广西柳州市铁路一中2018学年高一上学期期末数学试卷

20182018学年广西柳州市铁路一中高一(上)期末数学试卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．TOC\o"1-5"\h\z设集合M={-1,0,2,4},N={0,2,3,4},则MUN等于()A.{0,2}B.{2,4}C.{0,2,4}D.{-1,0,2,3,4}2．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y=xB.y=2C.y=-x3D.y=(£)x函数f(x)=x3+x-8的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)正方体ABCD-A1B1C1D1中AB的中点为M,DD】的中点为N,则异面直线B】M与CN所成的角是()A.0°B.45°C.60°D.90°已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象大致为()17\-.l/./1X如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(A．7．A则该多面体的体积为(A．7．A．16B.等C.32D.若直线I】：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，则m的值为()-2B.-3C.2或-3D.-2或-38在三棱柱ABC-A^C]中,各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB&C的中心，则AD与平面BBxCxC所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+1,若f(8)=15,则f(2)=()A.普B.3C.2D.-1设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x),且当x±1时，f(x)=lnx,则有()A•谱)Vf⑵B•逬)<f⑵VfC.逬)<f中Vf⑵D.设函数f(x)=：；；[][1若互不相等的实数X],x2,x3满足f(xx)TOC\o"1-5"\h\z=f(x2)=f(x3),则xx+x2+x3的取值范围是()A.[4，6]B.(4，6)C.[-1，3]D.(-1，3)12.设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x±0时，f(x)=ex.若对任意的xw[a,a+1]，不等式f(x+a)三f2(x)恒成立，则实数a的最大值是()A.B.C.D.22-34填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分若函数y=(a-1)x-4a_2是幂函数，则实数a的值是.已知两直线I】：(a+1)x-2y+1=0,I?：x+ay-2=0垂直，则a=的定义域为.的定义域为.16.三棱锥S-ABC的顶点都在同一球面上，且SA=AC=SB=BC=2：*，SC=4,则该球的体积为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设直线I的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a^R),若I在两坐标轴上的截距相等，求I的方程.18已知A={x|a+1WxW2a-1|}，B={x|xW3或x>5|}若a=4，求AGB；若AB,求a的取值范围.如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直,底面ABCD是ZABC=60°的菱形，M为PC的中点.求证：PC丄AD；求点D到平面PAM的距离.某机械生产厂家每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(万元)满足r&)=广+4•乃(0<x假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本)；工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？已知函数f(功二^((p,为常数)是定义在(-1,1)上的奇函数，且f⑴二亠求函数f(x)的解析式；判断并用定义证明f(x)在(-1,1)上的单调性；解关于x的不等式f(2x-1)+f(x)VO.已知函数f(x)=x2-mx+m-1.当xe[2,4]时，f(x)±-1恒成立，求实数m的取值范围；是否存在整数a,b(aVb),使得关于x的不等式aWf(x)Wb的解集为{x|aWxWb}?若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由.20182018学年广西柳州市铁路一中高一（上）期末数学

试卷参考答案与试题解析选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合M={-1,0,2,4},N={0,2,3,4},则MUN等于（）A.{0,2}B.{2,4}C.{0,2,4}D.{-1,0,2,3,4}【考点】并集及其运算．【分析】利用并集的定义求解.【解答】解：•・•集合M={-1,0,2,4},N={0,2,3,4},.\MUN={-1,0,2,3,4}.故选：D.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A.y=xB.y=2C.y=-x3D.y=丄)x考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断.【分析】根据函数的奇偶性定义和单调区间判断.【解答】解：y=x斜率为1,在定义域R上是增函数；y=+在（-I0）和（0,+*）上均是减函数，但当xV0时，yV0,当x>0时，y>0,故y=+在定义域上不是减函数.（£）-x=2xH±（2）X,故y=（2）X为非奇非偶函数，故选：C.函数f(x)=x3+x-8的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【考点】二分法的定义．【分析】利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．【解答】解：因为f(1)=1+1-8=-6<0,f(2)=8+2-8=2>0,所以f(1)f(2)<0，所以函数f(x)=x3+x-8的零点所在区间是(1,2)；故选：B．4.正方体ABCD-A1B1C1D1中AB的中点为M,DD±的中点为N,则异面直线B】M与CN所成的角是()A.0°B.45°C.60°D.90°【考点】异面直线及其所成的角.【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线CN平移和直线B1M相交，找到异面直线B1M与CN所成的角，解三角形即可求得结果.在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法.【解答】解：去AA1的中点E,连接EN，BE角B】M于点0,则EN〃BC，且EN=BC・•・四边形BCNE是平行四边形・・.BE〃CNAZBOM就是异面直线B1M与CN所成的角，而Rt^BB1M^Rt^ABE・ZABE=ZBB1M，ZBMB1=ZAEB，・ZBOM=90°.故选D.5.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,C则函数g(C则函数g(x)=ax+b的图象大致为()考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系.【分析】根据题意，易得(x-a)(x-b)=0的两根为a、b,又由函数零点与方程的根的关系，可得f(X)=(x-a)(x-b)的零点就是a、b,观察f(x)=(x-a)(x-b)的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间(-^,-1)与(0,1)上，又由a>b,可得bV-1,OVaVI；根据函数图象变化的规律可得g(x)=aX+b的单调性即与y轴交点的位置,分析选项可得答案.【解答】解：由二次方程的解法易得(x-a)(x-b)=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f(x)=(x-a)(x-b)的零点就是a、

