角的平分线的性质“百校联赛”一等奖

12.3角平分线的性质11、在准备好的角上标好字母；A,O,B,。把角AOB对折，使得这个角的两边重合。2、在折痕（即平分线）上任意找一点P。作PD垂直与OA，垂足为D。3、过点P作OB边的垂线PE，垂足为E。做一做问：点D与点E重合吗？由此你可得到什么结论？2

按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC,过点P的垂线段PD、PE，并度量所画PD、PE是否等长？议一议：由此你可得到什么猜想？画一画3同学甲、乙谁的画法是正确的?4角平分线上的点到角的两边的距离相等．议一议：由做一做和画一画你可得到什么猜想？5验证结论已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS).故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，角平分线上的点到这个角的两边距离相等.OCB1A2PDE6能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：PD=PEOC平分∠AOB，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．7到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？议一议8根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：点P在∠AOB的平分线上9这样，我们又可以得到一个结论：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。请同学们自己写出证明过程10同学们思考一下，这节课所学的这两个性质有什么联系吗？11例

已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.ABCPMNABCPMN例

已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、

BC、CA，垂足分别为D、E、FFDEDE∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上

∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即点P到边AB、BC、

CA的距离相等想一想，点P在∠A

的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？12畅谈收获小结:13，1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDE

2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC知识应用14B

思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直15思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路16练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ17练习2：

如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO18知识拓展

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CDBACDE19

1.前面我们学习了角平分线的性质，你能复述吗？它有什么作用？知识回顾2.你能总结画角平分线的方法吗？20

如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）思考S21

我们知道，角的平分线上的点到角的两边距离相等，那么，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？探究

利用三角形全等，可以得到：到角的两边距离相等的点在角的平分线上自己证一证。根据此结论，你知道集贸市场建在何处吗？22ANBCPM知识应用

例如图，△ABC的角的平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？23巩固练习

如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE