福建省泉州市南安一中高三上学期第二次段考数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年福建省泉州市南安一中高三（上）第二次段考数学试卷(理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x｜x2﹣3x＜0｝,B={x｜﹣2≤x≤2｝，则A∩B=（）A．{x|2≤x＜3｝ B．{x|﹣2≤x＜0｝ C．｛x｜0＜x≤2｝ D．｛x｜﹣2≤x＜3｝2．复数z满足（1+i）•z=2﹣i，则复数z的共轭复数=（）A． B． C． D．3．已知向量，，且，则实数k的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣34．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=32,则a3=（）A． B．2 C． D．5．下列命题中正确的是（（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0"D．命题p：∃x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥06．已知，则的取值范围是（）A．［0,+∞） B． C． D．7．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是(）A．2 B．3 C．4 D．58．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a,b，c,d∈N＊)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3。14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法"后可得π的近似分数为（）A． B． C． D．9．等比数列{an}中，a1=3，a8=9，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）,则f'（0）=（）A．36 B．39 C．312 D．31510．函数y=xsinx+cosx的图象大致为（)A． B． C． D．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，记a=25f（0.22）,b=f(1)，c=﹣log53×f（log5），则（)A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x)+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根,则b+c的取值范围为(）A．（﹣∞，3） B．（0，3] C．［0,3］ D．(0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．观察下列等式:13+23=32，13+23+33=62,13+23+33+43=102，…，则13+23+33+43+53+63=．14．已知一个正四面体的棱长为2,则其外接球表面积为．15．（x2+）dx=．16．若函数y=f(x）满足f（a+x）+f（a﹣x)=2b（其中a，b不同时为0），则称函数y=f（x）为“准奇函数"，称点（a，b)为函数f（x）的“中心点"．现有如下命题：①函数f（x）=sinx+1是准奇函数;②若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点"为（a，f（a）），则函数F（x）=f（x+a)﹣f（a)为R上的奇函数；③已知函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2是准奇函数，则它的“中心点"为(1,2)；其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N＊．（Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式;(Ⅱ）设anbn=，求数列｛bn}的前n项和为Tn．18．已知函数．(1）求函数f(x）的最小正周期以及单调递增区间；（2)将函数y=f(x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得图象向左平移个单位，得到函数y=g(x）的图象，求函数y=g(x）在的值域．19．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若,，且∥．(1）求角A；（2）若b+c=4，△ABC的面积为，求边a的长．20．已知数列（n∈N＊）．（1）证明:当n≥2，n∈N*时，;（2）若a＞1,对于任意n≥2，不等式恒成立，求x的取值范围．21．已知函数f（x)=(x3﹣6x2+3x+t）•ex，t∈R．（1）当t=1时，求函数y=f（x)在x=0处的切线方程；(2）若函数y=f(x）有三个不同的极值点,求t的取值范围;（3)若存在实数t∈[0,2]，使对任意的x∈［1,m］,不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．请考生在第22、23三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4—4:坐标系与参数方程］22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．现以点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为（t为参数)．(I）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(﹣2，﹣3)，求｜PA|•｜PB|的值．[选修4—5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=｜x﹣1｜．（1）解不等式f（x）+f(x+4）≥8；(2）若｜a｜＜1,｜b｜＜1，且a≠0,求证：f(ab）＞|a｜f（）．

