北师大版数学九年级上册 2.2用配方法求解一元二次方程

2.2

用配方法求解一元二次方程

第二章一元二次方程第1课时直接开平方法与配方法(1)1.

如果

x2=a，那么

x叫做

a的

.复习引入平方根2.

如果

x2=a(a≥0)，那么

x=

.3.

如果

x2=64，那么

x=

.±84.

任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.直接开平方法

问题：一桶油漆可以刷

1500dm2，小林用这桶油漆恰好刷完

10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设盒子的棱长为

xdm，则一个正方体盒子的表面积为6x2dm2．由此可列方程10×6x2=1500，即

x2=25．根据平方根的意义得

x=±5，即

x1=5，x2=－5．∵棱长不能为负值，∴盒子的棱长为5dm．试一试：

解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.(1)x2=4；(2)x2

=0；(3)x2

+1=0.解：根据平方根的意义，得

x1=2，x2=-2.解：移项，得

x2=-1．∵负数没有平方根，∴原方程无解.解：根据平方根的意义，得

x1=x2=0.(2)当

n

=0

时，方程

(I)有两个相等的实数根

x1

=x2=

0；(3)当

n

＜0

时，因为对任意实数

x，都有

x2≥0

，所以方程

(I)无实数根.探究归纳一般的，对于可化为x2=n

(I)的方程，

(1)当

n

＞0

时，根据平方根的意义，方程

(I)有两个不相等的实数根

x1

=

，x2

=

；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳例1

利用直接开平方法解下列方程：(1)x2=6；(2)

x2

-

900=0.解：直接开平方，得解：移项，得x2=900.直接开平方，得x=±

30，∴

x1=30，x2=-30.典例精析方法点拨：通过移项把方程化为

x2=n

的形式，然后直接开平方即可求解．在解方程(I)时，由方程

x2

=

25

得

x

=

±5.由此想到:(x

+

3)2

=

5，

②得对照上面方法，你认为怎样解方程(x

+

3)2

=

5探究交流于是，方程

(x

+

3)2

=

5

的两个根为上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.解题归纳例2

解下列方程：（1）(x＋1)2=2；

解析：第

1

小题中只要将

(x＋1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.即

x1

=

−1+，x2

=

−1

−

解： ∵x+1是

2的平方根，∴x

+

1

=解析：第

2

小题先将－4

移到方程的右边，再同第

1

小题一样地解.（2）(x−

1)2

−

4=0；即

x1

=

3，x2

=−1.解：

移项，得

(x−1)2

=

4.∵x−1

是

4

的平方根，∴x−1

=

±2，1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？

如果一个一元二次方程具有

x2

=n

或(x＋m)2

=

n

(n≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2+2x-3=0.配方的方法问题1.下列完全平方公式你还记得吗？试着填一填.(1)a2+

2ab

+

b2

=

(

)2；(2)a2

-

2ab

+

b2

=

(

)2.a

+

ba

-

b探究交流

填上适当的数或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2；（2）x2−

6x

+

=(x−

)2；（3）x2

+

8x

+

=(x+

)2；（4）x2−

x

+

=(x−

)2.你发现了什么规律？222323424填一填

对于二次项系数为

1的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式.二次项系数为

1的完全平方式：

常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结填一填：x2

+px

+

(

)2

=

(x+

)2配方的方法用配方法解二次项系数为1的一元二次方程探究交流解方程：x2

+6x+4=0.(1)问题1

方程

(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0x2+6x=-4移项x2+6x+9=-4+9两边都加上

9二次项系数为

1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方

——注意是在二次项系数为

1的前提下进行的.问题2

为什么在方程

x2+6x=-4的两边加上

9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式

x2

+2mx+m2的形式.一元二次方程配方的方法：要点归纳

通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路

把一元二次方程化为(x+m)2=n的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．例3解方程x2

+8x-9=0

解：可以把常数项移到方程的右边，得x2

+8x=9，两边都加

42（一次项系数

8

的一半的平方），得x2

+8x+42

=9+42，即

(x

+

4)2

=25.两边开平方，得x+4=±5

，即x+4=5

或

x+4=-5.所以 x1=1，

x2=-9.试一试：解方程

x2

+12x-

15=0

.解：可以把常数项移到方程的右边，得x2

+12x=15，两边都加

62（一次项系数

12

的一半的平方），得x2

+12x+62

=15+62，即

(x

+

6)2

=51.两边开平方，得x+6=，即x+6=或

x+6=.所以x1=，

x2=.C.解方程

4(x

-

1)2

=

9，得

4(x

-

1)

=±3，x1

=，x2

=D.解方程

(2x

+

3)2

=

25，得

2x

+

3

=±5，x1

=1，

x2

=

-4

1.下列解方程的过程中，正确的是（

）A.解方程

x2

=

-2，得

x

=±B.解方程

(x

-

2)2

=

4，得

x

-

2

=

2，x

=

4

D(1)方程

x2

=0.25的根是

.(2)方程

2x2

=18的根是

.(3)方程

(2x-1)2=9的根是

.3.解下列方程：

(1)x2

-

81＝0；(2)2x2＝50；

(3)(x＋1)2＝4.

