2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高一年级下册学期6月期末数学试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高一下学期6月期末数学试题一、单选题1．为虚数单位，已知复数是纯虚数，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据纯虚数的定义，实部为，虚部不为，列方程组求解.【详解】复数是纯虚数，所以，得.故选：C.2．已知向量，的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则（

）

A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根据图建立直角坐标系可得的坐标，然后根据向量的加法与模公式求解即可.【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则，，，

所以．故选：D．3．下列说法不正确的是（

）A．改变样本数据中的一个数据，平均数和中位数都会发生改变B．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数C．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等D．数据、、、、、的众数为、【答案】A【分析】利用举例的方法可判断A选项；利用频率分布直方图的特征可判断B选项；利用中位数的性质可判断C选项；利用众数的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，改变样本中的一个数据，则其平均数会改变，但中位数不一定改变，如样本数据为、、、，则其平均数为，在其中一个数据上加上一个非零实数，则平均数变为，即改变样本中的一个数据，则其平均数会改变，又如，数据、、，将变为，即为数据、、，变化前后中位数都为，数据、、，将变为，即为数据、、，变化前的中位数为，变化后的中位数为，A错；对于B选项，根据频率分布直方图可知，若频率分布直方图单峰不对称在右边“拖尾”，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，B对；对于C选项，根据中位数的定义可知，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，C对；对于D选项，由众数的定义可知，数据、、、、、的众数为、，D对.故选：A.4．某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（

）A．至少一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶【答案】B【分析】直接利用对立事件的定义判断即可.【详解】由已知条件得∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，故选：.5．某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：

下列说法正确的是（

）A．产品升级后，产品A的营收是升级前的2倍B．产品升级后，产品B的营收不变C．产品升级后，产品C的营收减少D．产品升级后，产品B，D的营收的总和占总营收的比例不变【答案】D【分析】根据企业改造升级前后的四种产品的营收占比图，分别计算各选项中的数据，即可判断答案.【详解】不妨设产品升级升级前企业营收为1，则升级后企业营收为2，故产品A升级前营收为，升级后营收为，即产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍，A错误；产品B升级前营收为，升级后营收为，即产品升级后，产品A的营收是升级前的2倍，B错误；产品C升级前营收为，升级后营收为，即产品升级后，产品A的营收是升级前的倍，营收增加，C错误；产品升级前，产品B，D的营收的总和占总营收的，产品升级后，产品B，D的营收的总和也占总营收的，故产品升级后，产品B，D的营收的总和占总营收的比例不变，D正确，故选：D6．设、为两个互斥事件，且，，则下列各式错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对A，B，D根据已知条件，结合互斥的概念，即可判断，对C，根据必然事件的概率即可判断.【详解】解：对A，B，、为两个互斥事件，且，，，即，故A正确，B错误；对C，为必然事件，即，故C正确；对D，、为两个互斥事件，.故选：B.7．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（

）第1行

78

16

62

32

08

02

62

42

62

52

53

69

97

28

01

98第2行

32

04

92

34

49

35

82

00

36

23

48

69

69

38

74

81A．19 B．25 C．26 D．24【答案】B【分析】根据给定条件，利用随机数表法按照要求依次选取即可作答.【详解】依题意，按照要求选取的个体编号依次为：23，20，26，24，25，19，所以选出来的第5个个体的编号为25.故选：B8．若直线不平行于平面，且，则A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交【答案】B【详解】试题分析：根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故A，C，D错误故选B．【解析】平面的基本性质及推论．二、多选题9．设向量，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．在上的投影向量为【答案】ACD【分析】根据向量坐标运算，可求得的坐标，结合向量模的计算，可判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；根据向量垂直的坐标表示判断C；根据向量的投影向量的定义可求出在上的投影向量判断D.【详解】由题意可知，，故，A正确；因为，故不平行，B错误；因为，故，C正确；由于，，故在上的投影向量为，D正确，故选：ACD10．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（

）

A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75C．估计成绩不低于90分的有50人 D．估计这组数据的第85百分位数为86【答案】ABCD【分析】根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1可判断A；根据众数的估计方法可判断B；根据频数的计算可判断C；根据百分位数的估计方法可判断D.【详解】对于A，根据频率分布直方图可得，A正确；对于B，由于最高的小矩形得底边中点处的值为75，故估计这组数据的众数为75，B正确；对于C，估计成绩不低于90分的有（人），C正确；对于D，由于，，故设这组数据的第85百分位数为x，则，故，D正确，故选：ABCD11．在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7.现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则下列说法正确的是（