b,即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f(x)=(x-a)(x-b)的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间(-1)与(0,1)上,又由a>b,可得bV-1,OVaVI；在函数g(x)=ax+b可得，由OVaVI可得其是减函数，又由bV-1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．6．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为(A.则该多面体的体积为(A.16B.等C.32D.考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC-A&C]，且△ABC中,AB=4,高为4,AC=BC,AA〔=2,由此能求出该多面体的体积.【解答】解：由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC-A1B1C1，且AABC中,AB=4，高为4,AC=BC,AA]=2,・•・该多面体的体积：V=SABcXAA广专2=16.故选：A.7.若直线I】：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，则m的值为()A.-2B.-3C.2或-3D.-2或-3【考点】两条直线平行的判定.【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值.【解答】解：直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，•：韦〒m解得m_2或-3，故选C.8在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB&C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E,则DE丄底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则ZADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解.【解答】解：如图，取BC中点E,连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE丄平面BB1C1C，故ZADE为AD与平面BBff所成的角.设各棱长为1，则ae_”LDE=£,tanZADE=・・・ZADE=60°.・・・ZADE=60°.9.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+1,若f(8)=15,则f(2)=()A.普B.3C.2D.-1【考点】抽象函数及其应用.【分析】由题意可令x=y=4,求得f(4)；再令x=y=2，即可得到f(2)的值.【解答】解:f(x+y)=f(x)+f(y)+1,且f(8)=15,令x=y=4,可得f(8)=2f(4)+1=15,解得f(4)=7,再令x=y=2,可得f(4)=2f(2)+1=7,解得f(2)=3.故选:B.10.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x),且当x±1时，f(x)=lnx,则有()A.f申B•瑞)⑵VfC.(-|Xf(^-Xf⑵D.f⑵【考点】对数值大小的比较.【分析】由f(2-x)=f(x)得到函数的对称轴为x=1，再由x±1时，f(x)=lnx得到函数的图象，从而得到答案．【解答】解：Tf(2-x)=f(x)・・・函数的对称轴为x=1Tx±1时，f(x)=lnx・••函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C．11•设函数f(x)=:‘‘，若互不相等的实数X],x2，x3满足f(X])=f(x2)=f(X3),则xx+x2+x3的取值范围是()A．[4，6]B．(4，6)C．[-1，3]D．(-1，3)【考点】分段函数的应用．【分析】做出函数f(X)的图象，不妨设xiVx2Vx3，则x2，x3关于直线x=3对称，求出X]的范围，最后结合图象求得xx+x2+x3的取值范围即可.【解答】解：先做出函数f(x)的图象，如图所示：当x±0时，f(x)=|2x-6|=2|x-3|，此时函数关于x=3对称，不妨设xx<x2<x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6,且-2<X]<0,则x1+x2+x3=6+x1，T-2<x1<0，・4<6+x1<6，即xx+x2+x3G(4,6).故选：B<0<0TOC\o"1-5"\h\z-311-1O12i453C/-i_/I-2-ri12.设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x±0时，f(x)=ex.若对任意的xw［a,a+1］，不等式f(x+a)三f2(x)恒成立，则实数a的最大值是()A.B.C.D.22-54【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质.【分析根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为f(|x+a|)±f2(|x|)恒成立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论.【解答】解：Tf(x)是定义在R上的偶函数，・•・不等式f(x+a)三f2(x)恒成立等价为f(|x+a|)三f2(|x|)恒成立，当x±0时，f(x)=ex.・••不等式等价为eix+ai三(eixi)2=e2|x|恒成立，即|x+a|±2|x|在［a,a+1］上恒成立，平方得x2+2ax+a2±4x2,即3x2-2ax-a2<0在［a,a+1］上恒成立，设g(x)=3x2-2ax-a2,gCa)=3a':-2a::-a<0g.(a+l)：=3(a+l)2-2a(a+l)-故实数a的最大值是-鲁.故选：C.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共故实数a的最大值是-鲁.故选：C.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分若函数y=（a-1）x-4a_2是幂函数，则实数a的值是2.【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【分析】根据幂函数的定义求出a的值即可.【解答】解：•・•函数y=（a-1）X-4a-2是幂函数，a-1=1，解得：a=2,故答案为：2．已知两直线I】：（a+1）x-2y+1=0,l2：x+ay-2=0垂直，则a=1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由已知得（a+1）-2a=0，由此能求出a.【解答】解：由两直线垂直可知系数满足（a+1）-2a=0,・・・a=1.故答案为：1．15．函数的定义域为-1，1)考点】函数的定义域及其求法．分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域解答】解：要使函数有意义，则'x+l>0'|-x2-即即-1VxV1,即函数的定义域为（-1，1）故答案为：（-1，1）三棱锥S-ABC的顶点都在同一球面上，且SA=AC=SB=BC=2•.込,SC=4,则该球的体积为—年冗_•【考点】球的体积和表面积．【分析】通过已知条件，判断SC为球的直径，求出球的半径，即可求解球的体积．【解答】解：由题意，SA=AC=SB=BC=2•.迁,SC=4,所以AC2+SA2=SC2，BC2+SB2=SC2，SC是两个截面圆SAC与SCB的直径，所以SC是球的直径，球的半径为2,所以球的体积为专兀・沪二乎开.故答案为：警丸.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设直线丨的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a^R),若丨在两坐标轴上的截距相等，求l的方程.【考点】直线的一般式方程．【分析】分别令x,y等于0,代入已知方程可得两截距，由题意可得a的方程,解a值可得答案．【解答】解：令x=0可得y=a-2,即直线在y轴的截距为a-2,•••I在两坐标轴上的截距相等，.爲+1工0・••令y=0可得x=±t^,・・・a-2=—^，解得a=2或a=0・l的方程为：3x+y=0或x+y+2=018已知A={x|a+lWxW2a-1|},B={x|xW3或x>5|}若a=4,求AGB；若AB,求a的取值范围.【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．【分析(1)将a=4代入求集合A,然后求AGB；(2)注意讨论A是否是空集.【解答】解：(1)当a=4时，A={x|5WxW7},

