适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第八节函数与方程课件

第八节函数与方程第三章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解函数的零点与方程的根的关系.2.理解函数零点存在定理,并能进行简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.1.函数零点所在区间的判定2.函数零点个数的判定3.函数零点存在定理的应用数学抽象逻辑推理直观想象数学建模强基础增分策略知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x),我们把使

的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)几个等价关系数形结合方法的依据

f(x)=0方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.微点拨函数的零点是一个实数,是使函数值等于0的自变量的值,它不是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点,而是公共点的横坐标,也就是说,函数的零点不是一个点,而是一个实数.2.函数零点的判定(函数零点存在定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有

,那么,函数y=f(x)在区间

内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得

,这个

也就是方程f(x)=0的解.

f(a)f(b)<0(a,b)f(c)=0c微思考如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在区间(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗?提示

不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)f(2)>0.事实上,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在区间(a,b)内有零点”的充分不必要条件.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系

类型Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的公共点

无公共点零点个数

(x1,0),(x2,0)(x1,0)2104.二分法的定义

求函数零点近似值的一种方法

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.常用结论1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.2.连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.3.连续不断的函数,其图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.4.若f(x)=g(x)-h(x),则函数f(x)零点的个数就是函数g(x),h(x)图象交点的个数.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=4-x2的两个零点是(-2,0)和(2,0).(

)(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)内一定没有零点.(

)(3)奇函数若存在零点,则零点个数不一定为奇数.(

)(4)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上有唯一的零点.(

)√×××答案

C

解析

因为函数y=ax+b的图象经过点(2,0),所以2a+b=0,即b=-2a,所以y=bx2-ax=-2ax2-ax,令-2ax2-ax=0,解得x1=0,x2=-,所以函数y=bx2-ax的零点是0和-.2.若函数y=ax+b(a≠0)的图象经过点(2,0),则函数y=bx2-ax的零点是(

)3.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有2022个,则f(x)的零点的个数为(

)A.2022 B.4043C.4044 D.4045答案

D

解析

因为f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有2

022个,所以f(x)在(-∞,0)内的零点也有2

022个,又因为f(0)=0,所以f(x)的零点个数为4

045,故选D.增素能精准突破考点一函数零点所在区间的判定典例突破例1.函数f(x)=ex+x-2的零点所在区间为(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)答案

B

突破技巧判断函数零点所在区间的方法(1)利用函数零点存在定理:即通过验证函数在区间端点处的函数值是否异号来判断该区间内是否存在零点.(2)数形结合法:通过画出函数的图象,观察图象与x轴公共点所在的区间进行判定.对点训练1(2022福建龙岩模拟)已知函数f(x)=lgx+2x-7的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k=(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案C

解析因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且它在区间(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)至多有一个零点.又f(3)=lg

3-1<0,f(4)=lg

4+1>0,所以f(x)的零点在区间(3,4)内,故k=3.考点二函数零点个数的判定典例突破例2.(1)函数f(x)=sin2x-cosx在区间[0,3π]上的零点个数为(

)A.8 B.7 C.6 D.5(2)函数f(x)=|x-4|-的零点的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案

(1)B

(2)D

突破技巧函数零点个数的判断方法(1)直接法:解方程f(x)=0,解的个数即为零点的个数;(2)函数零点存在定理法:若函数在[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0,可结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)确定零点的个数;(3)图象交点法:将函数构造为两函数的差,画出两个函数的图象,其交点的个数就是原函数零点的个数;(4)换元法:形如f(g(x))的函数,可先令g(x)=t,求得f(t)=0时t的值,再根据g(x)的图象及性质确定g(x)=t时x的值的个数,即f(g(x))的零点的个数.对点训练2(2022四川成都七中三模)已知函数f(x)=则函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数是

.

答案

3解析函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数等价于函数f(x)与y=ln(x-1)图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中,分别作出函数f(x)与y=ln(x-1)的图象,如图.由图可知,函数f(x)与y=ln(x-1)的图象有3个交点,故函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数为3.考点三函数零点的应用(多考向探究)考向1.根据零点个数求参数典例突破例3.(2022江苏苏州模拟)已知函数f(x)=ln|x|-|x-1|,若函数y=f(x)-m有三个零点,则实数m的值为

.

答案

-2解析

函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,此时f(x)max=f(1)=0;所以函数f(x)在区间(-∞,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,且f(-1)=-1-1=-2.作出函数f(x)的图象,如图所示.显然,当m=-2时,直线y=m与函数f(x)的图象有三个交点,即函数y=f(x)-m有三个零点.突破技巧已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题进行求解;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.对点训练3已知函数f(x)=若方程f(x)=k有且仅有两个不等实根,则实数k的取值范围是(

)A.(1,3) B.[1,3) C.(0,3) D.(-∞,3)B考向2.根据零点范围求参数典例突破例4.已知函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(

)A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)答案

C

解析

由题意得f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(1)f(2)=(0-a)(3-a)<0,解得0<a<3,故选C.名师点析根据零点范围求参数的方法(1)直接法:直接求出函数的零点,将零点用参数表示,解关于参数的不等式即得参数的取值范围;(2)利用函数零点存在定理:分析函数的性质,利用函数零点存在定理求解;(3)数形结合法:针对两个函数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.A.[-1,0) B.(-1,0] C.[0,1] D.[0,1)B考向3.研究零点的性质典例突破答案

ABC突破技巧研究函数零点的性质的方法(1)数形结合是基本思路,通过函数图象,发现零点的个数、零点的取值范围以及零点之间的