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文档简介
新知初探课前预习教材要点要点指数函数的图象与性质表达式y=ax(a>1)y=ax(0<a<1)图象定义域R值域________性质函数的图象过点________,即a0=1是R上的________是R上的________
(0,+∞)(0,1)增函数减函数状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.当a>1时,指数函数的图象是“上升”的;当0<a<1时,指数函数的图象是“下降”的.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)指数函数的图象都在y轴上方.(
)(2)因为a0=1(a>0且a≠1),所以函数y=ax恒过(0,1)点.(
)(3)若指数函数y=mx是减函数,则0<m<1.(
)(4)函数y=3x的图象在函数y=2x图象的上方.(
)××√√2.函数y=2-x的图象是(
)答案:B
答案:A解析:由2x-1≥0,得2x≥20,∴x≥0.4.函数y=ax-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点,则它的坐标为________.(2,1)解析:令x-2=0,即x=2时,y=1,∴函数y=ax-2的图象恒过定点(2,1).题型探究课堂解透
方法归纳与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0且a≠1):(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;(2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函数y=af(x)的值域;(3)求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即u=ax的值域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,得y=f(ax)的定义域;(4)求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围,再确定函数y=f(u)的值域,即为y=f(ax)的值域.
A(0,1]
答案:D
方法归纳解决指数型函数图象过定点问题的思路指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1),据此可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,a≠1)的函数图象过定点的问题,即令指数x+c=0,即x=-c,得y=k+b,函数图象过定点(-c,k+b).角度2指数函数的底与其图象的关系例3
如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为(
)A.a<b<1<c<d
B.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<d
D.a<b<1<d<c答案:B解析:由图象可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x=1,如图所示,在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数,则1<d<c,b<a<1,从而可知a,b,c,d与1的大小关系为b<a<1<d<c.故选B.方法归纳设a>b>1>c>d>0,则y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图所示,从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大,或者说在第一象限内,指数函数的图象,底数大的在上边,也可以说底数越大越靠近y轴.
答案:D
方法归纳识别与指数函数图象有关问题应把握三点:(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1;(2)在y轴右侧,指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大;在y轴左侧,指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小;(3)根据“左加右减,上加下减”的原则,确定图象的平移变换,从而确定指数型.跟踪训练2
(1)已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为(
)
答案:C解析:(1)由于0<m<n<1,所以y=mx与y=nx都是减函数,故排除A,B,作直线x=1与两个曲线相交,交点在下面的是函数y=mx的图象,故选C.(2)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax与g(x)=ax的图象可能是(
)
答案:B解析:(2)需要对a讨论:①当a>1时,f(x)=ax过原点且斜率大于1,g(x)=ax是递增的;②当0<a<1时,f(x)=ax过原点且斜率小于1,g(x)=ax是减函数,显然B正确.故选B(3)设函数f(x)=3ax+1-1(a>0且a≠1)恒过定点(m,n),则m+n=________.1解析:
(3)令x+1=0,即x=-1时,此时f(-1)=2.∴m=-1,n=2,∴m+n=-1+2=1.题型3指数函数图象的综合应用例5
若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个不同的交点,求a的取值范围.
方法归纳数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想,对于不易求解的方程解的个数问题,常构造函数,转化为函数图象的交点问题来解决.跟踪训练3
若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是___________.[-1,1]
解析:曲线|y|=2x+1与直线y=b如图所示,由图象可知:如果曲线|y
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