福建省三明市永安一中高一下学期期中数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年福建省三明市永安一中高一（下)期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分共60分，只有一个选项正确）1．直线的倾斜角为（）A．30o B．150o C．60o D．120o2．已知直线l1：(m+2)x﹣y+5=0与l2：（m+3）x+（18+m）y+2=0垂直，则实数m的值为(）A．2或4 B．1或4 C．1或2 D．﹣6或23．下列条件中，能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的两条直线平行于另一个平面B．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面C．平行于同一个平面的两个平面D．垂直于同一个平面的两个平面4．已知直线ax+y+a+1=0，不论a取何值,该直线恒过的定点是(）A．（﹣1，﹣1) B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1)5．已知直线l过点（﹣1，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．(﹣，） B．（﹣，） C．（ D．()6．一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的圆周和两条半径,则这个几何体的体积为（)A．π B．π C．π D．π7．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．"事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如:可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f(x）=+的最小值为（)A． B． C． D．8．已知四面体ABCD中，E,F分别是AC，BD的中点，若AB=6，CD=10，EF=7，则AB与CD所成角的度数为（）A．120° B．45° C．60° D．90°9．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c,若=，则cosB=（）A．﹣ B． C．﹣ D．10．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m11．已知直线l:x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点,则｜CD｜=（）A． B．4 C． D．612．在三棱锥PABC中,PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A．26π B．12π C．8π D．24π二、填空题（共4小题,每小题5分,共20分，请把答案写在答题卷上）13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=1，b=，则c=．14．已知P为圆x2+y2=4上的动点．定点A的坐标为（3,4）,则线段AP中点M的轨迹方程．15．已知三点A（1，1），B(4，2），C(2,﹣2)，则△ABC外接圆的方程为为．16．已知圆与圆，过动点P（a，b)分别作圆C1、圆C2的切线PM，PN，（M，N分别为切点）,若｜PM｜=|PN｜，则a2+b2﹣6a﹣4b+13的最小值是．三、解答题(6题，共70分，要求写出解答过程或者推理步骤）17．己知直线2x﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+1=0交于点P．(1）求过点P且垂直于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程；（结果写成直线方程的一般式)（2）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线l2方程(结果写成直线方程的一般式）18．已知△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，且满足2cosC(acosB+bcosA）=c．①求C；②若c=，ab=6．求△ABC的周长．19．如图，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC,EA∥DC，EA=2DC,F为EB的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面AEB．20．已知：以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．（Ⅰ)当t=2时，求圆C的方程；（Ⅱ）求证:△OAB的面积为定值；（Ⅲ)设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M,N,若|OM｜=｜ON｜，求圆C的方程．21．如图1,已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点．将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE．（1）求证：平面BDE⊥平面ADE(2）求三棱锥C﹣BDE的体积22．已知直线l：4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程;（2）过点M（1,0）的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2016-2017学年福建省三明市永安一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分共60分，只有一个选项正确）1．直线的倾斜角为（）A．30o B．150o C．60o D．120o【考点】I2:直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．可得tanθ=﹣，【解答】解：设直线的倾斜角为θ,θ∈［0°，180°)．则tanθ=﹣,∴θ=120°．故选：D．2．已知直线l1:(m+2）x﹣y+5=0与l2:（m+3）x+(18+m）y+2=0垂直，则实数m的值为（)A．2或4 B．1或4 C．1或2 D．﹣6或2【考点】IJ:直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的条件即可得出．【解答】解：m=﹣18时,两条直线不垂直，舍去．m≠﹣18时，由l1⊥l2，可得:（m+2）×=﹣1，化为:(m+6）（m﹣2）=0，解得m=﹣6,2．满足条件．故选：D．3．下列条件中,能判断两个平面平行的是（）A．一个平面内的两条直线平行于另一个平面B．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面C．平行于同一个平面的两个平面D．垂直于同一个平面的两个平面【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】A中,一个平面内的两条直线平行线平行于另一个平面，则这两个平面相交或平行；在B中，一个平面内的无数条平行线平行于另一个平面,则这两个平面相交或平行；在C中，由平面平行的判定定理得平行于同一平面的两个平面互相平行；在D中，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交．【解答】解：在A中，一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；一个平面内的两条直线平行线平行于另一个平面,则这两个平面相交或平行，故A错误；在B中，一个平面内的无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面相交或平行，故B错误；在C中，由平面平行的判定定理得平行于同一平面的两个平面互相平行，故C正确;在D中,垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故D错误．