中考数学复习：第15节　二次函数的实际应用与综合

第15节二次函数的实际应用与综合1．(2021·北京)如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(AA.一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系2．(2021·台州)以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图①)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图②).若h1＝2h2，则t1∶t2＝eq\r(2)．3．(2021·连云港)某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元，8元，每天卖出的份数分别为40份，80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是1264元．4．(2021·深圳)某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x(万元)与销售量y(件)的关系如表所示：x(万元)10121416y(件)40302010(1)求y与x的函数关系式；(2)当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？解：(1)由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx＋b(k≠0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝40，,12k＋b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－5，,b＝90，))∴y与x的函数关系式为y＝－5x＋90(2)设该产品的销售利润为w，由题意，得w＝y(x－8)＝(－5x＋90)(x－8)＝－5x2＋130x－720＝－5(x－13)2＋125，∵－5＜0，∴当x＝13时，w有最大值，最大值为125万元，答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元5．(2021·大连)某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：千克)和每千克的售价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中50≤x≤80.(1)求y关于x的函数解析式；(2)若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y＝kx＋b，将(50，100)，(80，40)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100，,80k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝200，))∴y＝－2x＋200(50≤x≤80)(2)设电商每天获得的利润为w元，则w＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，∵－2＜0，且对称轴是直线x＝70，50≤x≤80，∴当x＝70时，w取得最大值为1800元，答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元6．(2021·鄂州)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)解：(1)设y与x之间的函数关系式y＝kx＋b(k≠0)，依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(840＝160k＋b，,960＝190k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝200，))∴y与x之间的函数关系式为y＝4x＋200(2)设老张明年种植该作物的总利润为W元，依题意得：W＝[2160－(4x＋200)＋120]·x＝－4x2＋2080x＝－4(x－260)2＋270400，∵－4＜0，∴当x＜260时，W随x的增大而增大，由题意知：x≤240，∴当x＝240时，W有最大值，最大值为－4(240－260)2＋270400＝268800(元)，答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润是268800元7．(2021·荆门)某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W(元)的三组对应值数据.x407090y1809030W360045002100(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若该商品进价a(元/件)，售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；(3)因疫情期间，该商品进价提高了m(元/件)(m＞0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55(元/件)，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．解：(1)设y＝kx＋b，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝180，,70k＋b＝90，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝300，))所以y关于x的函数解析式为y＝－3x＋300(2)由(1)可得W＝(－3x＋300)(x－a)，又由表知，当x＝40时，W＝3600，代入上式可得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，∴a＝20，∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2＋360x－6000＝－3(x－60)2＋4800，所以售价x＝60时，周销售利润W最大，最大利润为4800元(3)由题意，得W＝－3(x－100)(x－20－m)(x≤55)，其对称轴为直线x＝60＋eq\f(m,2)＞60，∴当0＜x≤55时，W的值随x增大而增大，∴只有当x＝55时周销售利润最大，∴4050＝－3(55－100)(55－20－m)，∴m＝58．(2021·金华)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－eq\f(1,6)(x－5)2＋6.(1)求雕塑高OA；(2)求落水点C，D之间的距离；(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD.问：顶部解：(1)当x＝0时，y＝－eq\f(1,6)(0－5)2＋6＝eq\f(11,6)，∴点A的坐标为(0，eq\f(11,6))，∴雕塑高eq\f(11,6)m(2)当y＝0时，－eq\f(1,6)(x－5)2＋6＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝11，∴点D的坐标为(11，0)，∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC＋OD＝22m(3)当x＝10时，y＝－eq\f(1,6)(10－5)2＋6＝eq\f(11,6)，∴点(10，eq\f(11,6))在抛物线y＝－eq\f(1,6)(x－5)2＋6上．又∵eq\f(11,6)≈1.83＞1.8，∴顶部F不会碰到水柱9．(2021·徐州)如图，点A，B在y＝eq\f(1,4)x2的图象上．已知A，B的横坐标分别为－2，4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB.(1)求直线AB的函数表达式；(2)求△AOB的面积；(3)若函数y＝eq\f(1,4)x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有4个．解：(1)∵点A，B在y＝eq\f(1,4)x2的图象上，A，B的横坐标分别为－2，4，∴A(－2，1)，B(4，4)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k＋b＝1，,4k＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝2，))∴直线AB的表达式为y＝eq\f(1,2)x＋2(2)在y＝eq\f(1,2)x＋2中，令x＝0，则y＝2，∴C的坐标为(0，2)，∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×4＝6(3)过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1，P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3，P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个，故答案为410．(2021·广安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(－1，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒eq\r(2)个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求b，c的值；(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝－9＋3b＋c，,0＝－1－b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3))(2)由(1)得：抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3，C(0，3)，A(3，0)，∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：AP＝eq\r(2)t，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，∴AE＝PE＝eq\f(\r(2)t,\r(2))＝t，即E(3－t，0)，又Q(－1＋t，0)，∴S四边形BCPQ＝S△ABC－S△APQ＝eq\f(1,2)×4×3－eq\f(1,2)×[3－(－1＋t)]t＝eq\f(1,2)t2－2t＋6，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，AB＝4，∴0≤t≤3，∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，即为eq\f(1,2)×22－2×2＋6＝4(3)∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，过点M作y轴的垂线，与EP的延长线交于点F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，∴∠MPF＋∠QPE＝90°，又∠MPF＋∠PMF＝90°，∴∠PMF＝∠QPE，在△PFM和△QEP中，eq\b\lc