数之间的关系求解即可.【详解】的零点为2，即的图象过点（2，0），所以的图象过点（0，2），即，解得，故答案为：49．24【解析】【分析】由分层抽样等比例性质求样本容量.【详解】由题意，，可得.故答案为：2410．2【解析】【分析】求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的2倍.故答案为：211．##【解析】【分析】先用辅助角公式得到，求出平移后的解析式，根据奇偶性得到，从而当时，求出的最小值.【详解】，向右平移个单位后解析式为，则要想使得为奇函数，只需，解得：，因为，所以，，解得：，，当时，正数取得最小值，所以.故答案为：12．9【解析】【分析】由题设有，令有，解方程即可得结果.【详解】由题意，，则，又存在，故，令，则，所以，可得或（舍），所以.故答案为：913．##0.76【解析】【分析】先求出在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，两个居民小区总的选择情况，再计算出两个小区没有一天同时做核酸的情况，相减后得到两个居民小区至少有一天同时做核酸的情况，进而求出相应的概率.【详解】在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，两个居民小区均有5种选择，分别为1日至3日，2日至4日，3日至5日，4日至6日，5日至7日，故总的情况有种，其中两个小区没有一天同时做核酸的情况有一个小区选择1日至3日，另一个小区选择4日至6日或5日至7日，一个小区选择2日至4日，另一个小区选择5日至7日，共有3种情况，再进行排列，所以共有种情况，则两个居民小区至少有一天同时做核酸的情况个数为，所以两个居民小区至少有一天同时做核酸的概率为故答案为：14．1【解析】【分析】根据条件得到，即为偶函数，根据列出方程，求出实数的值.【详解】因为的定义域为R，所以恒成立，故，又因为对任意实数，都满足，则对于实数，都满足，所以，所以为偶函数，从而，化简得：，要想对任意，上式均成立，则，解得：故答案为：115．【解析】【分析】通过分析得到，设渐近线与x轴的夹角为，则，求出，从而求出双曲线的两条渐近线夹角的最大值.【详解】对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得，当点位于原点时，则要，才能满足要求，所以，设渐近线与x轴的夹角为，则，因为，则双曲线的两条渐近线夹角为，故答案为：16．13【解析】【分析】对题干条件变形得到，整理后得到，得到能整除，且，因为，所以，求出满足条件的不同数列的个数.【详解】由题意得：此等比数列的公比，由得：，则，即，所以能整除，且因为，所以，解得：，经检验，均满足要求，故满足条件的不同数列的个数为13个.故答案为：13【点睛】本题的关键点为化简整理得到，结合能整除，且，，从而得到，求出答案..17．(1)证明过程见解析；(2)【解析】【分析】（1）先证明出，DE⊥AD，从而证明线面垂直；（2）等体积法求解点到平面的距离.(1)证明：因为平面，平面，所以，因为四棱锥的底面为菱形，，所以为等边三角形，因为为棱的中点所以BC，因为AD∥BC，所以DE⊥AD，因为，所以平面PAD，(2)连接PE，因为，从而，，所以，设点到平面的距离为h，其中由勾股定理得：，由三线合一知：，所以，而，解得：，所以点到平面的距离为.18．(1)证明过程见解析；(2)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算得到公差为2，首项为1，从而得到前n项和；（2）假设存在，使对任意恒成立，变形为对任意恒成立，结合当时，，求出且，因此符合题意得不存在.(1)由题意得：，解得：，由，解得：，所以；(2)假设存在，使对任意恒成立，则对任意恒成立，即对任意恒成立，当时，，所以且，因此符合题意得不存在，证毕.19．(1)(2)【解析】【分析】（1）画出符合要求的图形，求出，，相乘求出面积；（2）辅助辅助线，设，利用三角函数与相似表达出，表达出面积，利用判别式法求解最值.(1)当为边的中点时，因为M为边的中点，所以MF∥AB，且，而始终垂直于，所以ME⊥AB，故，由勾股定理得：即线段的长为(2)过点E，F分别作EG⊥BC于点G，FH⊥BC于点H，设，则，，由勾股定理得：，因为ME⊥MF，所以∠BME+∠CMF=90°，因为∠MFH+∠CMF=90°，所以∠BME=∠MFH，所以，所以，即，所以，，因为，，所以，所以，所以的面积为，整理得：，∴，解得：或，因为，所以y的最小值为即面积的最小值为【点睛】根据题干条件求解面积最值问题，要设出某边长，用次边长表达出其他边长，进而表达出面积，再结合式子特点，选择合适的方法来求解最值，比如基本不等式，求导，对勾函数，三角函数有界性等.20．(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析，定值为1(3)4【解析】【分析】（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出；（2）利用点到直线距离公式得到，，结合∥，求出，结合第一问的结论证明出为定值1；（3）利用向量线性运算及点在直线的同侧得到，结合第二问得到，再用投影向量的知识得出，其中为的夹角），结合第一问结论得到，利用基本不等式求出最值.(1)联立与得：，由直线与椭圆有一个公共点可知：，化简得：；(2)由题意得：，因为，所以∥，故，其中，，所以，为定值，该定值为1；(3)，由题意得：点在直线的同侧，所以，，（其中为的夹角），由此可知：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4.【点睛】对于圆锥曲线定值问题，要能够利用题干信息用一个变量求解出要求的量，可以是直线的斜率，也可以是点的坐标，然后代入计算得到定点.21．(1)不具有性质，理由见解析；具有性质，（只要满足即可）(2)(3)【解析】【分析】（1）根据可知不具有性质；当时，结合诱导公式可知，可得具有性质；（2）由可推导得到是以为周期的周期函数；分别在和的情况下，解不等式，根据周期性可得到结论；（3）由可知只需研究的情况；当、、和时，通过反例可知不合题意；当、和时，结合可推导得到，由此可得取值集合.(1)不具有性质，理由如下：对于任意实数，，即，不具有性质；具有性质，若，则；的一个取值为（只要满足即可）.(2)由得：，，是以为周期的周期函数；当时，，不等式无解；当时