2023-2024学年湘教版数学七年级上册 4.3 角

4.3.1

第1课时

角与角的大小比较第4章图形的认识4.3角

观察左边的实物，你发现这些实物能抽象出什么样的共同形象？——角情境导入2

观察角的图形，你能归纳出角的概念吗？尝试去描述一下角是由什么组成的图形.观察与思考角的定义及表示方法OAB

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.(静态定义)始边终边概念学习

一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角.(动态定义)公共端点—-角的顶点两条射线—-角的边角的内部OABOA(B)平角周角OAB(B)平角的两边成一条直线.周角的两边重合成一条射线.

当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的角叫做平角.

当射线绕端点旋转一周，又重新回到原来的位置时，所成的角叫做周角.判断下列哪些图形是角：()(

)(

)(

)练一练是不是是是(1)表示角的几何符号是什么？(2)表示一个角有几种方法？(3)用三个大写字母表示一个角应注意什么？(4)什么情况下可以用角的顶点表示这个角？(5)用希腊字母和阿拉伯数字表示一个角应注意什么？合作探究1AOB记作：∠AOB或∠BOA．AOB记作：∠O．α记作：∠α．1记作：∠1．说一说方法图示记法适用范围1.用三个大写字母表示∠AOB

或∠BOA任何角2.用一个大写字母表示∠O顶点处只有一个角3.用一个数字或希腊字母来表示∠α∠1有弧线和数字，弧线和小写希腊字母OABO1角的表示方法总结α典例精析[解析](2)数出以

A为顶点的角，可先按逆时针的方向数出以

AB为一边的角，再数出以

AD为一边的角，最后数出以

AE为一边的角．

例1

根据下图填空：(1)图中能用顶点的一个大写字母表示的角有__________；(2)以

A为顶点的角有______________________________________________.∠B，∠C∠BAD，∠BAE，∠BAC，∠DAE，∠DAC，∠EAC

如图，下面的表示方法对不对，如果错了，应该怎样改正？(1)图中的∠1表示成∠A；(2)图中的∠2表示成∠D；(3)图中的∠3表示成∠C.解：(1)图中的∠1表示成∠DAC.(2)图中的∠2表示成∠ADC.(3)图中的∠3表示成∠ECF.做一做

类比线段长短的比较方法，你认为该如何比较两个角的大小？合作探究结论：角的大小比较：度量法、叠合法比较角的大小叠合法OBAO'CDOBAO'CDOBAO'CD1.若射线

O'C与射线

OB重合，那么∠DO'C___∠AOB.2.若射线

O'C在∠AOB外部，那∠DO'C___∠AOB.3.若射线O'C在∠AOB内部，那么∠DO'C___∠AOB.=><O'CD1.角的大小与两边画出部分的长短是否相关？2.一个30°

的角用能放大3倍的放大镜观看，看到的角度有何变化？

议一议角的大小与两边画出部分的长短无关.不变.结论：角的两边张开越大，角就越大，与所画边的长短无关.图中有几个角？它们之间有什么关系？图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；它们的关系：∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=

.观察与思考∠BOCABOC例2

根据下图，回答下列问题：(1)试比较∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC的大小；(2)在图中找出角的三个等量关系．解：(1)由图可知∠AOB>∠AOC>∠AOD>∠AOE.(2)等量关系：∠COE＝∠EOD＋∠COD，∠AOB＝∠AOE＋∠BOE，∠DOB＝∠COD＋∠BOC等．做一做如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD与∠BOC

的关系是(

)A.∠AOD＞∠BOC

B.∠AOD＜∠BOCC.∠AOD＝∠BOC

D.无法确定C

活动：大家在练习本上画一个角，然后把角的两边对折，展开以后你会发现折痕把角分成了两个角，这两个角有什么关系呢，它们又和原来的角有着怎样的等量关系？观察思考角平分线

以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.角平分线的定义因为

OC是∠AOB的角平分线，所以∠AOC＝∠BOC=∠AOB，或∠AOB

＝2∠BOC＝2∠AOC.几何语言OBAC

如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是()A做一做OABCD1.

下列语句正确的是()A.两条直线相交，组成的图形叫做角B.两条有公共端点的线段组成的图形叫做角C.两条有公共点的射线组成的图形叫做角D.从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角D2.

下列说法不正确的是()A.∠AOB的顶点是

OB.射线

BO，AO分别是∠AOB的两条边C.∠AOB的边是两条射线D.∠AOB与∠BOA表示同一个角B3.判断

(1)直线是一个平角()

(2)如图①，点P不在∠AOB的内部()(3)如图②，∠ABC

与∠DBE是同一个角()AOB·PDABC·E·××√图①图②4.

