大学物理上海交通大学章课后习题答案

00习题1414-1•如图所示的弓形线框中通有电流I,求圆心°处的磁感应强度B。解：圆弧在14-1•如图所示的弓形线框中通有电流I,求圆心°处的磁感应强度B。解：圆弧在O点的磁感应强度:I06R，方向："；B直导线在°点的磁感应强度：2I0Rcos60o[sin600sin(600)]<3I02R，方向:B丄遇1)・••总场强：2R3,方向。14-2B丄遇1)・••总场强：2R3,方向。14-2•如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心°广°2相距为a,在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。以。^连线的中点°为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；试证明：当aR时，°点处的磁场最为均匀。BIR2解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场,有公式：972(R2Z2)32。BP1(1)左线圈在x处P点产生的磁感应强度：IR2■92[R2(2x)2]32BP2右线圈在x处P点产生的磁感应强度：BBP1和P2方向一致，均沿轴线水平向右，IR2—0[RBP2右线圈在x处P点产生的磁感应强度：BBP1和P2方向一致，均沿轴线水平向右，IR2—0[R222[R2IR2o(2X)2]322・・・P点磁感应强度：bp(xBBP1P2dB变化率％dx,若此变化率在x肿2[R2(xa)2]32⑵因为bp随x变化，磁场最为均匀，下面讨论°点附近磁感应强度随x变化情况，即对冷的各阶导数进行讨论。对B求一阶导数：dB710处的变化最缓慢B则°点处的3IR202(x2)R2(x冲(x2)R2(x2)2]2dB0时,dx，可见在°点，磁感应强度B有极值。对B求二阶导数:d(dB)d2Bdxdxdx2

5(x+—)2i5(x-—)2乙+乙[R2+(x+-)—]t[R2+(x+-)—]t[R2+(x-£)2]：[R2+(X--)2]—2222丿当x=0时,d2Bdx2x=0a2—R2[R2当x=0时,d2Bdx2x=0a2—R2[R2+(—)2]—攀〉0可见，当a>R时，dx2x=0,0点的磁感应强度B有极小值,攀<0当aVR时，dx2x=0,0点的磁感应强度B有极大值,器=0当a=R时，dx2x=0，说明磁感应强度B在0点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】解:14-3.无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy

平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时°点的磁感应强度。JB-dl=卩・・・a段对0点的磁感应强度可用s卩IB=-^^/a4兀Ro有：b段的延长线过°点，Bb=0B则：0点的总场强：Oc段产生的磁感应强度为口I口I0j+—k4兀R4R，方向如图。14-4.如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I,求球心0的磁感强度。解：从0点引出一根半径线，与水平方向呈0角，则有水平投影：x=Rcos0，圆环半径：r=Rsin0，取微元dl=Rd0，二2NId0兀，dI有环形电流：卩IR2=0—利用：B2(R2+x2)32，有：卩r2dI卩NIR2sin20d0hNIsin20d0=0=0=0_dB2(r2+x2)32dB2(r2+x2)32兀(R2sin20+R2cos20)32・・・B二竺J；sin2ede二竺de=叠兀R0兀R・・・B二竺J；sin2ede二竺de=叠兀R0兀R024R14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔(如图所示)，空腔与导体的两轴线间距为a，若导体内的电流密度均匀为j，j的方向平行于轴线。求腔内任意点的平行磁感应强度B。解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了士j的电流，那么,以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路厂利用JB-dl=丛乙I2兀R-B二卩j兀R2s0，有：1I卩jB二上xR・12,同理，述是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路:卩jxr2-»4丄Ii“心2兀了・B=卩(-j)兀r220，有：由图示可知：R+(—r)=a_巴j»那么B=B+B=寸xR那么，12214-6•在半径R=1cm的无限长半圆柱形金属片中，有电流1=5A自示。试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强度的大小。」解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl二Rde的长直电流，dldedI二一二—JB•dl=卩乙I有：兀R兀，利用s°。卩dl卩IdedB=―°=°在P点处的磁感应强度为：2兀R2兀2RUIMF—ILUOdB二dBsine二°—sinedex2兀2R，而因为对称性,B=B=JdB=°J兀sinede二卩°(=6.37x1°_5T那么，xx2兀2R°兀2R。14-7・如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小(°<r5)。JB・dl=卩工I解：利用安培环路定理s°分段讨论。B•2兀r=卩吆1(1)当0<r-R1时，有：IERB¥・・・12兀R；002）时，有：卩I0—2兀2）时，有：卩I0—2兀r3）时，有：兀r2一兀R2B•2兀r二卩(I-二I)30兀R2—兀R232卩IR2—r2B=―o—•^―32兀rR2—R232；r>R(4)当3时，有:卩Ir0—2兀R21