故选：C．4．已知直线ax+y+a+1=0,不论a取何值,该直线恒过的定点是（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1) D．(1，﹣1）【考点】IP：恒过定点的直线．【分析】由直线ax+y+a+1=0变形为a(x+1)+y+1=0,令，解得即可．【解答】解：由直线ax+y+a+1=0变形为a(x+1）+y+1=0，令,解得x=﹣1，y=﹣1，∴该直线过定点（﹣1，1)，故选：A．5．已知直线l过点(﹣1，0）,当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，) C．（ D．(）【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设直线l的方程为y=k(x+1），由直线l与圆x2+y2=2x有两个交点，得到圆心C(1,0）到直线l的距离d小于圆半径，由此能求出斜率k的取值范围．【解答】解：当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=﹣1，此时直线与圆没有交点，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1)，∵直线l与圆x2+y2=2x有两个交点，圆x2+y2=2x的圆心C（1，0)，半径r==1，∴圆心C(1，0）到直线l的距离d=＜1,解得﹣．∴斜率k的取值范围是（﹣)．故选：C．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形,俯视图是半径为1的圆周和两条半径，则这个几何体的体积为(）A．π B．π C．π D．π【考点】L！：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆锥的，根据三视图的数据计算体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的,圆锥的底面半径为1，母线长为2,∴圆锥的高为．∴V=××=．故选A．7．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好,隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如:可以转化为平面上点M（x，y）与点N(a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为（）A． B． C． D．【考点】46：有理数指数幂的化简求值．【分析】f（x）=+,表示平面上点M(x，0）与点N（﹣2,4),H（﹣1,﹣3)的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f(x）=+=+，表示平面上点M(x，0)与点N(﹣2，4），H（﹣1,﹣3）的距离和，连接NH,与x轴交于M（x，0），则M(﹣，0），∴f（x)的最小值为=5，故选：C．8．已知四面体ABCD中,E，F分别是AC，BD的中点,若AB=6，CD=10，EF=7，则AB与CD所成角的度数为（）A．120° B．45° C．60° D．90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取AD中点G，连结EG、FG，则∠EGF是AB与CD所成角（或所成角的补角）,由此利用余弦定理能求出AB与CD所成角的度数．【解答】解:取AD中点G，连结EG、FG，∵四面体ABCD中，E，F分别是AC,BD的中点，AB=6，CD=10，EF=7，∴GF∥AB，且GF=，GE∥CD，且GE==5，∴∠EGF是AB与CD所成角（或所成角的补角)，∵cos∠EGF===﹣,∴∠EGF=120°,∴AB与CD所成角的度数为60°．故选：C．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若=,则cosB=（)A．﹣ B． C．﹣ D．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得=，解得tanB=，结合范围0＜B＜π，可求B=，即可得解cosB=．【解答】解:∵=,又∵由正弦定理可得：，∴=，解得:cosB=sinB，∴tanB=，0＜B＜π，∴B=，cosB=．故选：B．10．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°,30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形,由两角差的正切求出15°的正切值,然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan(45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣)=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120(﹣1)m．故选：B．11．已知直线l:x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点,则｜CD|=（）A． B．4 C． D．6【考点】J9:直线与圆的位置关系．【分析】利用垂径定理计算弦长|AB|,计算直线l的倾斜角,利用三角函数的定义计算CD．【解答】解:圆心（0，0）到直线l的距离d==3，圆的半径r=2,∴|AB|=2=2，设直线l的倾斜角为α，则tanα=，∴α=30°,过C作l的平行线交BD于E，则∠ECD=30°，CE=AB=2，∴CD===4．故选B．12．在三棱锥PABC中，PA=BC=4,PB=AC=5，PC=AB=，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（)A．26π B．12π C．8π D．24π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥P﹣ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥P﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=16，y2+z2=25，x2+z2=11，∴x2+y2+z2=26，∴三棱锥P﹣ABC外接球的直径为，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4π（）2=26π．故选：A．二、填空题(共4小题,每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=1，b=，则c=2或1．【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解．【解答】解:∵A=，a=1，b=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1=3+c2﹣2c×，整理可得：c2﹣3c+2=0，∴解得：c=2或1．故答案为:2或1．14．已知P为圆x2+y2=4上的动点．定点A的坐标为(3,4）,则线段AP中点M的轨迹方程（x﹣）2+（y﹣2）2=1．【考点】J3：轨迹方程．【分析】设M（x，y），利用中点坐标公式得出P点坐标,代入圆的方程化简即可．【解答】解：设M（x,y），则P(2x﹣3，2y﹣4),∵P在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣3）2+(2y﹣4）2=4，化简得:(x﹣)2+(y﹣2）2=1．故答案为:(x﹣）2+（y﹣2）2=1．15．已知三点A(1，1），B（4，2)，C（2，﹣2），则△ABC外接圆的方程为为x2+y2﹣6x+4=0．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,已知A(1，1)，B(4，2），C（2，﹣2），带入求出D，E,F的值，可得△ABC外接圆的方程．