2023学年完整公开课版等差数列(一)

第二章数列§2.2

等差数列(一)1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做

数列，这个常数叫做等差数列的

，公差通常用字母d表示.思考1

等差数列{an}的概念可用符号表示为

.思考2

等差数列{an}的单调性与公差d的符号的关系.等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为

数列；若公差d<0，则数列{an}为

数列；若公差d＝0，则数列{an}为常数列.答案等差公差an＋1－an＝d(n∈N*)递增递减

答案等差中项a1＋(n－1)d思考教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？返回答案答案还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*).题型探究重点突破题型一等差数列的概念例1

(1)下列数列中，递增的等差数列有(

)①1,3,5,7,9；②2,0，－2,0，－6,0，…解析答案解析等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列.C解析答案反思与感悟A(1)判断一个数列是不是等差数列，只需看an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数.(2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列{an}的公差d是否大于0.(3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可.反思与感悟

解析答案B(2)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是_____.解析答案即m、n的等差中项为6.6题型二等差数列的通项公式及应用例2

(1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解析答案解设{an}的公差为d.解析答案(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？反思与感悟反思与感悟∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.反思与感悟解析答案跟踪训练2

已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：(1)a3＝5，a7＝13；解设首项为a1，公差为d，则∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.解析答案(2)前三项为a,2a－1,3－a.题型三等差数列的判定与证明解析答案(1)求证：数列{bn}为等差数列；解析答案∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)，∴数列{bn}是等差数列.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.解析答案反思与感悟(2)试问a1a2是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项；

如果不是，请说明理由.解由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，且是第11项.1.判定等差数列的方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法：数列{an}的通项公式an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列.反思与感悟注意：①通项公式法不能作为证明方法.②若an＋1－an为常数，则该常数为等差数列{an}的公差；若an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)成立，则无法确定等差数列{an}的公差.③若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.2.已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力.解析答案跟踪训练3

在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式.证明(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.解由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.解析答案返回对等差数列的定义理解不深刻易错点例4

若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg3n，求证：数列{an}为等差数列.误区警示错解

因为an＝10＋lg3n＝10＋nlg3，所以a1＝10＋lg3，a2＝10＋2lg3，a3＝10＋3lg3，所以a2－a1＝lg3，a3－a2＝lg3，则a2－a1＝a3－a2，故数列{an}为等差数列.错因分析由数列的通项公式求出的a2－a1＝a3－a2仅能确保数列的前三项成等差数列，不能保证数列是等差数列.正解因为an＝10＋lg3n＝10＋nlg3，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg3.所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg3]－(10＋nlg3)＝lg3(n∈N*)，所以数列{an}为等差数列.误区警示误区警示数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的.若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列；但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列.因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件，必须对求出的结果代入验证，以确保满足题设条件.返回当堂检测123451.等差数列{1－3n}，公差d等于(

)A.1 B.3 C.－3 D.n解析∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.C解析答案123452.下列命题：①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；④数列{2n＋1}是等差数列.其中正确命题的序号是(

)A.①② B.①③C.②③④ D.③④解析②③④正确，①中公差为－2.C解析答案解析公差d＝a2－a1＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，123453.在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(

)A.21 B.22 C.23 D.24B解析答案又∵n∈N*，∴n＝22.12345解析答案4.若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有(

)①{|an|}；②{an＋1－an}；③{pan＋q}(p，q为常数)；④{2an＋n}.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析设an＝kn＋b，则an＋1－an＝k，故②为常数列，也是等差数列.pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)，故③为等差数列，2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，故④为等差数列.①未必，如an＝2n－4，则{|an|}的前4项为2,0,2,4，显然{|an|}不是等差数列.C12345解析答案5.下列命题中正确的是(

)A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列解析∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.C课堂小结1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法有(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