如图所示：(1)图中共有多少个角

(0°

到180°)？请写出能用一个字母表示的角；(2)把图中所有的角都表示出来.ABC4321O答案：8个；∠A，∠O.答案：∠A，∠O，∠1，

∠2，∠3，∠4，

∠ABC，∠ACB.5.(1)如图∠AOB内部画1条射线，问图中一共有多少个角？如果是画2条、3条呢？(2)∠AOB内部画99条射线，问图中一共有多少个角？如果是(n－1)条呢？答案：5050个，(1+2+3+…+n)=个.AOB答案：3个，6个，10个.AOB…能力提升：角与角的大小比较角的概念及表示方法角的大小比较角平分线叠合法度量法4.3.2

角的度量与计算第4章图形的认识4.3

角第

2课时角的度量与计算你知道这一副三角板每个角的大小吗？问题1如何衡量一个角的大小？合作探究角的分类问题2用量角器可以量出角的度数，那么“

1度”到底是多大呢?

把一个周角

(即它的旋转量)分为

360

等份，每一等份叫做

1

度，记做

1°.1

度的概念角的分类

平角的一半

(即

90°

的角)

叫做直角.

小于直角

(即小于

90°

)的角叫做锐角.

大于直角但小于平角

(即大于

90°

但小于180°

)的

角叫做钝角.一个周角等于

360°，一个平角等于

180°.AOBCDE2.时钟的分针每60分钟转一圈

(360度)，那么每分钟转

度，转90度需

分钟，时针每小时转

度.61530练一练1.下列关于平角、周角的说法正确的是(

)A．平角是一条直线B．周角是一条射线C．反向延长射线

OA，就形成一个平角D．两个锐角的和不一定小于平角C

由于角的度数不一定都是整数，所以我们引入了更小的单位来度量角.角的单位换算

把

1°

的角分成

60

等份，每一等份叫做

1

分，记做1'.

把

1′

的角分成

60

等份，每一等份叫做

1

秒，记做

1″.即角的单位是60进制！角的计算例1用度、分、秒表示

54.26°.解：54.26°

=54°

+0.26°.又

0.26°

=0.26×60′=15.6′

=15′

+

0.6′，而

0.6′

=0.6×60″

=36″，因此，54.26°

=54°15′

36″.按1°＝60′，1′＝60″先把度化成分，再把分化成秒(小数化整数)典例精析例2

把48°25′48″化成度．解：48°25′48″=48°

+25′+48×'=48°

+25.8'=48°

+25.8×°

=48.43°

按1″＝

，1′＝

先把秒化成分，再把分化成度(整数化小数)度分秒×60×60×3600÷60÷3600÷60度分秒进率关系图除不尽可以四舍五入取近似值练一练例3计算：(1)37°28′+24°35′；(2)83°20′-45°38′20″；(3)25°53′28″×5；

(4)15°20′÷6.解：(1)

37°28′+24°35′=61°63′=62°3′.(2)

83°20′-45°38′20″=82°79′60″-45°38′20″=37°41′40″.逢“60”进“1”不够减，向前一位借“1”(3)25°53′28″×5＝25°×5＋53′×5＋28″×5＝125°＋265′＋140″＝125°＋267′＋20″＝129°27′20″.(4)15°20′÷6＝12°200′÷6＝12°÷6＋200′÷6＝2°＋198′÷6＋2′÷6＝2°＋33′＋120″÷6

＝2°33′20″.

在进行度、分、秒的加、减、乘、除运算时，要注意三点：

①度、分、秒均是60进制的；

②加、减法的运算，可以本着“度与度加减、分与分加减、秒与秒加减，不够减的时候借位”的原则；③乘、除法运算可以按分配律来进行，不够除可以把余数化为低位的再除．方法总结练一练

计算：(1)20°26′+35°54′；

(2)90°

-

43°18′.解：(1)

20°26′+35°54′=55°80′=56°20′.(2)

90°

-43°18′=89°60′-43°18′=46°42′.例4

小红早晨8：30出发，中午12：30到家，则小红出发时时针和分针的夹角为

，到家时时针和分针的夹角为

.解析：与12点整相比，8：30时，时针转过了(8＋)×30°＝255°，分针转过了30×6°＝180°，所以夹角为255°－180°＝75°.同理12：30时，时针和分针的夹角为165°.75°165°

