2022-2023学年山东省潍坊市六县区高一年级下册学期数学期中试题【含答案】

2022-2023学年山东省潍坊市六县区高一下学期数学期中试题一、单选题1．的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由诱导公式进行求解.【详解】.故选：C2．“角是第三象限角”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.【详解】当角是第三象限角时，，，于是，所以充分性成立；当，即时，角是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故选：A．3．为了得到函数的图像，只需把的图像上的所有点（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位【答案】B【分析】由即可比较判断.【详解】，故只需把的图像上的所有点向右平移个单位.故选：B4．下列是函数的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函数的对称中心，逐个检验即可得出答案.【详解】由可得，，所以，函数的对称中心的是，.对于A项，由，可得，故A项错误；对于B项，由，可得，故B项错误；对于C项，由，可得，故C项错误；对于D项，由，可得，故D项正确.故选：D.5．已知D是的边BC上的点，且，则向量（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案.【详解】由题意作图如下：

由，则，.故选：C.6．函数的图象大致是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再判断函数在上的符号，排除D，即可得答案．【详解】∵f(x)定义域[－1，1]关于原点对称，且，∴f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故AC不符题意；在区间上，，，则有，故D不符题意，B正确.故选：B．7．向量在向量上的投影向量的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据投影向量的求解公式即可求解.【详解】在向量上的投影向量为.故选：B8．某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段，并作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线有个交点（不含点）时，则螺线长度为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，找到螺线画法的规律，确定每次划线时圆弧的半径以及圆心角，结合扇形的弧长公式可求得结果.【详解】第1次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为；第2次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；第3次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；第4次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为；第5次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；前5次累计画线；第6次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线.故选：A.二、多选题9．以下各式化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误；故选：ABC10．下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为【答案】ABC【分析】由数量积定义可知A错误；通过反例可确定BC错误；根据单位向量和共线向量定义可确定D正确.【详解】对于A，若，则，无法得到，A错误；对于B，若，，则，此时不存在满足的实数，B错误；对于C，若，则，，无法得到，C错误；对于D，，由单位向量和共线向量定义可知与共线的单位向量为，D正确.故选：ABC.11．已知函数在上是单调函数，则下列结论中正确的有（

）A．当时，的取值范围是B．当时，的取值范围是C．当时，的取值范围是D．当时，的取值范围是【答案】AD【分析】根据题意，结合正弦函数图像的周期性与单调性，即可求解.【详解】根据题意，易知，即，因此.当时，，因为，所以，又因为函数在上是单调函数，所以，解得，故A正确，C错误；当时，，因为，所以，又因为函数在上是单调函数，所以，解得，故B错误，D正确.故选：AD.12．小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”.小明是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中水滴的轴截面（如图），该水滴轴截面由线段AB，AC和优弧BC围成，设优弧BC所在圆的圆心为O，半径为R，其中，AB，AC与圆弧相切，已知水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为，则（

）

A．优弧BC的长度 B．C． D．“水滴”的轴截面的面积为【答案】BCD【分析】根据条件可得，即可求出的长度，然后在中可得的大小，然后可算出优弧BC的长度、“水滴”的轴截面的面积，即可选出答案.【详解】

