北师大版数学九年级上册 2.3 用公式法求解一元二次方程

2.3

用公式法求解一元二次方程第二章

一元二次方程第1课时

用公式法求解一元二次方程复习引入1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？2.如何用配方法解方程

2x2

+4x+1=0

?一、移常数项；二、配方[配上]；三、写成(x+m)2=n(n≥0)；四、直接开平方法解方程.解：x2

+2x=，即

(x+1)2

=.问题：老师写了

4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？

求根公式的推导任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：ax2+bx+c=0.(a

≠

0)是否也能用配方法得出它的解呢？合作探究用配方法解一般形式一元二次方程

ax2+bx+c

=0(a≠0).方程两边都除以

a，得

解：移项，得配方，得即问题：接下来能用直接开平方解吗？一元二次方程的求根公式特别提醒∵a≠0，4a2＞0，∴当

b2

-4ac≥0时，当

b2

-4ac＜0时，而

x取任何实数都不能使上式成立，∴此时方程无实数根.归纳由上可知，一元二次方程

ax2+bx+c=0(a

≠

0)的根由方程的系数

a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为

ax2

+bx+c=0的一般形式，当

b2

-4ac≥0时，将

a，b，c代入式子就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程的前提是:1.

必须是一般形式的一元二次方程：ax2

+

bx

+

c

=

0(a

≠

0)；2.

必须满足

b2

-

4ac≥0

才能代公式计算.注意求根公式：视频：求根公式的趣味记忆点击视频开始播放

公式法解方程例1

用公式法解方程

5x2

-

4x

-

12

=

0.解：

∴b2-4ac=(-4)2

-

4×5×(-12)=256＞0.典例精析例2

解方程：化为一般式：解：即这里

a、b、c

的值分别是什么？例3

解方程：（精确到0.001）.解：用计算器求得：例4

解方程：4x2

-3x+2=0.∵在实数范围内负数不能开平方，∴方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的一般步骤1.变形：化已知方程为一般形式；

2.确定系数：用

a，b，c写出各项系数；3.计算：b2

-4ac的值；

4.判断：若

b2

-

4ac≥0，则利用求根公式得解；

若

b2

-

4ac＜0，则方程没有实数根.两个不等的实数根

两个相等的实数根没有实数根两个实数根判别式的情况

根的情况

一元二次方程

ax2

+

bx

+

c

=

0(a

≠

0)的根的情况可由

b2

−4ac来判定，我们把

b2−4ac

叫做一元二次方程

ax2

+

bx

+

c

=

0(a

≠

0)的根的判别式.通常用希腊字母“Δ”表示.

Δ

＞0

Δ=0

Δ＜0

Δ≥

0一元二次方程根的判别式按要求完成下列表格：练一练

的值04根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不等的实数根Δ3.判别根的情况，得出结论.1.化为一般式，确定

a，b，c的值.要点归纳根的判别式使用方法2.计算

Δ的值，确定

Δ

的符号.例5

已知一元二次方程

x2

+

x

=

1，下列判断正确的是()

A.该方程有两个相等的实数根

B.该方程有两个不相等的实数根

C.该方程无实数根

D.该方程根的情况不确定解析：原方程变形为

x2

+

x

-

1=0.∵b2

-

4ac=1-4×1×(-1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选

B.B方法归纳判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式

ax2

+

bx

+

c=0(a

≠

0).b2

-4ac＞0

时，方程有两个不相等的实数根.b2

-4ac=

0

时，方程有两个相等的实数根.b2

-4ac＜0

时，方程无实数根.例6

若关于

x的一元二次方程

kx2

-

2x

-

1

=

0

有两个不相等的实数根，则

k的取值范围是()A.

k＞-1B.

k＞-1且

k≠0C.

k＜1D.

k＜1且

k≠0解析：由题知，方程有两个不相等的实数根，则

b2

-

4ac＞0，同时要求二次项系数不为

0，即

，k

≠

0.解得

k＞-1且

k

≠

0，故选

B.B例7

不解方程，判断下列方程根的情况．(1)3x2

+

4x－3=0；

(2)4x2

=12x－9；(3)7y=5(y2

+

1).解：(1)3x2

+

4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，

∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．

(2)方程化为：4x2－12x+9=0，∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．(3)7y=5(y2

+

1).解：(3)方程化为：5y2－7y

+

5=0，∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．1.解方程：x2

+7x–18=0.解：这里a=1，b=7，

c=-18.