2016—2017学年福建省泉州市南安一中高三（上)第二次段考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣3x＜0},B=｛x|﹣2≤x≤2｝,则A∩B=（)A．{x|2≤x＜3} B．{x｜﹣2≤x＜0} C．｛x|0＜x≤2｝ D．｛x|﹣2≤x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A中不等式的解集，根据集合B，求出得到两个集合的交集．【解答】解：A={x｜x2﹣3x＜0}={x｜0＜x＜3｝,∵B={x｜﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x｜0＜x≤2}，故选C．2．复数z满足（1+i）•z=2﹣i，则复数z的共轭复数=（）A． B． C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）•z=2﹣i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解:由（1+i）•z=2﹣i，得=，则复数z的共轭复数=．故选：B．3．已知向量，，且，则实数k的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解:∵向量,,且，∴=4k﹣6﹣6=0，解得实数k=3．故选:C．4．等差数列｛an}的前n项和为Sn，若S5=32，则a3=（）A． B．2 C． D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的性质，S5=5a3,即可得出．【解答】解：根据等差数列的性质,S5=5a3，∴．故选：A．5．下列命题中正确的是（()A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0,b＞0”是“+≥2"的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p:∃x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A根据且命题和或命题的概念判断即可；B均值定理等号成立的条件判断;C或的否定为且；D对存在命题的否定,应把存在改为任意，然后再否定结论．【解答】解：A、若p∨q为真命题，p和q至少有一个为真命题，故p∧q不一定为真命题，故错误;B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必须a=b时,等号才成立,故不是充分必要条件，故错误；C、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”,故错误；D、对存在命题的否定，应把存在改为任意,然后再否定结论，命题p：∃x0∈R,使得x02+x0﹣1＜0，则￢p:∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正确．故选：D．6．已知,则的取值范围是（）A．［0，+∞) B． C． D．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，联立方程解出各点的坐标；利用的几何意义是点（x，y）与点（﹣2,﹣1）的直线的斜率，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如右图,由解得，故点B（7,9）；同理可得，A（3,1）,D(1，3)；则的几何意义是点（x,y）与点（﹣2,﹣1）的直线的斜率，而kAC==，kCD==2;故≤z≤2，则的取值范围为［，2]．故选:B．7．若正数x,y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式．【分析】已知式子变形可得+=1，进而可得4x+3y=（4x+3y）（+）=++，由基本不等式求最值可得．【解答】解:∵正数x，y满足3x+y=5xy，∴=+=1，∴4x+3y=（4x+3y）(+）=++≥+2=5当且仅当=即x=且y=1时取等号，∴4x+3y的最小值是5故选：D8．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法"是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a,b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3。14159…，若令＜π＜,则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜,若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（)A． B． C． D．【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．【解答】解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法"后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故选：A．9．等比数列{an}中，a1=3，a8=9，函数f(x）=x（x﹣a1）(x﹣a2）…（x﹣a8)，则f'（0）=（）A．36 B．39 C．312 D．315【考点】等比数列的通项公式．【分析】求出f（x)的导函数，取x=0，结合已知及等比数列的性质可得答案．【解答】解:由f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2)…（x﹣a8),得f′（x)=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x［（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′，∴f′(0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=312．故选：C．10．函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法排除A，C选项，再根据单调性得出选项D．【解答】解：∵f（0）=1，排除A，C；f’（x）=xcosx，显然在（0，）上,f'（x)＞0，∴函数为递增,故选：D．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，记a=25f（0.22)，b=f（1），c=﹣log53×f（log5)，则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设g（x）=，利用对任意两个不相等的正数x1，x2,都有＜0,可得g（x）在(0，+∞）上单调递减，分别化简a，b，c,即可得出结论．