第3课时 实际问题与一元二次方程

21.3实际问题与一元二次方程

第3课时实际问题与一元二次方程（3）R·九年级上册新课导入导入课题

要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？推进新课知识点

用一元二次方程解决图形的面积问题

如图，要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？

①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21=9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推：

设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm.由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是

②设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为xcm，这样做有什么好处？列出的方程为整数式，方便计算

③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？原方程可化为④方程的哪个根符合实际意义？为什么？

符合实际意义，因为

时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况.

⑤如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是：设中央矩形的长为9xcm.则宽为7xcm.列方程得.即x2=,解得

(舍去).∴上下边衬的宽为(cm)左右边衬的宽为(cm)

⑥练习：要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？根据题意，得.整理得，8x2+204x-319=0,解得

.∴x1=,x2=(不合题意，舍去).∴x=≈1.5.答：镜框的宽度约为1.5cm.随堂演练基础巩固从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的

面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（

）

A.8cmB.64cmC.8cm2D.64cm2直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.则其两条直角边长分别是

、

.D6cm8cm3.在长方形钢片上裁掉一个长方形，制成一个四周

宽相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm，

宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，

求这个长方形框的边框宽.解：设长方形框的边框宽为xcm.

依题意得，(30-2x)(20-2x)=600-400.

整理，得x2-25x+100=0,解得x1=5,x2=20(舍去).

∴x=5.答：这个长方形框的边框宽为5cm.4.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由.解：(1)设其中一个小正方形的边长为xcm,则另一个小正

方形的边长为=(10-x)cm.

依题意x2+(10-x)2=58，解得x1=3,x2=7.

当x=3时，小正方形周长为12cm；

当x=7时，小正方形周长为28cm.∴小林应把长为40cm的铁丝剪为28cm和12cm的两段.(2)对.两个正方形的面积之和为：x2+(10-x)2=2x2-20x+100=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50

∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的.

∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2.

小峰的说法是对的.5.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？③④①②解：设横彩条的宽度为3xcm.则竖彩条的宽度为2xcm.

根据题意，得30×20×=30×20-(30-4x)(20-6x).

整理，得12x2-130x+75=0.

解得x1=,x2=.

∵30-4x>0且20-6x>0.∴x<.∴x=不合题意，舍去.

∴x=≈0.6.

∴3x≈1.8,2x≈1.2.答：横彩条的宽度约为1.8cm,竖彩条