•/B={x|xW3或x>5},・・・AGB={x|5VxW7}.(2)①若2a-1<a+1即aV2时，A=0，满足AcB.②若2a-1±a+1即a±2时,只须pa-1<3a>2-只须pa-1<3a>2-'a+l>5

a>-2-解得a>4.综上所述,a的取值范围为{a|a<2或a>4}.如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直,底面ABCD是ZABC=60°的菱形，M为PC的中点.求证：PC丄AD；求点D到平面PAM的距离．考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．【分析】(1)取AD中点0，由题意可证AD丄平面POC，可证PC丄AD；(2)点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证P0为三棱锥P-ACD的体高•设点D到平面PAC的距离为h,由VDPAc=VPACD可得h的方程，解方程可得．【解答】解：(1)取AD中点0，连结OP,0C，AC，依题意可知△PAD，^ACD均为正三角形，・・・0C丄AD，0P丄AD，又OCAOP=O，OCu平面POC，OPu平面POC，・・・AD丄平面POC，又PCu平面POC，・・PC丄AD.(2)点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由(1)可知P0丄AD，又平面PAD丄平面ABCD，

平面PADG平面ABCD=AD,PO平面PAD,・・・P0丄平面ABCD，即PO为三棱锥P-ACD的体高.在RtAPOC中，印二00..运，PC二左,在△PAC中，PA=AC=2,PC二壬，边PC上的高AM=.PA'；-PIT—•••△PAC的面积見匕设点D到平面PAC的距离为h，由VD-Pac=VP-Acd得y^AFAC陆辺吨又’•护解得h上型，•：点D到平面PAM的距离为仝也.某机械生产厂家每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(万元)满足R(x)』一°・E+心(灼<5)I11(x>5：假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本)；工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析(I)根据利润=销售收入-总成本，可得利润函数y=f(x)的解析式；(II)利用(I)中函数解析式，分段求最值，即可得出结论.【解答】解：(I)由题意得G(x)=2.8+x...2

・°・f・°・f(x)=R(x)G(x)…6分(II)当x>5时，：•函数f(x)递减,.*.f(x)Vf(5)=3.2(万元)....8分当0WxW5时，函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6当x=4时，f(x)有最大值为3.6(万元)..11分・当工厂生产400台时,可使赢利最大为3.6万元..12分21.已知函数f(x)=(p,q为常数)是定义在(-1,1)上的奇函数，且21.已知函数f(x)=求函数f(x)的解析式；判断并用定义证明f(x)在(-1,1)上的单调性；解关于x的不等式f(2x-1)+f(x)V0.【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．rf(0)=0【分析】(i)依题意，，，解得p=1,q=o,可得函数的解析式.利用函数的单调性的定义证明函数f(x)在(-1,1)上单调递增.原不等式可化为f(2x-1)Vf(-x),根据函数f(x)在定义域(-1,-l<2x-1<11)上单调递增，可得<-K；x<l，由此求得x的范围.■2x-1<-xrf(0)=0【解答】解：(I)依题意，'⑴丄，解得p=1,q=o,所以f⑴二詬(II)函数f(X)在(-1,1)上单调递增，证明如下：任取-1VX]Vx2V1,则x1-x2V0,-1Vx1x2V1,从而f(X])-f(x2)=—Zx；_“'■(1_X]藍?)■(x^+ib仗r+lj所以f(x/Vf(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增.(III)原不等式可化为：f(2x-1)V-f(x),即f(2x-1)Vf(-x),-l<2x-1<1由(II)可得，函数f(x)在(-1,1)上单调递增，所