2024届一轮复习人教A版 三角函数与解三角形 作业（一）

人教版�2024届�高二下学期��一轮复习�三角函数与解三角形（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．2．设，则（

）A． B．C． D．3．在中，内角所对的边分别为.已知，则A． B． C． D．4．已知，，则（

）A． B． C． D．5．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（

）A．， B．，C．， D．，6．将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移π/2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A．4 B．6 C．8 D．127．在中，，为线段上的点，且.若，则（

）A． B． C． D．8．已知，且，则的可能取值为（）A． B． C． D．二、多选题9．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）．A．点第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为10．已知直线与函数的图象相交，A，B，C是从左到右的三个相邻交点，设，，则下列结论正确的是（

）．A．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称B．若，则C．若在上无最值，则的最大值为D．11．若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（

）A． B． C．0 D．112．设函数，则下列结论中正确的是（

）A．的最小正周期为 B．在单调递减C．的图象关于直线对称 D．的值城为三、填空题13．已知函数的图象关于直线对称，则___．14．在中，的对边分别是，且，则角的大小为_________.15．已知中，，则___________.16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为_____．四、解答题17．的内角，，所对的边分别为，，.(1)求的大小；(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.①为的外心，；②为的垂心，；③为的内心，.18．设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，在①；②这两个条件中任选一个作为条件，试探究符合条件的是否存在，若存在，求b；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．在中.，D为BC边上的一点，，再从下列三个条件中选择两个作为已知，求的面积及BD的长.①；②；③.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.20．如图，在平面四边形中，，，，.（1）求的值；（2）求的值.21．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）在锐角中，角所对的边分别为，若，，求面积的最大值．22．在①；②；这两个条件中任取一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目在中，角所对的边分别为，为的面积，已知_________．(1)求证：；(2)若，且，求的值．参考答案：1．A【分析】根据题意将条件化简可得且，设设，利用换元法和三角函数的有界性即可求解.【详解】由可知：，则且，不妨设.，等式右边是的偶函数，故不妨令.，故当且仅当时取最小值.故选：A.2．A【分析】利用指数函数、对数函数和正弦函数的性质比较与中间量0，1的大小，从而可得结论【详解】因为在上为减函数，且，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，即，因为，所以，故选：A3．C【分析】先利用两角差的余弦公式，化求得，再利用正弦定理的边角互化，求得，进而利用三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由题意知，可得，根据正弦定理可得，即，又由，则，可得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式的化简和三角函数的基本关系式，以及正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得；【详解】解：因为，所以，又，所以，所以。即，所以故选：B5．A【分析】根据图象与轴的交点纵坐标与振幅的关系，结合所处的区间的单调性，以及后续的单调递增区间上的零点，列出方程组求解即得.【详解】由函数图象与轴的交点纵坐标为1，等于振幅2的一半，且此交点处于函数的单调减区间上，同时在同一周期内的后续单调区间上的零点的横坐标为,并结合，，可知，解得，,故选：A6．B【详解】解：因为将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移π/2个单位．若所得图象与原图象重合，所以π/2是已知函数周期的整数倍，即k•2π/ω=π/2（k∈Z），解得ω=4k（k∈Z），A，C，D正确．故选B．7．B【分析】转化，结合余弦定理，即可求解x,得到.【详解】不妨设由余弦定理：联立得到：故选：B【点睛】本题考查了解三角形和向量综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8．A【详解】由，得，则，所以可能的取值为-3，故选A．9．ABC【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，结合选项依次判断即可.【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，由题意得：解得故．