八年级数学上册知识讲解及巩固练习：直角三角形（提高）巩固练习

PAGE【巩固练习】一、选择题1.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF=S△ABC，其中成立的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2=（）A．60° B．75° C．90° D．105°3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．74.（2016春•保定期末）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（）A．2 B．3 C．4 D．55．如图所示：CE，BF是△ABC的两条高，M是BC的中点，连ME，MF，∠BAC=50°，则∠EMF的大小是（）A．50° B．60° C．70° D．80°6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，若∠B与∠C互余，则MN与BC-AD的关系是（）A．2MN＜BC-AD B．2MN＞BC-AD C．2MN=BC-AD D．MN=2（BC-AD）二、填空题7.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_______度．8.如图所示，BD⊥AC于点D，DE∥AB，EF⊥AC于点F，若BD平分∠ABC，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是______________.9.（2016春•蓝田县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，若BD=20，则AC的长是．10.Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为_______________________．11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于__________°．12.如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答题13.证明：直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半．14.已知∠MAN，AC平分∠MAN．

（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；

（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

15.已知：如图，在△ABC中，AD、BE是高，F是AB的中点，FG⊥DE，点G是垂足．求证：点G是DE的中点．【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∴①正确；

∠B=∠PAC=45°∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPA+∠APF=90°

∴∠BPE=∠APF，又AP为公共边，

∴△PBE≌△PAF，∴BE=AF，又AB=AC，∴AE=CF，∴②正确；

②中，△PBE≌△PAF，∴PE=PF，∴③正确，

∵△PFC≌△PEA，△PBE≌△PAF，∴④也正确

所以①②③④都正确，故选A．2.【答案】C;【解析】如图所示：

∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∴此三角形是直角三角形，

∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．

故选C．3.【答案】D;【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；

∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，

∴AB=6，

∴AP的长不能大于6．

故选D．4.【答案】C；【解析】作PH⊥MN于H，如图，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=×10=5，∴OM=OH﹣MH=5﹣1=4．5.【答案】D；【解析】解：∵CE是△ABC的两条高，∴∠BEC=90°，∵M是BC的中点，∴EM=BM=BC，∴∠MEB=∠EBM，∴∠EMB=180°﹣∠MEB﹣∠EBM=180°﹣2∠EBM，同理∠FMC=180°﹣2∠FCM，∵∠BAC=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=130°，∴∠EMB+∠FMC=180°﹣2∠EBM+180°﹣2∠FCM=360°﹣2（∠EBM+∠FCM）=100°，∴∠EMF=180°﹣（∠EMB+∠FMC）=80°．故选D．6.【答案】C；【解析】解：延长BA、CD，两延长线相交于点P，

连接PM、PN，

∵∠B+∠C=90°

∴∠P=90°

∵AD∥BC

∴∠PAD=∠B，

而M，N分别是AD，BC的中点

∴AM=MP，BN=PN

∴∠B=∠BPN，∠PAD=∠APM

∴∠APM=∠BPN

∴P、M、N三点共线

∵M是AD的中点，∠P=90°

∴PM=AD

同理：PN=BC

∵PN-PM=（BC-AD）

∴MN=（BC-AD）

∴2MN=BC-AD．

故选C．二.填空题7.【答案】90；【解析】解：如图，连接两交点，

根据矩形两边平行，得

∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

又矩形的角等于90°，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=180°-90°=90°；8.【答案】4；【解析】解：如图，∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴与∠CEF相等的角有∠1、∠2、∠3、∠4共4个．故答案为：4；9.【答案】30【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABC=30°，∴∠ABC=∠A，∴AD=BD=20，即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴DC=BD=10cm，∴AC=AD+DC=30，故答案为：30．10.【答案】；【解析】解：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴BC=AB，BD=BC，CD=AC，∴BC+BD+CD=（AB+BC+AC），则，∴△BCD与△ABC的周长之比为:，故答案为:.11.【答案】60；【解析】解：由直角三角形性质知，

∵E为AB之中点，

∴CE=AE=BE，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，

∴∠ACF=70°，

又∵AD=DB，

∴∠B=∠BAD=20°，

∴∠FAC=50°，

∴在△ACF中，

∠AFC=180°-70°-50°=60°，

∴∠DFE=∠AFC=60°．

故答案为：60.12.【答案】270°；【解析】∠1＋∠6＝∠2＋∠5＝∠3＋∠4＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝270°.三.解答题13.【解析】已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=30°，求证：BC=AB．证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠B=90°﹣30°=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∴BC=AB．14.【解析】（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠CAD=∠CAB=60°．又∠ABC=∠ADC=90°，∴AD=AC，AB=AC，∴AB+AD=AC．（2）解：结论仍成立．理由如下：作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°，∵AC平分∠MAN，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE=BF．∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE=AC，AF=AC，则