B•2兀r二卩(I—I)40(0vr<R)1(R<r<R)12则:pIR2一r20•3—2兀rR2—R2320(R<r<R)23(r>R)314-8•一橡皮传输带以速度卩匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为c。（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B的大小；（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v及它所产生的磁场B和电场E之间满足下述关系:1c=:（式中严0叫）。解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda，考虑到橡皮带上等效电流密度为：'v，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据安培环路定理有：JB•dl=p0Li_b•2L=pLGvabed0R-◎磁感应强度B的大小:（2）非相对论情形下：0pGV

B二一2匀速运动的点电荷产生的磁场为:E=4兀80q2点电荷产生的电场为—VxE=8pVx・c20014K8B二—vxE即为结论：C2_二p3LrdrI二JRp3Lrdr二-p3二p3LrdrI二JRp3Lrdr二-p3L(R2-r2)r2LbrdC.：■：：：＞!，距离有:，试求两导体中部真空部分d•O2d丄lx兀r2_0S?二加r214-9•一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为P，半径为R。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为3,求：（1）圆柱体内距轴线r处的磁感应强度的大小；（2）两端面中心的磁感应强度的大小。解：（1）考察圆柱体内距轴线r处到半径R的圆环等效电流。dq—p-2兀rLdrdI——…tT选环路abcd如图所示，JB•dl由安培环路定理：SB•L—X丄p®L（R2一r2）有：02）B-四（R二r2）-2••（2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强Xp®R2B——o度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：端面中心14-10•如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流/，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为S，两圆柱轴线间的距离O1O2=d的磁感应强度。解：因为一个阴影的横截面积为S，那么面电流密度为：i=I/S，利用补偿法，将真空部分看成通有电流土'，设其中一个阴影在真空部分某点P处产生的磁场为B1为r1，另一个为B2、r2,利用安培环路定理可得：X兀r2■■Ir0S1XIrB-=―0SL—0」1TOC\o"1-5"\h\z12兀r2S1XIrB—~JrB12S1丄2则：12S1丄，2xIB=B+B=—(rr+rr)=122S11丄22丄xIdB=——即空腔处磁感应强度大小为空S，方向向上。b14-11•无限长直线电流'i与直线电流爲共面，几何位置如图所示,试求直线电流12受到电流11磁场的作用力。b此电流元到长直线的距离为x，无限长直线电流71解：在直线电流12上任意取一个小电流元1此电流元到长直线的距离为x，无限长直线电流71在小电流元处产生的磁感应强度为卩IB=0-i®2兀x再利用dF=IBdl再利用dF=IBdld-，考虑到cos6°0，有:dF=卩IIdx012.-2兀xcos60o卩IIdx012•2兀xcos60o14-12.在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为B=5.5x10-5丁，问：（1）电子束将偏向什么方向（2）电子的加速度是多少（3）电子束在显象管内在南北方向上通过20cm时将偏转多远电子束方向B解：（1）根据f=qvxB电子束方向B，有：v=r」a=qVB=空，有：v=r」a=qVB=空:2E/=6.28x10—4m-s・mmm（2）利用2而f=qvB=ma，y=—at2=1a(L)2=3mm(3)22v14-13.一半径为R的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的长直导线的电流I等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。i=解：设半圆柱面导体的线电流分布为兀R，14-13.一半径为R的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的长直导线的电流I等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。i=解：设半圆柱面导体的线电流分布为兀R，如图，由安培环路定理，「电流在0点处产生的磁感应强度为:卩i八dB=—-Rd02兀RB可求得：O又・・dF=IdlxB=JdB=匕竺J兀sin0-d0=±^12兀R0兀2RII