【解答】解:由题意：A（1，1），B（4，2）,C（2，﹣2）在圆上；圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有,解得：，∴圆的方程为x2+y2﹣6x+4=0，故答案为：x2+y2﹣6x+4=0．16．已知圆与圆，过动点P(a，b)分别作圆C1、圆C2的切线PM,PN，（M，N分别为切点），若|PM｜=|PN｜，则a2+b2﹣6a﹣4b+13的最小值是．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】P的轨迹为线段C1C2的中垂线：2x+6y﹣10=0，由a2+b2﹣6a﹣4b+13=（a﹣3）2+(b﹣2)2，得到a2+b2﹣6a﹣4b+13的最小值是点(3，2）到直线2x+6y﹣10=0的距离的平方，由此能求出结果．【解答】解：∵圆与圆，∴C1（0，0），C2（1，3），∵过动点P（a，b）分别作圆C1、圆C2的切线PM，PN，(M，N分别为切点），|PM｜=|PN｜,∴P的轨迹为线段C1C2的中垂线，线段C1C2的中点坐标为（,），线段C1C2的斜率k′==3,∴P的轨迹方程为，即2x+6y﹣10=0，∵a2+b2﹣6a﹣4b+13=（a﹣3）2+（b﹣2）2，∴a2+b2﹣6a﹣4b+13的最小值是点（3,2)到直线2x+6y﹣10=0的距离的平方，∴a2+b2﹣6a﹣4b+13的最小值为：d2=()2=．故答案为：．三、解答题（6题,共70分，要求写出解答过程或者推理步骤）17．己知直线2x﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+1=0交于点P．(1）求过点P且垂直于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程;（结果写成直线方程的一般式）（2)求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线l2方程(结果写成直线方程的一般式）【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】联立，解得P（1，1）．（1)设垂直于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程为4x﹣3y+m=0,把P（1，1）代入可得m,即可得出．（2)当直线l2经过原点时，可得方程为：y=x．当直线l2不过原点时，可设方程为：y+x=a，把P（1，1)代入可得a即可得出．【解答】解：联立，解得,∴P（1，1）．(1）设垂直于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程为4x﹣3y+m=0，把P(1，1）代入可得:4﹣3+m=0，解得m=﹣1．∴过点P且垂直于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程为4x﹣3y﹣1=0．（2）当直线l2经过原点时,可得方程为：y=x．当直线l2不过原点时,可设方程为：y+x=a，把P(1，1)代入可得1+1=a，可得a=2．∴直线l2的方程为x+y﹣2=0．综上可得：直线l2的方程为x+y﹣2=0或x﹣y=0．18．已知△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cosC（acosB+bcosA）=c．①求C；②若c=，ab=6．求△ABC的周长．【考点】HT:三角形中的几何计算．【分析】①根据正弦定理可得cosC=,即可求出C，②根据余弦定理即可求出a+b的值，即可得到三角形的周长．【解答】解：①∵2cosC（acosB+bcosA）=c由正弦定理得2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，∴2cosCsin（A+B)=sinC，∴2cosCsinC=sinC，∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴cosC=，∴C=；②由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，∴7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab═（a+b)2﹣18，解得a+b=5或a+b=﹣5（舍），∴a+b=5,∴△ABC的周长为a+b+c=5+．19．如图，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥DC,EA=2DC，F为EB的中点．(Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面AEB．【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LS：直线与平面平行的判定．【分析】(1）取AB的中点G,连结FG，GC，由三角形中位线定理可得FG∥AE，，结合已知DC∥AE,,可得四边形DCGF为平行四边形，得到FD∥GC，由线面平行的判定可得FD∥平面ABC;（2）由线面垂直的性质可得EA⊥面ABC，得到EA⊥GC，再由△ABC为等边三角形，得CG⊥AB，结合线面垂直的判定可得CG⊥平面EAB,再由面面垂直的判定可得面BDE⊥面EAB．【解答】（1）证明：取AB的中点G，连结FG,GC,∵在△EAB中，FG∥AE，，∵DC∥AE，，∴DC∥FG，FG=DC，∴四边形DCGF为平行四边形，则FD∥GC，又∵FD⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC;（2)证明：∵EA⊥面ABC，CG⊂平面ABC，∴EA⊥GC,∵△ABC为等边三角形,∴CG⊥AB，又EA∩AB=A，∴CG⊥平面EAB，∵CG∥FD，∴FD⊥面EAB,又∵FD⊂面BDE，∴面BDE⊥面EAB．20．已知：以点C（t，）(t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．（Ⅰ)当t=2时，求圆C的方程;（Ⅱ)求证:△OAB的面积为定值；（Ⅲ）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若｜OM｜=｜ON｜，求圆C的方程．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ)当t=2时，圆心为C(2，1）,即可得出圆C的方程；（Ⅱ）求出半径，写出圆的方程,再解出A、B的坐标,表示出面积即可；（Ⅲ）设MN的中点为H，则CH⊥MN，根据C、H、O三点共线，KMN=﹣2，由直线OC的斜率k=,求得t的值，可得所求的圆C的方程．【解答】(Ⅰ)解：当t=2时，圆心为C（2,1），∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；（Ⅱ）证明：由题设知,圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0．当y=0时,x=0或2t，则A（2t，0);当x=0时,y=0或,则B（0，），∴S△AOB=OA•OB=｜2t｜•||=4为定值．（Ⅲ）解：∵OM=ON，则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，KMN=﹣2,则直线OC的斜率k=，∴t=2或t=﹣2．∴圆心为C（2,1）或C(﹣2，﹣1)，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1)2=5或（x+2）2+(y+1）2=5．由于当圆方程为（x+2）2+（y+1)2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴所求的圆C的方程为(x﹣2）2+（y﹣1）2=5．21．如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点．将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE．(1）求证：平面BDE⊥平面ADE(2）求三棱锥C﹣BDE的体积【考点】LF：棱柱、棱锥