有限元法考试题

有限元分析考试试题一、问答题1、简述平面应力问题与平面应变问题的区别，并写出平面应力问题和平面应变问题的平衡方程、几何方程及物理方程。答：平面应力问题与平面应变问题的区别：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。平面应力问题的平衡方程：b=0T=C=0£。0平面应力问题的几何方程：亲dv—>竺+空dydx平面应力问题的物理方程：r\£x1一1*0一r、bx\££y1xy)卜=一一四01002(1+R)1b\TyIxy)平面应变问题的平衡方程：T=T=0b。0£=0平面应变问题的几何方程:{£}={£}=8X:」」xydx8vdu8v

—+—

dydx平面应变问题的物理方程:bx E(1bx E(1-^)b>= y (1+日)(1-2日)Txy1日1—日0日1—日10001—2目

2(1—R)8x58C88txy)2、以三节点三角形单元为例，简述用虚功原理求解三角形单元刚度矩阵的具体步骤。答：(1)设定位移函数；利用几何方程由位移函数求应变；利用广义虎克定律求出单元应力方程；⑷由虚功原理求单元刚度矩阵。二、计算题1、正方形板如图1所示，边长为a，厚度为t，弹性模量为E，泊松比为0.15，节点1作用集中力F，节点2、3、4固定，若采用图示坐标系统和单元节点结构，求各节点位移和应力。图1解：单元的节点编号如下:单元节点号ijm11342421单元1的节点坐标为：i(0,a);j(0,0);m(a,0)a=0,a=a2,a=0;b=0,b=-a,b=a;c=a,c=-a,c=0i j m i j m i j m由此可计算出单元!的刚度矩阵火]A卫0- - 0 一2、2 2 20 1或 T旦0I-旦 3—旦 1+^ 1 1—旦c H 1[k"W^ 2 2 2 2 -2(1-旦2) 1—旦 1+旦 3—旦 1—旦— -1 -H—2 22 20 * -1 或1 0卫0-»- 0 1zh_2 2 2 2 _单元B的节点坐标为：i(0,a)；j(0,0)；m(a,0)a=a2,a=-a2,a=a2;b=0,b=a,b=-a;c=-a,c=a,c=0i j m i j m i j m由此可计算出单元A的刚度矩阵[KI1—|LX01—h— 1—h— 01—H222201-H-1H01-日—H3—H1+H—11-H[k2—2222(1-日2)1-日-11+h3—H—H1-H22220-H-1-H1001—H— 1—H— 0L2222J由A、B单元的刚度矩阵可写出整体刚度矩阵[K]

3-目0-1日-1日-10日+1222203-目日-1日-1-曰-1日+102222-1日-13-四日+100日-1-曰2222-四日-1日+13-四00日-1-12222日-1-100日+13-四-P日-12222日-1-100日+13-四日-122220日+1日-1日-1-1小3-四02222日+10-P-1日-1日-103-四[K]=点3—日2000000003—日2000000001000000001000000001000000001000000001000000001采用主对角线元素为〃1〃的方法Et2（1-日2）「"]1「0-VP1000—0000000_0__0_nui=0,V14（1—四2）P

（3-^）Et32四0-1-P日-12日-120日+1203-四2日-12日-12-P-1日+120-1日-123-四2日+1200日-12-PEt-四日-12日+123-四200日-12-12（1-日2）2-100日+123-四2日-12岬-100日+123-四2日-120日+1日-1日-1-1-P3-四0「"]1「0一V100PRR*R=2y0R03*R0Ry04*RL2y」将"，V带入上式可求的各支座的约束反力IIR_P(p—1)R_P(p—1).R2x3—p，2j 3—p，3x单元内应力{b}=[S]{5}eJLX—3JLX—3氏]-E2(1—p2)Abipbi1—|LX——c2ipcicinb2ibjpbj1—p cpcjcjnb2jbmpbm1—p~Tpcmcmnb2m代A、B单元的相关参数计算其单元内应力单元A{b}=单元A{b}=4pP

(3—p)ta4P(3—p)ta0} 单元B{b}=cib卜JIXJJ002P(p—1)

(3—p)ta2、如图2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为t，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为1N/m2，同时在J方向相应的两顶点处分别承受大小为2N/m且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为E，泊松比v-0。试求（1） 利用对称性，取图（b）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。（2） 设单元结点的局部编号分别为匚j、m，为使每个单元刚度矩阵K。相同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵KeO（3） 计算等效结点荷载。（4） 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。2、解:⑴2m 2m(a)7XX、1N/m2〔m ''、m海、5m1N/m124WT③