x1＝0.5，x2＝-0.5x1＝3，x2＝-3x1＝2，x2＝-12.填空:x1＝9，x2＝-9.x1＝5，x2＝-5.x1＝1，x2＝-3.4.(请你当小老师)下面是小李同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，指出具体位置并帮他改正.①②③④解：解：不对，从②开始错，应改为解：方程的两根为5.解下列方程：解：

移项，得x2

-

8x=

-

1，配方，得x2

-

8x

+

42=

-

1

+

42，(x

-

4)2

=15.由此可得即解方程：挑战自我解：∴方程的两根为或用配方法解一元二次方程直接开平方法：基本思路：解二次项系数为

1

的一元二次方程步骤形如

(x+m)2=n(n≥0)将方程转化为(x+m)2

=n

(n≥0)的形式，在用直接开平方法，直接求根.1.移项3.直接开平方求解2.配方2.2

用配方法求解一元二次方程第二章一元二次方程第2课时

配方法(2)复习引入(1)9x2=1；(2)(x-

2)2

=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2

+

6x

+

9=5；(2)

x2

+

3x

-

4=0.把两题转化成(x

+

m)2

=

n(n≥0)的形式，再利用开平方用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别：①x2+6x+8=0；

②3x2

+

8x

-

3=0.问题2：用配方法来解x2

+6x+8=0.

解：移项，得x2

+6x=-8，

配方，得

(x+3)2

=1.

开平方，得x+3=±1.

解得

x1

=-2，

x2

=

-4.想一想怎么来解3x2

+

8x

-

3=0.试一试：解方程：3x2+8x-

3=0.

解：两边同除以3，得

配方，得

开方，得

即

所以x1

=，x2

=-3.可以先将二次项系数化为

1.配方，得由此可得二次项系数化为

1，得解：移项，得2x2

-3x=-1.即移项和二次项系数化为

1这两个步骤能不能交换呢?例1

解下列方程：配方，得∵实数的平方不会是负数，∴x取任何实数时，上式都不成立．∴原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为

1，得为什么方程两边都加

12？即思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方式；④降次；⑤解一次方程.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成

(x

+

m)2

=n.①当

n＞0

时，则

，方程的两个根为②当

n=0

时，则(x+m)2=0，x

+

m=0，开平方得方程的两个根为

x1=x2=-m.③当

n＜0

时，则方程

(x

+

m)2

=n

无实数根.规律总结引例：一个小球从地面上以

15m/s

的速度竖直向上弹出，它在空中的高度

h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-

5t2.小球何时能达到

10m

高？解：将h=10

代入方程中

15t-

5t2

=10.

两边同时除以

-5，得

t2

-

3t=

-2.配方，得t2

-

3t+=

-2.配方法的应用即移项，得=即

t-=

或

t-=.所以t1=2，

t2

=

1.即在1s或2s时，小球可达10m高.例2试用配方法说明：不论

k取何实数，多项式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.所以

k2－4k＋5的值必定大于零.例3

若

a，b，c为△ABC

的三边长，且

试判断△ABC的形状.解：将原式配方，得所以，△ABC为直角三角形.

由非负式的性质可知

即所以

1.关于

x的方程

2x2-3m-

x+m2+2=0

有一根为

x=0，则

m的值为（）A.1B.1C.1或

2D.1

或

-22.利用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5

的最小值；(2)-3x2

+5x+1

的最大值.练一练C解：(1)

2x2-

4x+

5=2(x-

1)2+3，当

x=1时有最小值3.(2)

-3x2+5x+1=-3+，当

x=时有最大值

.归纳总结配方法的应用类别解题策略1.求最值或证代数式的值恒正（或负）将关于

x

的二次多项式通过配方成

a(x+m)2+n的形式后，由于

(x+m)2≥0，故当

a＞0时，可得其最小值为

n；当

a＜0时，可得其最大值为

n.2.完全平方式中的配方如：已知

x2

-

2mx+16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于

16，即

m2

=

16，m=±4.3.利用配方构成非负式的和的形式对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配方成多个完全平方式的和为0，再根据非负式大于等于0，则各式均为

0，进而求解.如：a2＋b2－4b＋4

=

0，即

a2＋(b－2)2

=

0，则a=

0，b=

2.例4读诗词解题：（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）

大江东去浪淘尽，千古风流数人物。

而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设个位数字为

x，则十位数字为

(x-

3).x1=6，x2=5x2

-

11x=-30x2

-

11x

+

5.52

=-30

+

5.52(x

-

5.5)2

=0.25x

-

5.5=0.5

或

x

-

5.5=-0.5依题列方程

x2

=10(x

-

3)+x∴这个两位数为

36

或

25.∴周瑜去世的年龄为

36

岁.∵周瑜

30

岁还攻打过东吴，1.解下列方程：（1）x2

+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2

-

6x

-

3=0；

（4）3x2

+6x

-

9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2

=-1.∴此方程无解.解：x2-

4x

-

12

=

0，(x-

2)2

=16.∴x1=6，x2

=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2

=4.∴x1=-3，x2

=1.2.利用配方法证明：不论

x取何值，代数式

−x2−x−1的值总是负数，并求出它的最大值.解：−x2−x−1=−