新教材2023-2024学年高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.4随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值课件新人教B版选择性必修第二册

第四章4.2.4第一课时离散型随机变量的均值基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.理解离散型随机变量的均值的概念.2.会根据离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的均值.3.掌握离散型随机变量的均值的性质及两点分布、二项分布和超几何分布的均值公式.4.能运用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题.基础落实·必备知识全过关知识点一

均值一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn则称E(X)=

=xipi为离散型随机变量X的均值或

(简称为

).

x1p1+x2p2+…+xnpn数学期望

期望

名师点睛1.均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它刻画的是随机变量取值的平均水平.2.随机变量的均值与样本平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.随机变量X的均值反映了离散型随机变量的平均水平.过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.(

)(2)随机变量的均值相同,则两个分布列也一定相同.(

)×离散型随机变量的均值是一个常数,它不具有随机性.两个随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;反之不一定成立.×2.已知随机变量X的分布列如下表:X0246P0.10.2m0.2则E(X)的值为(

)

A.2 B.2.4C.3.6 D.不确定C解析

由分布列的性质可知0.1+0.2+m+0.2=1,解得m=0.5,所以E(X)=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2=3.6.知识点二

常见的均值1.若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=

.

2.若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=

.

3.若离散型随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)=

.

pnp过关自诊篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚球不中得0分.某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分X的均值.解X的可能值为0,1.P(X=0)=1-0.7=0.3,P(X=1)=0.7.故X的分布列为

X10P0.70.3所以E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7.重难探究·能力素养全提升探究点一求离散型随机变量的均值角度1.求离散型随机变量的均值【例1】

[人教A版教材例题]猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.解

分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件,则A,B,C相互独立.X的分布列如表所示.X01

0003

0006

000P0.20.320.2880.192X的均值为E(X)=0×0.2+1

000×0.32+3

000×0.288+6

000×0.192=2

336.规律方法

求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值;(2)求概率:求X取每个值的概率;(3)写分布列:写出X的分布列;(4)求均值:由均值的定义求出E(X).其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键.变式训练1[北师大版教材习题]A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负的概率如下表:现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分,设ξ,η分别表示A队、B队最后所得总分.求:(1)ξ,η的分布列;(2)E(ξ),E(η).所以ξ的分布列为

角度2.二项分布、超几何分布的均值【例2】

2021年我国已经开放三孩政策.为了解适龄民众对放开生三胎政策的态度,某市选取80后作为调查对象,随机调查了10人,其中打算生三胎的有4人,不打算生三胎的有6人.(1)从这10人中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值;(2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率作为概率,从该市80后中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为η,求随机变量η的分布列和均值.规律方法

求常见的几种分布的均值的关注点(1)关键:根据题意准确判断分布类型.(2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,可直接代入公式求得均值.变式训练2某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了6次球.(1)求恰有4次命中的概率;(2)求至多有4次命中的概率;(3)设命中的次数为X,求E(X).解

(1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7,则未命中的概率为1-0.7=0.3,现投了6次球,恰有4次投中的概率为P=×(0.7)4×(1-0.7)2=0.324

135.(2)至多有4次投中的概率为=0.579

825.(3)由题意可知X~B(6,0.7),所以E(X)=6×0.7=4.2.探究点二离散型随机变量均值的性质【例3】

已知随机变量X的分布列为

若Y=-2X,则E(Y)=

.

变式探究

本例条件不变,若Y=2X-3,求E(Y).规律方法

与离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b(a≠0),a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,由X的取值计算ξ的取值,求出对应的概率,再由定义法求得E(ξ).探究点三均值的实际应用【例4】

某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求η的分布列及均值E(η).解

(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知,

表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.P()=(1-0.4)3=0.216,P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.(2)η的可能取值为200元,250元,300元.P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2.因此η的分布列为E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.η200250300P0.40.40.2规律方法

1.实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用,如体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计.2.概率模型的解答步骤(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.变式训练3[北师大版教材例题]根据气象预报,某地区近期暴发小洪水的概率为0.25,暴发大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,为保护设备,有以下3种方案:方案1:运走设备,搬运费为3800元.方案2:建一保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施,希望不发生洪水,此时遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.你会选择哪一种方案呢?解

用X1,X2和X3分别表示3种方案的损失.采用方案1,无论有无洪水,都损失3

800元,即X1=3

800,故E(X1)=3

800(元).采用方案2,遇到大洪水时,损失2

000+60

000=62

000(元);没有大洪水时,损失2

000元.因此,E(X2)=62

000×0.01+2

000×(1-0.01)=2

600(元).采用方案3,遇到大洪水时,损失60

000元;遇到小洪水时,损失10

000元;无洪水时,损失0元.因此,E(X3)=60

000×0.01+10

000×0.25+0×(1-0.01-0.25)=3

100(元).由此可见,平均而言方案2的损失最小,可供选择.成果验收·课堂达标检测123451.已知随机变量X的分布列如下表,随机变量X的数学期望E(X)=1,则x的值为(

)X012P0.4xyA.0.3 B.0.24 C.0.4 D.0.2D123452.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目X的数学期望为(

)A.2.44 B.3.376

C.2.376 D.2.4C解析

X的可能取值为3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.