基于反步式反步自适应鲁棒伺服电机的设计

基于反步式反步自适应鲁棒伺服电机的设计

服务系统传输连接的几个非线性因素是限制控制系统性能的主要因素。其中,齿隙非线性作为一种动态非线性特性往往会严重影响系统的动态性能。如果不能抑制由齿隙所产生的影响,不仅会增大系统的输出误差,甚至还会产生失稳等其它严重后果。由于齿隙不可微的特点,使得对齿隙的补偿尤为困难,这增加了系统的控制难度。对齿隙非线性的研究具有重要的理论意义和工程价值。近年来,伺服系统齿隙非线性得到了广泛研究。文献提出了一种电消齿隙方案和多种偏置电压的调整方案;文献提出了一种连续可微的近似死区模型,并设计了一种自适应控制方案;文献设计了二阶滑模观测器补偿齿隙对系统的影响;文献基于齿隙死区模型设计了反步自适应控制器,并对系统参数进行了在线估计;文献针对具有对称输入齿隙的一类非线性系统,将齿隙非线性等价线性化处理,设计了一种自适应控制器,保证控制系统信号有界且跟踪误差可以在任意精度内。由于偏置力矩可以保证同一时间至少一组驱动子系统与从动子系统保持接触,消除了系统在齿隙阶段的不可控性,本文以具有齿隙的双电机同步联动伺服系统作为研究对象,施加偏置力矩,利用反步设计法,逐步建立Lyapunov函数,设计了基于反步法的自适应鲁棒控制,在存在参数不确定性的情况下实现系统信号有界且跟踪误差可以保证在期望范围内。1齿隙非线性的动力学模型双电机联动伺服系统结构如图1所示。图1中O0为从动子系统,O1和O2为两个驱动子系统。系统的动力学方程可以表示为式中:i=1,2;θmi、6)θmi、Jmi分别表示第i组驱动子系统的角位移、角速度、转动惯量;θd表示从动子系统的角位移;T为系统的输入转矩;im为主从子系统之间的传动比;Mi为从动子系统对第i组驱动子系统产生的作用力矩;Tw表示加在系统输入端的偏置力矩。受齿隙非线性的影响,Mi可以表示为式中:k为主、从动子系统结合处的刚度系数,fi(zi)为第i组驱动子系统齿隙非线性的死区函数,如图2所示。由于齿隙的非平滑特性,针对齿隙的死区模型Mi,如图3所示。式中:zi=θmi-imθd,为第i组驱动子系统与从动子系统的相对角度差,2αi为第i组驱动子系统与从动子系统的之间的齿隙宽度。式中:Mi0为通过柔性连接的线性传递力矩ΔMi为通过干扰和非线性传递力矩显然ΔMi满足证明略。定义系统的状态变量则可得系统状态空间方程为2多输入系统设计本自适应鲁棒控制器的设计目的是使得整个控制系统的输出y高精度跟踪期望输出yd。不难发现系统模型式(8)满足半严格反馈的形式,因此可使用反步设计法设计控制器。为了方便控制器的设计,对式(8)做如下合理假设:假设1系统状态变量θmi、6)θmi、θd和6)θd均可测,期望位置输出yd已知且n阶(n至少为4)可导且导数有界。假设2系统参数Jmi、Jd、bmi、bd、k、αi、im未知,但界已知。0<Jmimin≤Jmi≤Jmimax,0<Jdmin≤Jd≤Jdmax,0<bmimin≤bmi≤bmimax,0<bdmin≤bd≤bdmax,0<kmin≤k≤kmax,0<imin≤im≤imax,0<αimin≤αi≤αimax。本文采用光滑投影算法对上述系统参数进行估计。对参数估计向量v=[^v1…^vp],定义光滑投影映射Proj:Rp→Rp式中:Proji(^vi)满足2个条件,如图4所示。基于反步法的自适应鲁棒控制器设计步骤如下:(1)定义从动系统实际输出与期望输出误差为选取Lyapunov函数对式(11)求导选取x2作为虚拟控制量,定义u2为其期望值,则误差变量根据式(12),选择合适的式中:k1>0。将式(13)、(14)代入式(12),则(2)选取增广Lyapunov函数对式(16)求导可得式中:不难看出,此步为多输入单输出系统。将x31+x32整体作为此步的虚拟输入,令虚拟输入的期望值为u3,定义误差变量根据自适应鲁棒控制器设计原则,u3设计为式中:u3a为根据参数估计^v2设计的模型补偿控制量,采用式(22)所示积分自适应律进行参数估计,同时为了保证参数估计有界,使用投影函数Proj(·);u3s表示鲁棒控制部分,u3s1为反步设计中对上一步的补偿和常规的线性负反馈(k2>0),u3s2表示用于克服各种不确定项的鲁棒反馈控制部分。