简单曲线的极坐标方程

探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)OMA(,)第一页第二页，共29页。第二页第三页，共29页。曲线的极坐标方程一定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0；（２）以方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0

。第三页第四页，共29页。

二求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（，)为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）

④将等式坐标化⑤化简（此方程f(,)=0即为曲线的方程）第四页第五页，共29页。例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？xOrM第五页第六页，共29页。第六页第七页，共29页。你可以用极坐标方程直接来求吗？第七页第八页，共29页。第八页第九页，共29页。练习1求下列圆的极坐标方程(１)中心在极点，半径为2；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；

(３)中心在(a,/2)，半径为a；

(４)中心在Ｃ(

0,

０)，半径为r。

＝2

＝2acos

＝2asin

2+

0

2-2

0cos(-

０)=r2第九页第十页，共29页。解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在△OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1),即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1).也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程.第十页第十一页，共29页。练习21.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是()第十一页第十二页，共29页。（）A、双曲线B、椭圆

C、抛物线D、圆D第十二页第十三页，共29页。第十三页第十四页，共29页。（）C第十四页第十五页，共29页。第十五页第十六页，共29页。ONMC(4,0)第十六页第十七页，共29页。思考：在平面直角坐标系中过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为;过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为x=3y=3四直线的极坐标方程：第十七页第十八页，共29页。例1：⑴求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。oMx﹚第十八页第十九页，共29页。（2）求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。（3）求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。和第十九页第二十页，共29页。和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为或第二十页第二十一页，共29页。例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做）解：如图，建立极坐标系，设点ox﹚AM在中有即可以验证，点A的坐标也满足上式。为直线L上除点A外的任意一点，连接OM交流做题心得归纳解题步骤：第二十一页第二十二页，共29页。求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。第二十二页第二十三页，共29页。练习1求过点A(a,/2)(a>0)，且平行于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，建立极坐标系，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM在中有即可以验证，点A的坐标也满足上式。Mox﹚A

sin

＝aIOMIsin∠AMO=IOAI第二十三页第二十四页，共29页。课堂练习2设点A的极坐标为，直线过点解：如图，建立极坐标系，设点为直线上异于A点的任意一点，连接OM，在中，由正弦定理得即显然A点也满足上方程A且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。化简得﹚oMxA﹚第二十四页第二十五页，共29页。例3：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。oxMP﹚﹚A解：如图，设点的任意一点，连接OM，则为直线上除点P外由点P的极坐标知设直线L与极轴交于点A。则在中由正弦定理得显然点P的坐标也是上式的解。即第二十五页第二十六页，共29页。练习3求过点P(4,/3)且与极轴夹角为

/6的直线的方程。第二十六页第二十七页，共29页。直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点垂直于极轴