冀教版九年级数学上册 （垂径定理）课件

垂径定理第二十八章

圆

情景导入问题

赵州桥的半径是多少？它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？获取新知知识点一：垂径定理问题1

如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．沿着CD所在的直线折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE线段：AE=BE弧：AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，根据前面的说理，点A与点B重合，AE与BE重合，AD和BD,AC与BC重合．⌒⌒⌒⌒·OABCED证明:如图所示,连接OA,OB.在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,∴∠AOC=∠BOC.如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证：AE=BE，AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒∴AD=BD.⌒⌒∴AC=BC.⌒⌒垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.几何语言：∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE例题讲解例1

已知：如图，

CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长.

解：如图，连接OA.设⊙O的半径为r.∴

CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴AE=BE.

∴AB=8，∴AE=BE=4，

在Rt△OAE

中，OA2=OE2+AE2，OE=OD－ED，即r2=(r－2)2+42.

解得r=5，从而2r=10.

所以直径CD的长为10.获取新知知识点二：垂径定理的推论如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?AD与BD(或AC与BC)相等吗?说明你的理由.⌒⌒⌒⌒(2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.⌒⌒⌒⌒解:(1)CD⊥AB,AC=BC(或AD=BD).理由是:连接OA,OB,如图所示,则△OAB是等腰三角形,∵AE=BE,∴CD⊥AB.⌒⌒⌒⌒由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.

⌒⌒⌒⌒(2)CD⊥AB,AE=BE.又∵OA=OB,∴AE=BE,CD⊥AB.理由是：∵AD=BD,∴∠AOD=∠BOD,⌒⌒平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理推论1几何语言：·OABCDE你还有其他的结论吗？你发现了什么？∵

CD是直径，AE=BE，∴

CD⊥AB,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.平分弦（不是直径）的所对的两对弧，则垂直平分这条弦.垂径定理推论2·OABCDE几何语言：∴

CD⊥AB,

AE=BE,∵

CD是直径，AC

=BC，⌒⌒垂径定理的本质是:知二得三（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧例题讲解例2解决求赵州桥拱半径的问题：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m解得R≈27.9.ODABCR在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+(R－7.2)2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2OD=OC－CD=R－7.2AB=37.4m，CD=7.2m，在图中随堂演练1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()A．CM＝DM B.CB＝DBC．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB⌒⌒D2.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___43.已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON4.如图，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM.求证：AB＝CD.证明：如图，连接OM，ON，OA，OC.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴AB＝2AM，CD＝2CN.∴OM⊥AB，

ON⊥CD.∴∠OMA＝∠ONC＝90°.∵∠AMN＝∠CNM，∴∠OMN＝∠ONM.∴OM＝ON.又∵OA＝OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN.∴AM＝CN.∴AB＝CD.课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:（“