0^2dl

兀2R，JdF」厂11f==012dl一兀2R击I=I有：，而12，dF»12=0dl兀2RdF二BIdl二卩故02所以：14-14.如图14-55所示，一个带有电荷4（q>0）的粒子,解：由安培环路定律'1B•dl二"0电流1在q处产生的磁感应强度为:知：卩解：由安培环路定律'1B•dl二"0电流1在q处产生的磁感应强度为:知：卩IB=2兀d，方向®；qvUIF=qvB=a-大小：洛2兀d运动电荷q受到的洛仑兹力方向向左，同时由于导线带有线电荷密度为九，在q处产生的电场强度可用高斯定律求得为:九q九TOC\o"1-5"\h\zE=F=—2册od，q受到的静电场力方向向右，大小：电2ksod；欲使粒子保持在一条与导线距离为d的平行线，需卩洛=F电，qv卩Iq九九0=v=即：2兀d2k£d卩£I即：0，可得00。14-15.截面积为S、密度为P的铜导线被弯成正方形的三边,'.可以绕水平轴00’转动，如图14-53所示。导线放在方向竖廿逸:!\直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，导线离开原来'的竖直位置偏转一个角度°而平衡，求磁感应强度。解：设正方形的边长为a，质量为m，m=PaS。平衡时重力矩等于磁力矩：由M由M=Pm%B，磁力矩的大小:M=BIa2sin（90。-0）=BIa2cos0M-mgasin0+M-mgasin0+2mg-asin0=2mgasin0重力矩为：2nnB-池tan0-沁tan0平衡时：BIa2cos0-2mgasin0.IaI11KKKXIKK14-16.有一个U形导线，质量为m，两端浸没在水银槽中,导线水平部分的长度为1，处在磁感应强度大小为B的均匀磁场中，如图所示。当接通电源时，U导线就会从水银槽中跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略，试由导线跳起所达到的高度h计算电流脉冲的电荷量q。m冬-BIlI-包解：接通电流时有F-BI1=dt，而dt，则：mdv-Bldq，积分有q-Jv则：mdv-Bldq，积分有q-Jv—dv-

oBlmv莎又由机械能守恒：2mv2-mghmv

q——BlBl14-17•半径为R的半圆形闭合线圈，载有电流1，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。求：（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置I兀R2（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置I兀R2解：（1）线圈的磁矩为：Pm二ISn2，由"=pm%B，此时线圈所受力矩的大小为：兀1M=pBsin=—兀R2IB-m22」；」磁力矩的方向由Pm%B确定，为垂直于B的方向向上，如图；（2）线圈旋转时，磁力矩作功为：1兀21A=/A①=I（①-①）=I（B•2兀R2-°）=厂m2m1m。A=\Mde=卜2-兀R2IBsin0d0=-兀R2IB【或：°22则力矩做功为多少思考题-14-1•在图（°）和（b）中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周内有电流11、12，其分布相同，且均在真空中，但在（b）图中L2回路外有电流I3，P1、P2为两圆形回路上的对应点，则：itl^L.t何14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系（x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心0）(A)JB-dl=JB-dl,B=B(B)JB-dlhitl^L.t何14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系（x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心0）B二答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度卩IR20-2(RB二答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度卩IR20-2(R2+X2)32B=忖・•・x=0时，2