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午练4用空间向量研究距离、夹角问题1.两平行平面,分别经过坐标原点和点,且两平面的一个法向量为,则两平面间的距离是()A. B. C. D.2.如图，正方体的棱长为1,是平面的中心，则点到平面的距离是()A. B. C. D.3.设平面与平面的夹角为,若平面,的法向量分别为,，则()A. B. C. D.4.如图，在正方体中，,分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为()A. B. C. D.5.[2023广东广州月考]如图所示,在正三棱柱中,,则与侧面所成角的正弦值为()A. B. C. D.6.棱长为1的正方体中,,分别是线段,的中点，则直线到平面的距离为.7.［北师大版教材习题］在正方体中,直线与平面所成角的大小为.8.［人教B版教材例题］如图所示,四棱锥中,底面是一个边长为1的正方形,平面,.求点到平面的距离.9.如图所示,已知直三棱柱中,,,,且是的中点.求平面与平面所成角的大小.午练4用空间向量研究距离、夹角问题1.B[解析]两平行平面,分别经过坐标原点和点,,且两平面的一个法向量,两平面间的距离.故选.2.B[解析]建立空间直角坐标系如图，则,,,.,设是平面的一个法向量,则解得,,又,点到平面的距离为.3.B4.D[解析]如图,以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，,分别为棱和棱的中点，，，，，，，设异面直线和所成的角为，则，又是锐角，.异面直线和所成的角为，故选.5.B[解析]如图,取的中点,连接,,则根据题意易得侧面,即为所求,又根据题意易知,,,故选.6.[解析]如图，以点为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则,,,1,,,,,,,，,,又不在平面内,平面.设平面的法向量为,则即令,则,点到平面的距离.即直线到平面的距离为.7.[解析]建立如图所示的空间直角坐标系,设,则.设是平面的法向量.,,所以所以可取.设所求角为,则.因为,所以.8.解依题意,,,是两两互相垂直的.以为原点,,,的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,所以,,.设平面的法向量为,则令,则得,,此时因为,所以点到平面的距离为.9.解依题意,,,两两互相垂直.以为原点,,,的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,所以,,,.设平面的一个法向量为,则令,则得,,此时设平面的一

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