定义v珓Proj2=v2-Proj(^v2)为v2的实际值与估计值的投影之间的误差,将式(20)、(21)代入式(17),可得从投影算法及假设1~2可得,存在u3s2满足结论1为方便反步设计,式(26)满足式(24)和式(25)条件证明:从式(26)可以看出,式(24)显然满足。另外,由不难得到式(25)也同样满足条件。(3)选取增广Lyapunov函数对式(28)取微分可得选取x41+x42作为虚拟控制量,u4为其期望输入值,定义误差量选取式中:k3>0。将式(30)、(31)代入式(29)可得(4)选取增广Lyapunov函数对式(33)取微分可得式中:根据自适应鲁棒控制器设计原则,设计控制律式中:Ta为根据参数估计^v4设计的常规模型补偿控制量;Ts表示鲁棒控制部分,Ts1为反步设计中对上一步的补偿和常规的线性负反馈,k4>0,Ts2表示用于克服各种不确定项的鲁棒反馈控制部分。定义v珓Proj4=v4-Proj(^v4)为v4的实际值与估计值的投影之间的误差,将式(37)代入式(34)可得同样可以得出,存在Ts2满足式中:δ4为正数,可按要求取任意小的设计参数。从式(41)可以看出Ts2主要用于克服系统的系统参数不确定性以及非线性项。结论2满足条件式(40)和式(41)的连续可微的证明略。定理1由被控系统式(8)、控制律式(37)和自适应律式(38)组成的闭环控制系统信号有界,且稳态误差可以满足任意期望的精度要求。证明:将u3s2和Ts2代入式(39),可得由V4的定义可以得出,e1有界,通过调整K和δ2、δ4的大小可以使动静态跟踪误差满足任意精度。定理1得证。定理2若不存在齿隙非线性影响,即ΔM1=ΔM2=0,由被控系统(8)、控制律(37)和自适应律(38)组成的闭环控制系统渐近跟踪稳定。证明:定义式中:ue02fγjk>0,k=1,…,p,j=2,4。由假设2和投影函数的定义可知,对于ue02fj,k,Projjk(0+vjk)-vjk=0,因此Projji(ηji+vji)是1个经过原点的单调非减函数。因此定义式中:Γj=diag{γji,…,γjp}。选取正定函数(49)作为系统的Lyapunov函数由Barbalat’s引理即系统渐近跟踪稳定。定理2表明如果系统仅存在参数不确定性且运行在齿隙单侧,闭环系统渐近跟踪稳定。3控制器的设计仿真验证本文中所设计的自适应鲁棒控制算法的有效性,下文进行仿真验证。选择双电机伺服系统的主要参数。系统的实际参数为:Jm1=0.05kg·m2,bm1=1.5(N·m·s)/rad,Jm2=0.048kg·m2,bm2=1.48(N·m·s)/rad,Jd=0.16kg·m2,bd=1.6(N·m·s)/rad,k=70(N·m)/rad,α1=α2=0.005rad,im=5;各自取的界为:Jmi∈[0.04,0.06],Jd∈[0.14,0.18],bmi∈[1.2,1.8],bd∈[1.5,1.7],k∈[65,75],im∈[4.8,5.2],αi∈[0.045,0.055];期望输出为:yd(t)=0.5[sin(0.1πt)+sin(0.2πt)];系统的状态初始条件为:x1(0)=0,x2(0)=0,x3i(0)=0,x4i(0)=0;系统参数的初始估计值为:^v2(0)=[9.500000.00430.00044800]T,^v4(0)=[-0.020435034.285735.71430.73470.75510.0245]T;控制器的参数选择如下:k1=20,k2=4,k3=6,,k4=1,ε2=0.1,ε4=40,γ=0.01,Γ2=I3,Γ4=I7;另外考虑物理限制,将控制量T控制在|T|≤5范围内;偏置力矩选择Tw=0.2。仿真结果如图5所示。根据仿真结果可以看出,采用本文反步自适应鲁棒控制算法,系统的跟踪误差可以保证在要求的范围之内,且在不存在齿隙时可以实现渐进稳定跟踪。4自适应鲁棒控制算法在电机驱动系统中,齿隙一般位于系统内部,难以通过构造逆模型有效消除齿隙非线性所产生的影响。本文通过将齿隙的非线性传递环节和线性传递环节分开,将非线性传递环