∵

b2

-4ac=72–4×1×(-18)=121＞0，∴即x1=-9，x2=2.2.解方程

(x

-2)(1-3x)=6.解：去括号，得x-

2

-

3x2+6x=6.化为一般式，得

3x2

-

7x+8=0.这里a=3，b=

-

7，c=8，

∴b2

-

4ac=(

-

7)2

-

4×3×8=49

-

96=

-

47＜0.∴

原方程没有实数根.3.解方程：2x2

-

x+

3=

0.解：这里a=2，b=，c=3.∵b2

-

4ac=27

-

4×2×3=3＞0,∴∴

x1=，x2=4.关于

x的一元二次方程有两个实根，则

m的取值范围是

.注意：一元二次方程有两个实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.解：∴m≤1.∵

b2

-

4ac=(

-

2)2

-

4×1×m=4

-

4m≥0.5.不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）2x2+3x−4=0；（2）x2

−

x+=0；

解：（1）2x2

+3x−4=0，a=2，b=3，c=−4，

∴Δ=b2

−4ac=32

−4×2×(−4)=41＞0.∴方程有两个不等的实数根．（2）x2

−

x+=0，a=1，b=−1，c=，∴Δ=b2

−4ac=(−1)2

−

4×1×=0.∴方程有两个相等的实数根．（3）x2

−

x+1=0，a=1，b=−1，c=1，∴Δ=b2

−

4ac=(−1)2

−

4×1×1=−3＜0.

∴方程无实数根．（3）

x2

−x+1=0.6.不解方程，判断关于

x的方程的根的情况.解：∴方程有两个实数根．Δ＝(

k)2

−4×1×k2

=4k2.∵k2

≥

0，∴4k2

≥

0，即

Δ≥

0.能力提升：

在等腰△ABC

中，三边分别为

a，b，c，其中

a=5，若关于

x的方程

x2+(b

+

2)x

+

6

-

b

=

0

有两个相等的实数根，求△ABC

的周长.解：因为关于

x的方程

x2

+

(b

+

2)x

+

6

−

b

=

0

有两个相等的实数根，所以

Δ

=(b+2)2

−

4(6−

b)=b2+8b−

20=0.解得

b1=−10（舍去），b2=2.由三角形的三边关系，得

c=5.所以△ABC

的三边长为5，2，5，其周长为

5+2+5=12.公式法求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（求

b2-4ac的值）；四判（方程根的情况）；五代（代求根公式计算）务必将方程化为一般形式根的判别式

b2

-

4ac2.3

用公式法求解一元二次方程第二章

一元二次方程第2课时

利用一元二次方程解决面积问题问题某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与

AB平行，另外一条与

AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为

78

m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为

xm，则由题意列的方程为_____________________.CBDA(30-

2x)(20

-

x)=

6×78问题引入利用一元二次方程解决面积问题问题：在一块长

16m，宽

12m的矩形荒地上，要建造上个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.16m12m想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？解：设小路的宽为xm，根据题意得：

即x2

-14x+24=0.

解方程得x1

=2，

x2=12.

将

x=

12

代入方程中不符合题意舍去.答：小路的宽为

2m.小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程，得到小路的宽为

2m或

12m.16m12m问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？xx解：由图片信息得，四个扇形组成一个圆设扇形半径为xm，根据题意得：即πx2=96.

解方程得

x1=(舍去)，x2=.答：扇形半径约为5.5m.小亮设计：如右图所示，其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？16m12m解：设小路的宽为xm，根据题意得：即x2

-

28x+96=0.

解方程得x1=4，x2=24.