钟表在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是

度.【解析】可以画出草图，如图所示，要注意的是3点半时，分针指在正下方6处，而时针并非指在3处，而是在3与4的正中间，所以分针和时针的夹角为90°－×30°＝75°.75练一练确定相应钟表上时针与分针所成的角度开动脑筋30°120°90°0°1.下列算式正确的是(

)①33.33°＝33°3′3″；②33.33°＝33°19′48″；③50°40′33″＝50.43°；④50°40′30″＝50.675°.A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④D3.比较大小：74.45°_______74°45′.<2.填空：（1）0.65°=

′；（2）32.43°=

°

′

″；（3）120°38′54″=

°；（4）108°40′24″=________°.39322548120.65108.674.时钟4点15分时，时针和分针所成的角为_____°.37.55.计算下列各题：(1)153°39′＋25°40′38″；(2)90°－37°24′38″.解：(1)153°39′＋25°40′38″＝178°79′38″＝179°19′38″.(2)90°－37°24′38″＝89°59′60″－37°24′38″＝52°35′22″.角的度量与计算角的分类角的单位的换算角的和、差计算

周角钝角锐角平角直角4.3.2

角的度量与计算第4章图形的认识4.3

角第

3课时余角和补角12比萨斜塔

情境引入13比萨斜塔

活动：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.1234思考：1.∠1与∠2有什么数量关系？∠1+∠2=90°.2.∠3与∠4有什么数量关系？∠3+∠4=180°.合作探究余角和补角的概念1

如果两个角的和等于90°

(直角)，那么说这两个角互为余角

(简称为两个角互余

).如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.2概念学习几何语言表示为：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角

如果两个角的和等于180°(平角)，那么说这两个角互为补角

(简称为两个角互补

).如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.43概念学习几何语言表示为：若∠3+∠4=180°，则∠3与∠4互为补角1.图中给出的各角，哪些互为余角？15°24°66°75°46.2°43.8°练一练2.图中给出的各角，哪些互为补角？10°30°60°80°100°120°150°170°练一练∠α∠α

的余角∠α

的补角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°观察与思考(90－x)°(180－x)°观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.90°

5）如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠1、∠2、∠3这三个角互为余角.（）3）同一个角的补角比它的余角大90度.（）4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（

）

2）一个角的补角必为钝角.（）1）一个角的余角必为锐角.（）×√×√×判一判

例1如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数.解：因为∠AOB与∠BOD互为余角，所以∠BOD=90°

-∠AOB

=90°

-

29.66°

=60.34°.

又因为

OC是∠BOD的平分线，因此，∠COD

的度数为30.17°.

29.66°60.34°所以30.17°典例精析例2已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数.解：设这个角为

x°，则这个角的余角为

(90-

x)°，补角为

(180

-

x)°.根据题意，得

，解得x=45.因此，这个角的度数为

45°.练一练

已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.解：设∠B

的度数为

x°，则∠A的度数为

(3x+30)°.根据题意得：x+(3x+30)=90.解得x=15.故∠B的度数为15°.方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题.∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？思考：12同角

(等角)的补角相等.结论：3∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1同角(等角)的余角相等.类似地，可以得到：=余角和补角的性质

如图，已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.∠BOC和∠AOD练一练O

A

B

C

D

例3

如图，点

A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？解：因为点

A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.O

A

B

C

D

E

又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+

∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.O

A

B

C

D

E

所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.解：OE

平分∠BOC，理由如下：因为∠DOE

=

90°，所以∠AOD

+∠BOE

=

90°.所以∠COD

+∠COE

=

90°.所以∠AOD

+∠BOE

=∠COD

+∠COE.因为

OD

平分∠AOC，所以∠AOD

=∠COD.所以∠COE

=∠BOE，所以

OE

平分∠BOC.变式训练：如图，O

在直线

AB

上，OD

平分∠AOC，∠DOE

=

90°.（1）∠AOD

的余角是_______________，∠COD

的余角是_______________；（2）OE

是∠BOC

的平分线吗？请说明理由．∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

∠COE、∠BOE例4

如图，已知

O

为

AD

上一点，∠AOC

与∠AOB

互补，OM，ON

分别为∠AOC，∠AOB

的平分线，若∠MON

=

40°，试求∠AOC

与∠AOB

的度数．O

DA

B

C

N

M

解：设∠AOB

=

x.因为∠AOC

与∠AOB

互补，所以∠AOC

=

180°

-

x．因为

OM，ON

分别为∠AOC，∠AOB

的平分线，所以∠AOM=(180°

-

x