八年级数学下册数学活动(三)导学案新人教版中学学案

ΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（字表示面积的编号（如图）.在ΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（字表示面积的编号（如图）.在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，则AD=c.∵EM=EH+HM=边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每1所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌abb优质资料欢迎下载∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵AB=AD=c，AE直角三角形的面积等于ab.把这四个直角三角形拼成如图所示2baDaccFaaEbBbGacc数学活动（三）【导学目标】【导学重点】进行两个活动.【导学难点】【学法指导】合作探究.【课前准备】搜集勾股定理的证明方法.【导学流程】一、呈现目标、明确任务研究一些勾股定理的证明方法和勾股定理的应用.二、教师引导活动一、证明勾股定理的方法很多.大家把自己搜集来的方法展示给小组成员，并进行四、点拨升华、当堂达标为直角边，风筝线为斜边.附：勾股定理的证明a2b2理得a2a2b2理得a2做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方12cbaaabaabcbaaabaacabbb以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个1C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.aacccbaabbcCbHbA欢迎下载H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交欢迎下载H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵BC=90,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于ab2.DbcGHEB优质资料欢迎下它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为B=CA=b，AP=a，从而PH=ba.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴2∵∠HAD+∠HAD=90∴∠EAB+∠HAD=90∴ABCD是一个边长为c∵EF=FG=GH=HE=b∠HEF=90.∴EFGH是一个边长为b12个直角三角形的面积等于ab.把这两个直角三角形拼成如图212FCaA∴四边形EFGH是一个边长为c的∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.又∵∠GHE=90,∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于ab2.12以a、b为直角边（b＞a以c为斜边作四个全等的直角三1角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,c2.∴a2b2c2.以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每1所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于ab2.DbcGHEBCCDAEaBabc，∠CDB≠90.这与作法CD⊥AB矛盾.所以，AC2BC2AB2的假设不能成立.∴a2b2c2.【为c，过点C作CD⊥AB，∠CDB≠90.这与作法CD⊥AB矛盾.所以，AC2BC2AB2的假设不能成立.∴a2b2c2.【为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC=∠ACB=90，∠CAD=∠=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，∴∴AB2BC2AC2，即c2a2b2，a2b2c2.【，从而有AC2BC2ADDBAB【证法9】（杨作玫证明）BC2BDAB.AB2，即a2b22做两个全12cFQbcMcCKFaAME一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，又∵AB=BE=EG=GA=c，∴∠ABC+∠CBE=90.优质资料欢迎下载12c2.2∴a2b2c2.FFaGccbEPbcabaaDAcBbCH∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.即∠CB90.BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.EaAPbcCNaB∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90，∴∠QBM=∠ABC，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使GHabbBcD斜边.附：勾股定理的证明以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个1斜边.附：勾股定理的证明以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个1形状，使A、E、∠B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB=90，B∴∠ADC≠90QAM，又得QM=AE=a，∠AQ∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90，∠BAE+∠CAR=90，∠B=CA=b，AP=a，从而PH=ba.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴12CabDcABGaDcb9c21FA34567EBaC8RHPQTH、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=a2.同理可证，矩形MLEB的面积=b2b∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积∴c2a2b2，即a2b2c2.斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC=∠ACB=90，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB，即AC2ADAB.AC2BC2ADDBABBC2BDAB.AB2，即a2b22做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∴∠DAH=∠BAC.AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HD∠TDH=90，∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GTGF=ba.面积等于ab2.12【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三1斜边.附：勾股定理的证明以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个1形状，使A、E、证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b面积等于ab2.12【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三1斜边.附：勾股定理的证明以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个1形状，使A、E、证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90,∴∠EHA+∠GHD=Tb831aMEA2CD∠DBC+∠BHT=∠TBH+c2S4=即a2243S1S6S313SS8三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90BT=BE=b，∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GTHT=ba.BR6H7GF45cQ又∵∠GHF+∠BHT=90∠BHT=90，∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EBED=b∠HGF=∠BDC=90∴RtΔHGF≌RtΔBDC.过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90，可知∠ABE=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8S5.由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQ∠BAE.∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90，QM=AR=a，又∵S7=12bb5S4S72.条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTHBCD.把2,【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.它的面积等于c2.条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTHBCD.把2,【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.它的面积等于c2.∴a2b2c2.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.∵∴cabc2r，ab2r==即∴DaAbbBaCAE=AF，BF=BD，CD=CE，ACBCABAECEBDCDAFBFACECDF=DBaCbABCa2b22ab在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得AC2AEADABBEABBD=c2a2ECCaaBaDAbb2c2a2a2b2c2在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD两对边乘积之和，有ABDCADBCACBD∵AB=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，AB2BC2AC2，即c2a2b2，a2b2c2.在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分∵∴c.∴∴等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把a.BR6H7GF45cQ又∵∠GHF+∠BHT=90，∠等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把a.BR6H7GF45cQ又∵∠GHF+∠BHT=90，∠BHT=90，∴∠GHF=∠DBC.∵DB条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，∴∴AB2BC2AC2，即c2a2b2，a2b2c2.【∴a2b2c2.AabB1212abcDb2aC斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假设a2b2c2，即假设AC2BC2AB2，则由AB2ABAB=ABADBD=ABADABBD可知AC2ABAD，或者BC2ABBD.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，在ΔCDB和ΔACB中，∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB=90，CCabDcAB这与作法CD⊥AB矛盾.所以，AC2BC2AB2的假设不能成立.∴a2b2c2.ABCD的面积为ab24abc2正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部ABCD的面积为ab24abc2ab2a2