故D错误；对于A，令，即，解得：，故A正确；对于B，令，代入，解得：，故B正确；对于C，令，代入，解得：，故C正确．故选：ABC10．BCD【分析】根据三角函数图象的平移变换和奇函数的定义即可判断A；根据三角函数的周期性和图象中波峰的特点即可判断B；根据题意可知在上是单调的，进而可得，求出的范围即可判断C；根据B选项的分析可得，则，构造函数，利用导数讨论函数的单调性，即可判断D.【详解】A：将函数的图象向右平移个长度单位，则，若图象关于原点对称，则为奇函数，有()，解得()，又，得，所以当且仅当且时，图象关于原点对称，故A错误；B：若，则，即，设，则，且，所以，得①，又点A、B的中点的横坐标为，则，所以，即②，由①②得，，有，，所以，所以，故B正确；C：由函数在上无最值，知在上是单调的，有，所以，，解得，，所以当时，取得最大值，故C正确；D：由B选项的分析可知，，，两式相加，得，有，所以，即，所以，令，则，又，易得在上单增，且，所以，所以，则函数在上单调递减，所以，即，故D正确.故选：BCD11．AC【分析】整理换元之后，原问题转化为在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.作出简图，数形结合可得结果.【详解】整理可得，令，因为，则.所以在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.由图可知，或，解得或.故选：AC.12．AD【分析】求出函数的周期性判断A；讨论在子区间上单调性判断B；举例说明判断C；分段讨论函数并求出值域判断D作答.【详解】依题意，，则的最小正周期为，A正确；当时，令，，而函数在上单调递减，在上单调递减，因此，在上单调递增，B不正确；因，，即图象上的点关于直线对称点不在的图象上，C不正确；当时，，则，当时，，因此，的值城为，D正确.故选：AD13．【分析】由函数的图象关于直线对称可得,化简得的值,再根据,计算可得结果.【详解】因为函数的图象关于直线对称,,即,即,即,则,故答案为.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用、考查了同角三角函数的关系以及二倍角公式的应用，属于中档题.应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.14．【解析】由得，即，然后即可求出答案.【详解】由及正弦定理得：，即.∵在中，，∴，∵，∴.故答案为：【点睛】本题考查的是利用正弦定理进行边角互化及三角函数的和差公式，较为典型.15．2或4【分析】根据正弦定理求出C，再根据B的大小得到AC.【详解】，，，或当时，，,当时，,为等腰三角形，故故答案为：2或416．6【详解】设，由题设可得，则，故，即，则当时，，即，应填答案．点睛：本题以三角形中的边角关系为背景设置了求三角形面积的最大值问题．求解时，先运用余弦定理求得等腰三角形的顶角的余弦值，再运用三角函数中的平方关系求出其正弦值，然后依据三角形的面积公式，建立关于三角形的边长的函数关系，进而借助二次函数的图像和性质，分析探求出其最大值使得问题获解．17．(1)(2)答案见解析【分析】（1）由余弦定理得，，可得根据可得答案；（2）选①，设的外接圆半径为，由正弦定理得，为外心得，与盾，故不能选①.选②，为的垂心得，由，，得，利用，求得，可得出为等边三角形，再由面积公式可得答案.选③，为的内心，所以，由和正弦定理可得，结合，和面积公式可得答案；（1）在中，由余弦定理得，又因为，，所以，整理得.在中，由余弦定理得，所以，即又因为，所以.（2）选①，设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，因为为外心，所以，与盾，故不能选①.选②，因为为的垂心，所以，又，所以在中，，同理可得，又因为，所以，即，又因为在中，，所以，因此，故，为方程两根，即，因为，，所以，所以为等边三角形，所以.选③，因为为的内心，所以，由，得，因为，所以，即，由（1）可得，即，所以，即，又因为，所以，所以.18．(1)(2)选①，不存在；选②，存在，【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，结合，求出；（2）选①：由正弦定理得到，进而得到，，故锐角不存在；选②：求出，，满足为锐角三角形，进而由正弦定理求出.【详解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因为，所以；（2）选①：，锐角中，，，，由正弦定理得：，即，解得：，因为为锐角三角形，所以，因为在上单调递增，且，所以，此时，此时与为锐角三角形矛盾，这样的三角形不存在；选②：，锐角中，，，，则，故，满足均为锐角，满足题意，，由正弦定理得：，即，解得：，故符合条件的存在，.19．，.【分析】根据所选条件，结合余弦定理求、，即可得BD的长，结合二倍角余弦公式或直角三角形求，最后利用三角形面积公式求面积.【详解】选①②：因为，，所以，，.所以，且.在中，，所以，所以的面积为.选择①③：因为，，，所以，所以，即，所以，则的面积为.选择②③：因为，，所以，因为，，则，所以，故，所以的面积为.20．（1）；（2）.【分析】（1）先由正弦定理求得，根据三角形内角和求出，从而求得；（2）由（1）可知，再结合余弦定理即可求得结果．【详解】（1）由正弦定理，得，即.所以，故.所以.（2）由（1）可知，所以.由余弦定理，得，所以.21．(I)增区间为递减区间为;(Ⅱ).

【详解】试题分析：(I)先根据二倍角公式将化简,再根据复合函数单调性求出的单调区间.(Ⅱ)由得得在中由余弦定理和基本不等式得到关于的不等式，从而得到面积的最大值.试题解析：(I)令，则即的递增区间为类似可得的递减区间为(Ⅱ)由得，，注意到是锐角三角形，

∴由余弦定理得，将,代入得

由基本不等式得，即∴，即面积的最大值为.

22．(1)证明见解析(2)或.【分析】（1）若选择①，利用二倍角的正弦公式、降次公式和正弦定理变形可得