概率论中心极限定理

误差的产生由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成，若误差记为当n充分大时，其分布是我们所关心的问题。用卷积公式可以计算，但无疑相当复杂，不易实现。见书中例4.4.2，分析上例的趋势，我们应该先将随机和先标准化。再研究其分布是否为标准正态分布。第一页第二页，共17页。§4.4中心极限定理

讨论独立随机变量和的极限分布,

并指出极限分布为正态分布.独立随机变量和设{Xn}为独立随机变量序列，记其和为第二页第三页，共17页。独立同分布下的中心极限定理定理1

林德贝格—勒维中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，数学期望为

,方差为

2>0，则当n

充分大时，有应用之例:正态随机数的产生；误差分析证明？第三页第四页，共17页。例1

每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第i

袋味精的净重为Xi,则Xi

独立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，

由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)第四页第五页，共17页。例2

设X为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03解:设Xi

为第i

次射击命中的环数，则Xi

独立同分布，且E(Xi)

=9.62，Var(Xi)

=0.82，故=0.99979第五页第六页，共17页。二项分布的正态近似定理2

棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理设sn

为服从二项分布

b(n,p)的随机变量，则当n

充分大时，有是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.第六页第七页，共17页。二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注意点(1)第七页第八页，共17页。例

设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解:

设X

表示命中的炮弹数,则X~b(500,0.01)＝0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5<X<5.5)=0.1742(3)应用泊松逼近:P(X=5)=0.616-0.440=0.176二项分布的近似原则：当p较小时，用泊松分布近似较好；当np>5时，用正态分布近似较好。第八页第九页，共17页。

中心极限定理的应用有三大类：

注意点(2)

ii)已知n

和概率，求y

；

iii)已知y

和概率，求n.i)已知n

和y，求概率；

第九页第十页，共17页。一、给定n和y，求概率例3100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X100，则E(Y)=90，Var(Y)=9.3,4,7第十页第十一页，共17页。二、给定n和概率，求y例4有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X200，则E(Y)=140，Var(Y)=42.中解得16,18第十一页第十二页，共17页。三、给定y

和概率，求n例5用调查对象中的收看比例k/n作为某电视节目的收视率p的估计。要有90％的把握，使k/n与p

的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Yn表示n

个调查对象中收看此节目的人数，则从中解得Yn服从b(n,p)分布，k为Yn的实际取值。又由可解得n=27117,20第十二页第十三页，共17页。独立不同分布下的中心极限定理定理3

林德贝格中心极限定理设{Xn}为独立随机变量序列，若任对

>0，有林德贝格条件则第十三页第十四页，共17页。李雅普诺夫中心极限定理定理4

李雅普诺夫中心极限定理设{Xn}为独立随机变量序列，若存在

>0，满足：李雅普诺夫条件则林德贝格条件较难验证.第十四页第十五页，共17页。例7

设X1,X2,

….,X99相互独立,且服从不同的

0--1分布