第九篇 第1讲 直线方程和两直线的位置关系

第1讲直线方程和两直线的位置关系【2014年高考会这样考】1．考查倾斜角的概念、倾斜角与斜率的关系及直线方程的几种形式．2．考查由两条直线的斜率判定两直线平行与垂直．3．考查点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式及求解等．考点梳理(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_____与直线l_____方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__.②倾斜角的范围是______．(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝_____；②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝______.1．直线的倾斜角与斜率正向向上0[0，π)tanθ2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_______________不含垂直于x轴的直线斜截式__________不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋bAx＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________，l1⊥l2⇔_________.(1)平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为|P1P2|＝__________________.(2)平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝____________.(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离为d＝________.3.两直线平行与垂直4.距离公式k1＝k2k1k2＝－1一条规律与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.两点提醒(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式．【助学·微博】考点自测1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(

)．答案

B答案

B2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段

PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(

)．3．(2012·广州调研)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上

的截距相等，则a的值是(

)．A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1

解析代入验证可得a＝1或－2.

答案

DA．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为－3x－2y＋c＝0，将点(－1,2)代入－3x－2y＋c＝0，解得c＝1，故直线方程为3x＋2y－1＝0.答案

A4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程

是 (

)．5．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．(2)已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l过点(1,1)且倾斜角是直线AB倾斜角的两倍，则直线l的方程为________．[审题视点](1)设截距均为a，分a＝0或a≠0求解；(2)由两角和的正切公式求斜率，再由点斜式求解．考向一求直线的方程【例1】►(1)已知经过点P(3,2)，且在两坐标轴上截距相等的直

线l的方程为________；答案

(1)2x－3y＝0或x＋y－5＝0

(2)24x－7y－17＝0

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．[审题视点]由两直线平行或垂直的充要条件求解．考向二两条直线的平行与垂直问题【例2】►(1)若直线l1：ax＋2y－6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________；答案

(1)2或－1

(2)0或1

由两直线平行或垂直的关系求直线的方程，或求方程中的参数，首先需要考虑两直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率相等或斜率乘积为－1求解；若斜率不存在，则需要注意特殊情形．(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的 (

)．A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析

(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.【训练2】(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂

直，则实数a＝________.答案

(1)－1

(2)C

(1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线