【解答】解：设g(x）=,∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，∴g(x)在（0，+∞)上单调递减，∵a=25f（0.22）=g(0.22），b=f（1）=g(1），c=﹣log53×f(log5）=g（log5）,log5＜0＜0。22＜1，∴c＞a＞b．故选：B．12．已知函数f(x）=,若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R)有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为（)A．（﹣∞，3） B．（0，3] C．[0，3］ D．(0，3)【考点】分段函数的应用．【分析】题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f(x)=某个常数K，有2个不同的K,再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．【解答】解：根据题意作出f（x）的简图:由图象可得当f（x)∈(0,1]时,有四个不同的x与f(x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解"，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：令z=b+c,则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0)处z=0，所以b+c的取值范围为（0，3），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102,…，则13+23+33+43+53+63=212．【考点】归纳推理．【分析】观察已知等式得到一般性规律，即可确定出所求式子的值．【解答】解：由题意，13+23+33+43+53+…+n3=(1+2+…+n)2，所以13+23+33+43+53+63=212．故答案为：212．14．已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球表面积为6π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由正四面体的棱长,求出正四面体的高,设外接球半径为R，利用勾股定理求出R的值，可求外接球的表面积．【解答】解：正四面体的棱长为：2,底面三角形的高：×2,棱锥的高为:=,设外接球半径为R，R2=(×2﹣R）2+解得R=,所以外接球的表面积为：4π×22=×22;故答案为6π．15．（x2+）dx=．【考点】定积分．【分析】首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分，结合几何意义,然后分别求原函数代入求值．【解答】解：（x2+）dx=2x2dx+2dx=2×｜+2××π×12=．故答案为：．16．若函数y=f（x）满足f（a+x）+f(a﹣x）=2b(其中a，b不同时为0）,则称函数y=f（x）为“准奇函数”，称点(a，b）为函数f（x)的“中心点"．现有如下命题：①函数f（x)=sinx+1是准奇函数；②若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点"为(a，f（a）），则函数F(x)=f(x+a）﹣f（a）为R上的奇函数；③已知函数f(x）=x3﹣3x2+6x﹣2是准奇函数，则它的“中心点"为（1，2）；其中正确的命题是①②③．．(写出所有正确命题的序号）【考点】函数的值．【分析】在①中，f(0+x）+f（0﹣x）=2，得a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义；在②中，根据函数“准奇函数”的定义,利用函数奇偶性的定义即可证明函数F（x)=f（x+a)﹣f（a)为R上的奇函数;在③中，f（1+x)+f(1﹣x）=（1+x）3﹣3(1+x）2+6（1+x）﹣2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+6（1﹣x）﹣2=4，得点（1，2）为函数f（x）的“中心点”．【解答】解：在①中，∵函数f(x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0﹣x)=2，∴a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义，故①正确;在②中，若F（x)=f（x+a）﹣f（a)，则F（﹣x）+F(x）=f（x+a）﹣f（a）+f（﹣x+a）﹣f（a）=f（a﹣x）+f（a+x）﹣2f（a）,∵f（x)在R上的“中心点"为（a，f（a）),∴f（a﹣x）+f（a+x）=2f（a）,即F（﹣x）+F（x）=f（a﹣x)+f(a+x）﹣2f（a)=0,∴F（﹣x）=﹣F（x）,∴函数F（x)=f（x+a）﹣f（a）为R上的奇函数,∴故②正确．在③中,函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2,∴f（1+x）+f(1﹣x）=(1+x）3﹣3（1+x）2+6(1+x）﹣2+（1﹣x）3﹣3(1﹣x）2+6（1﹣x）﹣2=4，∴点（1，2)为函数f(x）的“中心点”,故③正确．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列｛an｝的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N＊．(Ⅰ）求数列｛an}的通项公式；（Ⅱ）设anbn=，求数列｛bn}的前n项和为Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）分n=1与n≥2讨论，从而判断出｛an｝是等比数列，从而求通项公式；(II）化简可得=3（﹣)，利用裂项求和法求解．【解答】解：（I）∵，①当n=1时,a1=a1﹣，∴a1=1，当n≥2时，∵Sn﹣1=an﹣1﹣,②①﹣②得：an=an﹣an﹣1，即：an=3an﹣1（n≥2），又∵a1=1,a2=3，∴对n∈N*都成立，故｛an}是等比数列，∴．（II）∵，∴=3（﹣），∴，∴,即Tn=．