将

x=24

代入方程中不符合题意舍去.答：小路的宽为

4m.

小颖设计：如右图所示，其中花园小路是两条互相垂直的矩形，且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中小路的宽吗？16m12mxmxm典例精析例1

要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到

0.1cm)？27cm21cm

分析:这本书的长宽之比为

:

，正中央的长方形的长宽之比为

:

，上下边衬与左右边衬的宽度之比

:

.9

9解析：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a，由此得到上下边衬宽度之比为9

7

7

7

27cm21cm设上下边衬的宽均为

9xcm，则左右边衬宽为

7xcm，中央的矩形的长为(27−18x)cm，宽为(21−14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.27cm21cm于是可列方程解得故上下边衬的宽为故左右边衬的宽为方程的哪个根符合实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？27cm21cm整理，得16x2

−48x+9=0.解法2：设正中央的长方形的两边别为9xcm，7xcm.依题意得解得故上下边衬的宽度为左右边衬的宽度为27cm21cm例2

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点

P沿

AC边从点

A向终点

C以1cm/s的速度移动；同时点

Q沿

CB边从点

C向终点

B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点

P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得

AP=xcm，PC=

(6-

x)cm，CQ=2xcm.解：设点

P，Q出发

xs后

S△PCQ

=9cm².整理，得解得

x1=x2=3.答：点

P，Q出发3s后

S△PCQ

为9cm².则有

在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键.如果图形不规则，就割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.方法点拨2032xx解：设道路的宽为

x米，则

例3

如图，在一块宽为

20

m，长为

32

m

的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为

540m2，则道路的宽为多少？典例精析还有其他方法吗？方法一：2032xx解：设道路的宽为x米，可列方程20−x32−x(32−x)(20−x)=540.整理，得

x2

−52x+100=0.解得x1

=2，x2

=50.当

x=50时，32−x=−18，不合题意，舍去.∴取

x=2.答：道路的宽为

2米.方法二：

在宽为

20

m，长为

32

m

的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为

540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x

米，且

x＜20.(32−x)(20−x)=540可列方程为变式一x20

-

x32

-

x答：道路的宽为

2米.解得

x1

=50(舍)，x2

=

2.2032x2x20

-

x

在宽为

20

m，长为

32

m

的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为

540

m2，则这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米，且

x＜16.(32−2x)(20−x)=540.可列方程为变式二32

-

2x

x2

=

18

-解得

x1

=

18

+(舍)，答：道路的宽约为

1.45米.20322x2x32−2x20−2x

在宽为

20

m，长为

32

m

的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为

540

m2，则这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米且

x＜10.(32−

2x)(20

−

2x)=540.可列方程为变式三∴x=1.答：道路的宽为

1米.解得

x1=25(舍)，x2=1.

在宽为

20

m，长为

32

m

的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？变式四32cm20cm2x3x小路所占面积是矩形面积的四分之一

剩余面积是矩形面积的四分之三解：设横、竖小路的宽度分别为3x、2x，

则可列方程20cm32cm3x2x32−4x(32

−4x)(20

−

6x)=—×20×32433x2x6x4x32−4x20−6x20−6x我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路平移，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨∴x≈0.62，则3x≈1.86，2x≈1.24.解得

x1=x2=答：横、竖小路的宽度分别为

1.86

米、1.24

米.视频：平移求面积动态展示点击视频开始播放解：设

AB长是

xm，则

BC=(100-4x)m.依题列方程(100-

4x)x=400，即

x2

-

25x

+

100=0.解得

x1

=5，x2

=20.当

x=5，100-4x=80＞25，

x=5(舍).当

x=20，100-4x=20＜25，则

x=20.答：羊舍的边长

AB和

BC的长各是

20m，20m.例4如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊舍，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊舍，求羊舍的边长

AB和

BC的长各是多少米

？DCBA25米变式如图，一农户要建一个矩形羊舍，羊舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围羊舍的长、宽分别为多少时，面积为80m2？住房墙1m解：设矩形羊