北师大版数学九年级上册 1.1 菱形的性质

1.1

菱形的性质与判定第1课时

菱形的性质第一章特殊的平行四边形情景引入欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？欣赏视频：前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中的菱形一样，那么什么是菱形呢？它有什么特点？这节课让我们一起来学习吧！点击视频开始播放↓菱形的性质思考如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?

平行四边形菱形邻边相等定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.归纳总结

活动1如何利用折纸、剪裁的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？点击视频

开始播放问题2根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量

上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？

活动2在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中

的图形(如图)，并回答以下问题：问题1菱形是轴对称图形吗?如果是，

指出它的对称轴.

是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴猜想1菱形的四条边都相等.

猜想2菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

求证：(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

证明：(1)∵

四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AB=CD，AD

=BC

(平行四边形的对边相等).又∵

AB

=

AD，

∴

AB

=

BC

=

CD

=

AD.ABCOD证一证已知：如图，在平行四边形

ABCD中，AB=

AD，对角线

AC与

BD相交于点

O.

(2)∵

AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形.

又∵四边形

ABCD是平行四边形，

∴

OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.

在等腰三角形

ABD中，OB=OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即

AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可证∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD

菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.

角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.平行四边形的性质菱形的特殊性质归纳总结菱形菱形的性质有关计算边周长=边长的四倍角对角线1.两组对边分别平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角1.1

菱形的性质与判定第2课时

菱形的判定第一章特殊的平行四边形一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.平行四边形菱形的性质菱形两组对边平行四条边相等两组对角分别相等邻角互补两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角边角对角线复习引入问题

菱形的定义是什么？性质有哪些？根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：且AB=AD，∵四边形

ABCD是平行四边形，∴四边形

ABCD是菱形.数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.ABCD思考

还有其他的判定方法吗？猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明这一猜想吗？对角线互相垂直的平行四边形是菱形我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明菱形的判定定义法判定定理1.1

菱形的性质与判定第3课时

菱形的性质、判定与其他知识的综合第一章特殊的平行四边形1．平行四边形的对边

，

对角

，对角线

．2．菱形具有

的一切性质．3．菱形是

图形也是

图形．4．菱形的四条边都

．5．菱形的两条对角线互相

．平行且相等相等互相平分平行四边形轴对称中心对称相等垂直且平分复习引入菱形的面积问题1

菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形

ABCD的面积呢?ABCD思考

前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形

ABCD的面积呢?能.过点

A作

AE⊥BC于点

E，则

S菱形ABCD=底×高=BC·AE.E问题2

如图，四边形

ABCD是菱形，对角线

AC，BD交于点

O，试用对角线表示出菱形

ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形

ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC·(BO+DO)=AC·BD.你有什么发现？菱形的面积=

底×高=

对角线乘积的一半例1如图，四边形

ABCD是边长为13cm的菱形，其

中对角线

BD长10cm.求：(1)对角线

AC的长度；(2)菱形

ABCD的面积.解：(1)∵四边形

ABCD是菱形，∴∠AED=90°，(2)S菱形ABCD∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE

菱形的面积计算有如下方法：(1)

一边长与两对边的距离

(即菱形的高)

的积；(2)

四个小直角三角形的面积之和

(或一个小直角三角形面积的

4

倍)；(3)

两条对角线长度乘积的一半．归纳例2如图，菱形花坛

ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路

AC和

BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.A

B

C

D

O

解：∵花坛

ABCD是菱形，【变式题】如图，在菱形

ABCD

中，∠ABC

与∠BAD

的度数比为

1∶2，周长是

8

cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．解：（1）∵

四边形

ABCD

是菱形，∴

AB

=

BC，AC⊥BD，AD∥BC.∴∠ABC

+∠BAD

=

180°.∵∠ABC

与∠BAD

的度数比为

1∶2，∴∠ABC

=×180°

=60°.∴

△ABC是等边三角形，∠ABO

=∠ABC

=30°.∵

菱形

ABCD

的周长是

8

cm，∴

AB

=

2

cm.∴

OA

=AB

=

1

cm，AC

=

AB

=

2

cm.

∴

BD

=

2OB

=

cm.=×2×=（cm2）．

菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形求解，当菱形中有一个角是60°

或120°

时，菱形可被较短的对角线分为两个等边三角形.归纳（2）S菱形ABCD

=AC•BD练一练如图，已知菱形的两条对角线分别为

6

cm

和

8

cm，则这个菱形的高

DE

为（）A.2.4

cmB.4.8

cmC.5

cmD.9.6

cmB

如图的两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？做一做平行四边形菱形的判定与性质的综合问题如图的两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分

ABCD是什么图形？为什么？菱形ACDB分析：易知四边形

ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.由题意可知

BC边上的高和

CD边上的高相等，然后通过证△ABE≌△ADF，即可得

AB=AD.EF例3如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；证明：∵

D、E

分别是

AB、AC

的中点，∴

DE∥BC，且

BC＝2DE.又∵

BE＝2DE，EF＝BE，∴

EF＝BC，EF∥BC.∴

四边形

BCFE

是平行四边形.又∵

EF＝BE，∴

四边形

BCFE

是菱形.解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°.∴

△EBC是等边三角形.∴

菱形的边长为

4，高为.∴

菱形的面积为.(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出是菱形；如果只知道一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证明这个四边形是平行四边形．归纳练一练如图，在

□ABCD

中，AC

平分∠DAB，AB

=

2，求

□ABCD

的周长.解：在

□ABCD

中，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD.∵

AC

平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠ACD.∴

AD

=

CD.∴

四边形

ABCD

为菱形.∴

菱形

ABCD

的周长为4AB=4×2

=

8.1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是______.2.如图，菱形

ABCD中∠BAD＝120°，则∠BAC＝_____°.6cm603.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则菱形的边长是（

）CA.10cmB.24cmC.13cmD.17cmABCDO4.如图，在菱形

ABCD中，点

O为对角线

AC与

BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形

ABCD两对边的距离

h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30.∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.而菱形两对边的距离相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h.∴13h＝120，解得

h＝.ABCDO5.如图，在菱形

ABCD中，对角线

AC与

BD相交于点

O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长

AB和对角线

AC的长.解：∵

四边形

ABCD

是菱形，

∴

AC⊥BD，OB

=

OD

=BD=×6

=

3.在等腰△ABD中，∵∠BAD

=

60°，∴△ABD

是等边三角形.∴

AB=BD=6.ABCOD在

Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴

OA=