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间;（2）将函数y=f(x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的,把所得图象向左平移个单位,得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g(x)在的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性、周期性，得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g(x）的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域求得函数y=g（x）在的值域．【解答】解：（1）==，所以函数f（x）的最小正周期为．由，求得（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为．（2）由（1）知，将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，可得y=sin（4x﹣）的图象，再把所得图象向左平移个单位，可得的图象．∵x∈（﹣，0），∴4x+∈(﹣，），∴sin(4x+)∈（﹣,1］，∴g(x）∈（﹣，］，即值域为（﹣，]．19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，且∥．（1）求角A;（2）若b+c=4,△ABC的面积为，求边a的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据向量平行的坐标公式建立方程关系,利用余弦定理即可求∠A的大小；(2)利用三角形面积公式可求bc=3，进而利用余弦定理可求a的值．【解答】解：(1）∵，，且∥，∴b（sinC﹣sinB)﹣（c﹣a)（sinC+sinA）=0，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==,∴∠A=．（2)∵，∴bc=3；∴a2=b2+c2﹣2bc•cosA=，∴．20．已知数列（n∈N＊）．（1）证明：当n≥2,n∈N*时,；（2）若a＞1,对于任意n≥2,不等式恒成立，求x的取值范围．【考点】数学归纳法．【分析】（1）利用数学归纳法的证明步骤,证明求解即可．（2）构造函数f（n）=a2n﹣an，判断函数的单调性，转化不等式为，对数不等式,通过函数的性质，转化求解即可．【解答】（1）证：①当n=2时，左边=,右边=，左边＞右边，命题成立；②假设n=k时命题成立,即：；那么n=k+1时，==∴n=k+1时命题成立,∴对于n≥2，n∈N*命题都成立．（2）令f（n)=a2n﹣an=，∴f（n+1)﹣f（n）=﹣（）==＞0，即f（n）单调递增，∴a2n﹣an≥f（2）=，故问题转化为:＞（loga+1x﹣logax+1)恒成立，可得loga+1x＜logax，即：lgx(lg（a+1）﹣lga）＞0,可得x＞1．21．已知函数f(x）=（x3﹣6x2+3x+t）•ex，t∈R．（1）当t=1时，求函数y=f（x)在x=0处的切线方程;（2）若函数y=f(x）有三个不同的极值点，求t的取值范围；（3）若存在实数t∈[0，2］，使对任意的x∈[1，m],不等式f(x）≤x恒成立,求正整数m的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数,就是f（0），f′（0），求出切线方程即可；(2)求导函数，利用f（x)有三个极值点，可得f′（x)=0有三个根，构造新函数,确定其单调性，从而可得不等式，即可求t的取值范围;（3）不等式f(x)≤x，即（x3﹣6x2+3x+t)ex≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x，转化为存在实数t∈［0，2],使对任意的x∈[1，m］，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立，构造新函数，确定单调性，计算相应函数值的正负，即可求正整数m的最大值．【解答】解:(1）∵t=1，f（x）=（x3﹣6x2+3x+1)•ex，∴f'（x）=（x3﹣3x2﹣9x+4）•ex，∴f'（0）=4；∵f（0)=1,即切点（0,1）,∴y=f（x）在x=0处的切线方程为：y=4x+1．(2）f′（x）=（3x2﹣12x+3)ex+（x3﹣6x2+3x+t）ex=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex∵f（x）有三个极值点,∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有三个根，令g(x)=x3﹣3x2﹣9x+t+3，g′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）∴g(x)在（﹣∞，﹣1）,（3，+∞）上递增,（﹣1，3）上递减,∵g(x）有三个零点，∴，∴﹣8＜t＜24；(3)不等式f（x)≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m］,不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式2≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈［1，m］上恒成立；设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ（x）=﹣g﹣x﹣2x+6．设r(x）=φ(x）=﹣g﹣x﹣2x+6,则r′（x）=g﹣x﹣2,因为1≤x≤m，有r′（x）＜0．故r（x）在区间［1，m］上是减函数，又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0,r（3）=﹣e﹣3＜0故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ′（x)＞0,当x＞x0时,有φ′（x）＜0．从而y=φ（x)在区间[1，x0）上递增，在区间（x0,+∞）上递减；又φ（1)=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0φ（4）=e﹣4+5＞0,φ（5）=e﹣5+2＞0，φ(6)=e﹣6﹣3＜0所以当1≤x≤5时,恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x