）A．事件C与事件D互斥 B．事件A与事件B相互独立C． D．【答案】BCD【分析】根据互斥事件的概念可判断A；根据古典概行的概率计算求出，可判断C；利用独立事件的乘法公式可判断B；利用古典概型的概率计算可判断D.【详解】对于A，事件C与事件D都包含事件，故事件C与事件D不互斥，A错误；对于B，由于从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，共有种可能，故，而，即有，故事件A与事件B相互独立，B正确；由B的分析可知，，C正确；对于D，两个小球标号都是奇数的情况有种，故，D正确，故选：BCD12．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（

）A．平面平面B．平面C．异面直线与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积不变【答案】ABD【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面平面，从而得以判断；对于C，利用线线平行将异面直线与所成角转化为与所成的角，从而在等边中即可求得该角的范围，由此判断即可；对于D，先利用线线平行得到点到面平面的距离不变，再利用等体积法即可判断.【详解】对于A，连接，如图，因为在正方体中，平面，又平面，所以，因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为与为平面内两条相交直线，可得平面，又平面，从而平面平面，故A正确；.

对于B，连接，，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；所以与所成角的范围是，故C错误；对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，所以三棱锥的体积不变，故D正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.三、填空题13．在某次测试中得到的样本数据如下：68，83，81，81，86，90，88.若样本数据恰好是样本数据每个都减5后得到的数据，则样本的下列数字特征对应相同的是（填序号）.①平均数

②标准差

③众数

④中位数

⑤极差【答案】②⑤【分析】先求出样本，然后结合标准差的性质分别计算和找出样本的平均数、标准差、众数、中位数、极差即可.【详解】由题意知样本的数据为：，所以样本数据的极差为：，样本数据的极差为：，故⑤正确；样本数据的众数为：，样本数据的众数为：，故③不正确；样本数据的平均数为：，样本数据的平均数为：，故①不正确；设样本数据为：，标准差为，则样本数据为：，由数据的标准差性质可得：，故②正确；对样本从小到大排序：，故中位数为：，对样本从小到大排序：，故中位数为：，所以④不正确，故答案为：②⑤.14．在复数范围内方程的根.【答案】i或【分析】由得到答案.【详解】，由，故复数范围内方程的根为i或.故答案为：i或15．若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为.【答案】【分析】求出圆锥的底面半径，得到圆锥的底面周长，从而得到扇形的半径，利用扇形面积公式求出圆锥的侧面积，求出圆锥的表面积.【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得，所以圆锥的底面周长为，故侧面展开图，即扇形的弧长为，又侧面展开图是圆心角为的扇形，所以扇形的半径，故扇形面积为，故圆锥的表面积为.故答案为：16．、两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“元件正常”，用、分别表示、两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以表示元件正常，表示元件失效.下列说法正确的是.①样本空间；②事件；③事件“电路是断路”可以用（或）表示；④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含个样本点.

【答案】①②【分析】列举出所有的基本事件，可判断①；列举出事件包含的基本事件，可判断②；分析事件“电路是断路”，然后用事件加以表示，可判断③；分析事件“电路是通路”，然后用事件加以表示，可判断④.【详解】对于①，样本空间，①对；对于②，事件包含两种情况，元件不正常且元件正常，元件正常且元件正常，故事件，②对；对于③，“电路是断路”，说明元件和元件至少有一个不正常，即事件“电路是断路”可以用（或）表示，③错；对于④，“电路是通路”，说明两个元件都正常，所以，事件“电路是通路”可以用（或）表示，④错.故答案为：①②.四、解答题17．已知复数z满足.(1)求z；(2)判定在复平面内对应点所在的象限.【答案】(1)(2)在复平面内对应点在第一象限【分析】（1）根据复数的模的知识求得正确答案.（2）根据共轭复数、复数除法、乘法的知识求得，进而求得对应点所在的象限.【详解】（1）由得，所以.（2），所以在复平面内对应点在第一象限.18．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

(1)请用、表示向量；(2)设和的夹角为，若，且，求证：.【答案】(1).(2)证明见解析.【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得.（2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得.【详解】（1）.（2），，.19．一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个.（1）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.【答案】（1）；（2）【分析】（1）（2）设黑色球记为、，白色球记为，用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：（1）设黑色球记为、，白色球记为，摸出两球颜色恰好相同，有，即两个黑球或两个白球，共有4种可能情况.基本事件有，共有10种情况，故所求事件概率.（2）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”.故基本事件包括：，，，，共有25种情况，颜色不同包括：，共12种情况，故所求事件的概率.20．在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.【详解】（1）由余弦定理可得：，则，，.（2）由三角形面积公式可得，则.21．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对该市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分为5组，其中第一组为，第二组为，第三组为，第四组为，第五组为，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄.(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.若第四组宣传志愿者年龄的平均数与方差为37和，第五组宣传志愿者年龄的平均数与方差为43和1，