连接，因为水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为，水平宽度为，竖直高度为，所以，所以，故B正确，因为AB，AC与圆弧相切，所以，在中，，，，所以可得，故C正确，所以优弧BC的长度，故A错误，“水滴”的轴截面的面积为，故D正确，故选：BCD三、填空题13．已知向量，．若向量与平行，则＝.【答案】【解析】运用向量加法公式和向量平行公式即可.【详解】向量，，所以，若向量与平行，可得，解得.故答案为:14．已知，且，则.【答案】/2.2【分析】由，且，得到求解.【详解】解：因为，且，所以，所以，故答案为：15．已知，.【答案】【分析】根据三角函数的奇偶性，结合奇函数的性质，可得答案.【详解】令，由与为奇函数，则，则.故答案为：.四、双空题16．设正八边形的外接圆半径为，圆心是点，点在边上，则；若在线段上，且，则的取值范围为.【答案】【分析】分析可知为线段的中点，可化简得出，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可出关于的线性表达式，即可得出的取值范围.【详解】由正八边形的对称性可知，为线段的中点，则，所以，，故；在正八边形中，，则，以为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、、，所以，，，，，设，其中，则，因为，即，所以，，即.故答案为：；.五、解答题17．已知点（其中）在角的终边上，，且是第象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并据此解答以下问题：(1)求、、的值；(2)在（1）的条件下化简并求值：.【答案】(1)条件选择见解析，答案见解析(2)【分析】（1）根据三角函数的定义结合可求得的值，根据的取值确定角终边的位置，再结合三角函数的定义可求得、的值；（2）利用诱导公式结合切化弦可求得所求代数式的值.【详解】（1）解：因为点（其中）在角的终边上，由三角函数的定义可得，解得，故为第一或第四象限角，若选①：若为第一象限角，则，则，；若选④：若为第四象限角，则，则，.（2）解：.18．设，是平面内不平行的非零向量，，.(1)证明：，组成平面上向量的一组基底；(2)请探究是否存在实数k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明不共线即可；（2）设，然后可建立方程组求解即可.【详解】（1）假设共线，设，则，因为，是平面内不平行的非零向量，所以，无解，所以不共线，所以，组成平面上向量的一组基底，（2）假设存在实数k，使得和平行，设，则，因为，是平面内不平行的非零向量，所以，解得，所以存在实数k，使得和平行，.19．在一次研究性学习中，小华同学在用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x010－10100(1)请利用上表中的数据，写出的值，并求函数的单调递减区间；(2)将函数的图像向右平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若在上恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)，函数的单调递减区间为；(2)【分析】（1）根据表格中的数据求出的解析式即可；（2）首先根据函数图像的变换求出的解析式，然后求出的值域，然后由可得，然后可得答案.【详解】（1）由表格中数据可得，，解得，所以，所以，令，解得，所以函数的单调递减区间为，（2）将函数的图像向右平移个单位，得到的图像，再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，由可得，当时，，因为在上恒成立，所以，解得.20．已知向量，.(1)求、和的值；(2)令，，若存在正实数和，使得，求此时的最小值.【答案】(1)，(2)当，时，，且的最小值为【分析】（1）化简平面向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得、的值，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；（2）由可得出，化简可得出，利用基本不等式可求得的最小值，利用基本不等式成立的条件可求得、的值.【详解】（1）解：由题意可得，则，，.（2）解：因为，，且，则，所以，，若存在正实数和，使得，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，此时，的最小值为.21．北方某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且.

(1)设∠BOE＝α，试将的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；(2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用.（备用公式：，）【答案】(1)(2)当米时，照明装置费用最低，最低费用为元.【分析】（1）根据三角函数定义及勾股定理，可表示出三边，进而周长l表示成α的函数关系式，根据点E、F的极限位置求出函数的定义域；（2）利用三角函数换元法，令，，再利用函数单调性求出的范围，可解此题.【详解】（1）在中，由，可得，在中，由，可得，又在中，由勾股定理得，所以，当点F在点D时，此时α的值最小，，当点E在点C时，此时α的值最大，，故函数的定义域为；（2）根据题意，要使费用最低，只需最小即可，由（1）得，设，则，则，由，得，令，易知在上为增函数，所以当时，最小，且最小值为，此时，所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元.22．已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，且过点.(1)若函数是偶函数，求的最小值；(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为、、、，求的值；(3)设函数，，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论.【答案】(1)(2)(3)存在，且满足题意，其中满足，证明见解析【分析】（1）根据题意求出函数的最小正周期，可求得的值，再根据函数的图象过点结合的取值范围，可求得的值，求出的表达式，根据该函数为偶函数可得出的等式，即可求得的最小值；（2）由已知可得，令，则，作出直线与函数在上的图象，利用对称性可求得的值；（3）分析可知，恒有成立，且有，分析可得，分别讨论关于的方程或的解是否存在，在第一种情况下，可得出恒成立，可得出的值；在第二种情况下，利用数形结合可得出结论.【详解】（1）解：因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，函数的最小正周期为，因为，则，所以，，又因为函数的图象过点，则，因为，所以，，因为函数为偶函数，所以，，解得，故当时，取最小值，且其最小值为.（2）解：由，可得，因为，则，令，则，所以，，，设，如下图所示：

由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点，点、关于直线对称，点、关于直线对称，点、关于直线对称，所以，，，，即，即，解得.（3）